Аксиомы размерности. 
Теоритические основы аксиоматики Вейля

D₁: Существует три линейно независимых вектора, т. е. если .

D₂: Любые четыре вектора линейно зависимы, т. е. если .

Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.

Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.

Числа x называются координатами вектора в базисе .

Аксиомы скалярного произведения векторов

Четвертая группа аксиом описывает отображение, называемое операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум векторам и однозначно сопоставляется число, называемое скалярным произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:

E₁: Скалярное произведение векторов коммутативно.

E₂: Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов.

E₃: Ассоциативность скаляра относительно произведения векторов .

E₄. и .

Скалярное произведение векторов позволяет определить число называемое скалярным квадратом вектора .

Аксиомы откладывания векторов

Пятая группа аксиом описывает операцию откладывания вектора от точки, при этом любым упорядоченным двум точкам А и В однозначно сопоставляется вектор: , причем точка А называется начальной точкой вектора, а В — конечной. Для операции откладывания вектора от точки выполняются следующие аксиомы:

T₁: Для каждой фиксированной точки А и каждого вектора существует единственная точка В такая, что .

T₂: Для любых трех точек А, В, С справедливо равенство .