Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть производится п независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины X_v Х₂,…, Х_п. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии а² (измерения равноточны) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в двух предыдущих параграфах, выполняются и, следовательно, мы вправе использовать полученные в них формулы. Другими словами, истинное значение измеряемой величины можно оценивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при помощи доверительных интервалов. Поскольку обычно, а неизвестно, следует пользоваться формулами, приведенными в § 16.

Пример. По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений х = 42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 5,0. Требуется оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью у = 0,95.

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном а) при помощи доверительного интервала.

покрывающего а с заданной надежностью у = 0,95.

Пользуясь таблицей приложения 3, по у = 0,95 и п = 9 находим ?_у = 2,31.

Найдем точность оценки:

Найдем доверительные границы:

Итак, с надежностью 0,95 истинное значение измеряемой величины заключено в доверительном интервале.