Девочка на канате

Когда круг катится по какой-нибудь линии, лежащей с ним в одной плоскости, то и каждая точка круга перемещается по плоскости, т. е., как говорят, имеет свою траекторию.

Проследите за траекторией любой точки круга, катящегося по прямой или по окружности, и вам представятся разнообразнейшие кривые.

Некоторые из них изображены на рис. 129 и 130.

Рис. 129. Циклоида — траектория точки А окружности диска, катящегося без скольжения по прямой линии Возникает такой вопрос: может ли точка круга, катящегося по «внутренней стороне» окружности другого круга (рис. 130), описать не кривую линию, а прямую? На первый взгляд кажется, что это невозможно.

Рис. 130. Трехрогая гипоциклоида — траектория точки окружности диска, катящегося изнутри по большой окружности, причем R = 3r.

Однако же именно такую конструкцию я видел своими глазами. Это была игрушка —.

«девочка на канате» (рис. 131).

Вы можете ее легко изготовить. На листе плотного картона или фанеры нарисуйте круг диаметром в 30 см так, чтобы остались поля на листе, и один из диаметров продлите в обе стороны.

На продолжениях диаметра воткните по иголке с продетой ниткой, натяните нитку горизонтально и оба ее конца прикрепите к картону (фанере). Нарисованный круг вырежьте и в образовавшееся окошко поместите еще один картонный (или фанерный) круг диаметром в 15 см. У самого края малого круга тоже воткните иголку, как на рис. 131, вырежьте из плотной бумаги фигурку девочкиакробатки и приклейте сургучом ее ножку к головке иголки.

Попробуйте теперь катить малый круг, прижимая его к стенкам окошка; головка иголки, а вместе с ней и фигурка девочки будут скользить то вперед, то назад вдоль натянутой нитки.

Это можно объяснить только тем, что точка катящегося круга, к которой прикреплена иголка, перемещается строго вдоль диаметра окошка.

Рис. 131. «Девочка на канате». На катящемся круге есть такие точки, которые движутся прямолинейно.

Но почему же в аналогичном случае, изображенном на рис. 130, точка катящегося круга описывает не прямую, а кривую линию (она называется гипоциклоидой)? Все дело в отношении диаметров большого и малого кругов.

ЗАДАЧА Докажите, что если внутри большого круга катить по его окружности круг вдвое меньшего диаметра, то во время этого движения любая точка на окружности малого круга будет двигаться по прямой, являющейся диаметром большого круга.

РЕШЕНИЕ Если диаметр круга Оi вдвое меньше диаметра круга О (рис. 132), то в любой момент движения круга 0 одна его точка находится в центре круга О.

Проследим за перемещением точки А.

Пусть малый круг прокатился по дуге АС.

Где будет точка А в новом положении круга Oil

Очевидно, она должна быть в такой точке В его окВС были равны по длине.

Рис. 132. Геометрическое объяснение «Девочки на канате».

ружности, чтобы дуги АС и (круг катится без скольжения). Пусть ОА = R и /АОС = а. Тогда АС-Rev, следовательно, и ВС — Ra,

ft

но так как 0С=—, то 2.

тогда.

/.ВОС как вписанный равен 2а.

— = а, т. е. точка В оста- 2.

лась на луче ОА.

Описанная здесь игрушка представляет собою примитивный механизм для преобразования вращательного.

Рис. 133. Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894).

движения в прямолинейное.

Конструирование таких механизмов (они называются инверсорами) интересует техников-механиков еще со времен уральского механика И. И. Ползунова — первого изобретателя паровой машины. Обычно эти механизмы, сообщающие точке прямолинейное движение, имеют шарнирное устройство.

Очень большой вклад в математическую теорию механизмов сделал гениальный русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894) (рис. 133). Он был не только математиком, но и выдающимся механиком. Сам построил модель «стопоходящей» машины (она и сейчас хранится в Российской академии наук), механизм самокатного кресла, лучший по тому времени счетный механизм — арифмометр и т. д.