Особенности дифференциального исчисления функций нескольких переменных

Переменная zZ называется функцией двух независимых переменных (х, у), если для всякой пары (х, у) G по закону (правилу)f: (x, y) > z (z = f (x, y)) устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Множество G называется областью определения функции z = f (x, y) и обозначается Множество Z называется областью изменения функции z = f (x, y) и обозначается Е (z).

Функция двух переменных может обозначаться:

а) в явном виде z = f (x, y); z = ц (x, y);z = z (x, y);

b) в неявном виде F (x, y, z (x, y))=0.

Если (х₀, у₀)G, то z₀ = f (х₀, у₀) называется частным значением функцииz = f (x, y) в точке.

Например, a) для функции z = x²+y² :D (z) — множество всех пар (x, y), принадлежащих плоскости хоу, Е (z)? 0;

b) для функции z = :

D (z) — множество всех пар (x, y), принадлежащих плоскости хоу и удовлетворяющих закону функциональной зависимости, то есть для всех пар (x, y), лежащих внутри круга радиуса R = 1 и на его границе (окружности):

;

Е (z)? 0.

Графиком функции дух переменных является поверхность в пространстве.

Рис. 1.1-График двух переменных

Найти область определения и изменения функций: z =ln (x-y) и; изобразить на плоскости хоу множество точек области определения этих функций.

Закон (правило) соответствия функции и пар независимых переменных z = f (x, y) — логарифмический, поэтому (х — у)>0, то есть х >у. Область определения — множество точек плоскости хоу, лежащих под прямой у = х, не включая точек, принадлежащих прямой, поэтому ее изображают пунктиром.

Закон (правило) соответствия z = f (x, y), поэтому (у — х2)? 0, то есть у? х2. Область определения — множество точек плоскости хоу, лежащих внутри параболы у? х2, включая точки, принадлежащих параболе (границе области). Область изменения по закону функциональной зависимости z? 0.

Проведем определение частных производных функции двух переменных и установим их геометрический смысл.

Частными производными функции z = f (x, у) называются пределы отношения приращений функции z = z (х, у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Дх > 0 и Ду > 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

при вычислении считают x = const.

Геометрически где б — угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

где в — угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.

Правила дифференцирования и табличные производные функции одной переменной полностью справедливы для функции двух и нескольких переменных. интегрирование геометрический дифференцирование Для функции двух переменных z = f (x, y) существуют две частные производные первого порядка:

.

которые так же являются функциями двух переменным и их можно дифференцировать по переменным х и у.

Найдем четыре частные производные второго порядка:

Третьих производных для функции двух переменных (z = f (x, y)) — восемь:, но из них различных — четыре, так как смешанные производные при дифференцировании в любом порядке равны:

.

В целом, полным дифференциалом функцииz = f (x, у) называется линейная часть приращения функции (до касательной плоскости к поверхности в точке (х₀;у₀)):

Для независимых переменных х и у: Дх = dx и Ду = dy.

Как и для функции одной переменной, геометрически приращение функции в сколь угодно малой окрестности точки (х₀, у₀) эквивалентно дифференциалу Дz? dzпри Дх>0, Ду>0,то есть :

Данную формулу используют для приближенных вычислений функции в точке.

В целом, дифференциальное исчисление является важнейшей темой для изучения.