Основы теории множеств

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий является понятие случайного события (в дальнейшем просто событие).

Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств.

Множество — это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества. Множества обозначаются по-разному: или одной большой буквой или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках, или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Например, конечное множество М натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано в виде М = {1, 2, …, 100} = {i — целое; 1? i? 100}.

Предположим, что производится некоторый опыт (эксперимент, испытание), результат которого заранее неизвестен, случаен. Тогда множество всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент (один отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества? и является случайным событием, т. е. любое событие, А — это подмножество множества ?: А??. Например, пространство элементарных событий при бросании игральной кости составляет шесть возможных исходов? = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. С учетом пустого множества Ш, которое вообще не содержит элементов, в пространстве? может быть выделено в общей сложности 2⁶ = 64 подмножества:

Ш; {1}; …; {6}; {1, 2}; …; {5, 6}; {1, 2, 3}; …; ?.

В общем случае, если множество? содержит n элементов, то в нем можно выделить 2^n подмножеств (событий).

Рассматривая событие? (ведь каждое множество есть свое собственное подмножество), можно отметить, что оно является достоверным событием, т. е. осуществляется при любом опыте. Пустое множество Ш как событие является невозможным, т. е. при любом опыте заведомо не может произойти. Для предыдущего примера: достоверное событие =? {1,2,3,4,5,6} = {выпадение одного из шести очков}; невозможное событие Ш = {7} = {выпадение 7 очков при одном бросании игральной кости}.

Совместные (несовместные) события — такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события — такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события, А — событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается В).

Полная группа событий — такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности. Очевидно, что события, А и В составляют полную группу событий.

Одна из причин применения теории множеств в теории вероятностей заключается в том, что для множеств определены важные преобразования, которые имеют простое геометрическое представление и облегчающее понимание смысла этих преобразований. Оно носит название диаграммы Эйлера-Венна, и на ней пространство? изображается в виде прямоугольника, а различные множества — в виде плоских фигур, ограниченных замкнутыми линиями, так, что B является подмножеством А, а C — подмножеством B (и одновременно подмножеством А).