Квантовая теория многоэлектронных атомов

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

• • принцип неразличимости тождественных частиц;
• • вид симметричных и антисимметричных волновых функций, определение фермионов и бозонов;
• • принцип Паули и его обоснование;
• • принципы построения многоэлектронных атомов;
• • рентгеновские спектры и их физическое толкование;

уметь

• решать типовые прикладные физические задачи на квантовую теорию многоэлектронных атомов;

владеть

• • навыками использования стандартных методов и моделей математического анализа (в первую очередь дифференциального и интегрального исчисления, а также теории поля) применительно к квантовой теории многоэлсктронных атомов;
• • навыками использования методов аналитической геометрии и векторной алгебры применительно к квантовой теории многоэлектронных атомов;
• • навыками проведения физического эксперимента, а также обработки результатов эксперимента по квантовой теории многоэлектронных атомов.

Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны

Описание многоэлектронных атомов, естественно, является более сложным, чем описание водородоподобных атомов. Связано это, как уже отмечалось выше, с тем, что задача взаимодействия двух тел (ядра и электрона) гораздо проще, чем задача взаимодействия трех и более тел (ядра и нескольких электронов). Но возникают и принципиально новые проблемы. Одним из слабых мест развитой Бором планетарной модели атома являлось то, что при описании многоэлектронных атомов приходилось делать искусственное предположение о том, что на орбитах атома может находиться лишь ограниченное количество электронов.

Квантовая физика позволяет обосновать это предположение исходя из принципа неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить микрочастицы одного типа с полностью одинаковыми физическими характеристиками. Например, тождественными можно считать электроны, у которых одинаковы масса, заряд, квантовые числа.

Действительно, как мы различаем макроскопические тела? Например, по форме или цвету. Но тождественные электроны абсолютно одинаковы. Похожие друг на друга бильярдные шары можно различать по положению в пространстве (координатам или траектории), по энергии или импульсу. Но у электронов в атоме в соответствии с принципами неопределенностей сложно говорить о траекториях, а координаты, энергия и импульс вообще точно нельзя определить. Состояние микрочастицы описывается лишь волновой функцией, и если волновые функции двух тождественных частиц перекрываются в пространстве, то различить такие тождественные частицы в принципе невозможно. При этом опыт показывает, что речь идет не о технических трудностях с различением частиц, а о принципиальной невозможности различения.

С точки зрения квантовой физики тождественность двух частиц означает, что волновые функции системы двух частиц при их перестановке могут отличаться лишь несущественным множителем ехр (гср), не меняющим квадрат модуля волновой функции, поскольку модуль такой экспоненты равен единице. Если переставить частицы еще раз, то волновые функции системы двух частиц при их двукратной перестановке будут отличаться на.

Поскольку при двукратной перестановке система возвращается в начальное состояние, то имеем.

Отсюда следует, что перестановка пары тождественных частиц либо оставляет волновую функцию системы неизменной, либо меняет ее знак. Если при перестановке частиц волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет, то антисимметричной. Опыт и квантовая теория поля показывают, что симметрия волновых функций определяется спином частиц. Различают целый спин, который равен целому числу постоянных Планка й, и полуцелый спин, в котором кроме целой части присутствует половинка й/2. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и называются фермионами. Частицы с целым спином (например, фотоны, мезоны) описываются симметричными волновыми функциями и называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра или атомы), состоящие из нечетного числа фермионов, являются фермионами (их суммарный спин полуцелый), а состоящие из четного числа фермионов — бозонами (их суммарный спин целый). Сложные частицы, состоящие из бозонов, являются бозонами (их суммарный спин целый).