Задание 3. Занимательные упражнения по теории вероятности

Для начала найдем количество возможных исходов (сочетания: выбор трех шаров из десяти):

.

По условию положительные исходы — это те выборы (сочетания 3 из 10), в которых ровно два шара белых (или, что-то же самое, ровно один шар черный).

Количество положительных исходов проще всего вычислить как 7 * 3 = 21, где 7 — количество возможных выборов 1 черного шара (всего черных шаров 10−3 = 7), а 3 — количество перестановок двух белых из трех.

Таким образом, конечная вероятность события «два белых и один черный» равна:

P (A) = 21/120 = 7/40 = 0,175.

Также отметим, что если условие следует понимать как «минимум два белых шара в выборке», то к посчитанной выше вероятности выбрать ровно два белых шара следует добавить вероятность выбрать сразу 3 белых (1/120), в этом случае P (A) = 22/120 = 11/60.

Другой способ решения задачи состоит в том, чтобы вычислить вероятности всех последовательностей элементарных событий, приводящих к требуемому результату. Здесь будем полагать, что шары выбираются не одновременно, а по очереди. Вероятность выбрать первым белый шар = 3/10, черный = 7/10. После чередного выбора шара общее количество шаров в урне уменьшается (то есть вероятность выбрать вторым белый шар будет 2/9 или 3/9). Таким образом:

Р (Б + Б + Ч) = 3/10 * 2/9 * 7/8 = 42 / 720 = 7/120.

Р (Б + Ч + Б) = 3/10 * 7/9 * 2/8 = 7 / 120.

Р (Ч + Б + Б) = 7/10 * 3/9 * 2/8 = 7 / 120.

Указанные три элементарных исхода являются попарно несовместимым, таким образом:

Р (А) = 7/120 + 7/120 + 7/120 = 7/40 = 0,175.

Как видим, ответ такой же как и в первом способе.