Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий

Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое содержит производные от искомой функции и может содержать искомую функцию и независимую переменную.

Уравнение вида F (x, y (x), y ' (x), …, y ⁽ⁿ⁾(x)) = 0, где x — независимая действительная переменная, y (x) — искомая функция, называетсяобыкновенным дифференциальным уравнением.

Если уравнение содержит несколько независимых переменных, искомую функцию и частные производные от искомой функции по независимым переменным, например

x — = 0, z = z (x, y),.

уравнение дифференциальный решение интегрирование то оно называется уравнением с частными производными.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = ц (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Не всегда удается получать решения в явном виде, например

x² + y² = C.

Решение дифференциального уравнения, полученное в неявном виде F (x, y) = 0, называется интегралом дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение, содержащее произвольные постоянные, из которого любое частное решение может быть получено при соответствующем подборе произвольных постоянных.

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

Аналогично определяются общий интеграл и частный интеграл дифференциального уравнения.

Если уравнение не интегрируется в элементарных функциях, но все его решения выражаются через неопределенные интегралы от элементарных функций, то говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах. Квадратурой называется операция взятия неопределенного интеграла.

Например, все решения уравнения.

y' =.

даются формулой.

y = dx + C.