Основные теоремы. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Теорема 1. Производная эллиптической функции есть также функция эллиптическая. В самом деле, дифференцируя соотношения (1), имеющие место при любом z, мы получаем:

Таким образом, производная f'(z) имеет те же периоды 2ш и 2ш', что и первоначальная функция. С другой стороны, будучи однозначной, как и f (z), /' (z) не может иметь на конечном расстоянии других особых точек, кроме полюсов, так как если /(z) голоморфна в некоторой точке, то производная f'(z) тоже голоморфна в этой точке, а если f (z) имеет полюс в некоторой точке, то и f'(z) будет иметь полюс в этой точке. Следбвательно, /' (г) есть мероморфмая функция, допускающая два периода 2а> и 2а> и, согласно определению, она будет эллиптической функцией с теми же периодами, что первоначальная функция.

Теорема 2. Эллиптическая функция, отличная от постоянного, имеет по крайней мере один полюс в параллелограме периодов.

Действительно, допуская противное, мы имели бы целую функцию, отличную от постоянного. Её параллелограм периодов есть ограниченная часть плоскости, и в этой области, включая её границу, наша функция голоморфна, а значит, и подавно непрерывна, а потому и ограничена. Следовательно, существует такое положительное число М, что во всём основном параллелограме периодов имеем:

Так как во всех остальных параллелограмах сети значения функции f (z) повторяются, то неравенство f (z)<^M будет справедливо для всех точек z плоскости. Итак, мы имеем целую функцию /(г), ограниченную во всей плоскости. Согласно теореме Лиувнлля, отсюда заключаем, что f (z) приводится к постоянному. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости теоремы.

Следствие 1. Исли две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограме периодов одни и те же полюсы с одинаковыми главными частями, то они отличаются лишь постоянным слагаемым.

В самом деле, положим, что /, (z) и f_t(z) суть две эллиптические функции с одинаковыми периодами 2ш и 2а> имеющие в параллелограме периодов одни и те же полюсы с одинаковыми главными частями. Тогда их разность /_{(z)—/₂(г) будет двояко-периодической функцией с периодами 2<�о и 2<�о', без полюсов, а значит, по доказанной теореме, эта разность равняется тождественно постоянному.

Стедствие 2. Если две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограме периодов одинаковые нули и полюсы одной и той же кратности, то они отличаются лишь постоянным множителем.

Действительно, положим, что /_t (z) и f₂(z) суть две эллиптические функции с одинаковыми периодами 2о> и 2и)', имеющие в паралле. юграме периодов одинаковые нули и полюсы одной и той же кратности.

~ А (*).

Тогда их отношение представляет двояко-периодическую функцию с периодами 2со и 2а>', причём это отношение не имеет полюсов. Следовательно, по доказанной теореме это отношение равно тождественно постоянному.

Теорема 3. Сумма вычетов эллиптической функции относительно всех полюсов, расположенных в параллелограме периодов, равна нулю.

Прежде всего заметим, что если на границе параллелограма периодов имеются полюсы эллиптической функции, то мы можем немного сдвинуть этот параллелограм так, чтобы все полюсы, располо;

женные на первоначальном параллелограме периодов, оказались бы внутри сдвинутого параллелограма. Обозначим вершины этого параллелограма через.

на его сторонах нет полюсов функции/(z). Согласно общей теореме, о вычетах, мы получим сумму вычетов *9 относительно всех полюсов, лежащих внутри параллелограма, если вычислим интеграт f (z)dz_y

распространив его на периметр этого параллелограма, проходимый в положительном направлении. Таким образом, имеем;

где все интегрирования совершаются по прямолинейным отрезкам, соединяющим указанные точки. Объединяя первый и третий интегралы, делаем в этом последнем подстановку.

и, пользуясь периодичностью, находим:

Таким образом, сумма первого и третьего интегралов выражения (3), равная

есть нуль потому, что' интегрирования совершаются по одному и тому же отрезку в противоположных направлениях.

То же самое можно утверждать относительно суммы второго и четвёртого интегралов, если в первом интеграле совершить подстановку z=z' -|-2S=0.

Теорема 4. Эллиптическая функция принимает в параллелограме периодов всякое значение (конечное или бесконечность) одинаковое число раз. Пусть а—произвольное комплексное число. Покажем, что число корней уравнения f (z) = a_y лежащих в параллелограме периодов, совпадает с числом полюсов функции f (z)_y расположенных в этом параллелограме. Само собою разумеется, что при счёте числа нулей функции f (z) — а, или её полюсов, мы каждый нуль или полюс считаем столько раз, какова его кратность. Для доказательства нашего утверждения прежде всего заметим, что если на границе параллелограма периодов имеются нули или полюсы функции f (z — а,* то мы можем немного сдвинуть этот параллелограм так, чтобы все нули и полюсы, расположенные на первоначальном параллелограме периодов, оказались бы внутри сдвинутого параллелограма.

Обозначим вершины этого параллелограма через.

на его сторонах нет нулей и полюсов функции f (z) — а.

Образуем вспомогательную функцию.

которая будет эллиптической с периодами 2<�о и 2а/, причём на сторонах рассматриваемого параллелограма периодов она не будет иметь полюсов. Применяя к этой функции предыдущую теорему 3, мы имеем:

где интегрирование распространено в положительном направлении по контуру упомянутого параллелограма. С другой стороны, как известно, интеграл

изображает разность между числом нулей и полюсов функции f (z)—а, лежащих внутри контура интегрирования (гл. VII, § 2, п. 5).

Так как, согласно формуле (4), этот интеграл равен нулю, то, следовательно, число корней уравнения f (z) = а, лежащих внутри параллелограма периодов, совпадает с числом полюсов функции f (z)_y расположенных внутри того же параллелограма. Таким образом, теорема доказана.

Если f (z) принимает в параллелограме периодов всякое значение s раз, то она называется эллиптической функцией порядка s.

В силу теоремы 3 не может существовать эллиптической функции, имеющей в параллелограме периодов один простой полюс. Таким образом, всегда 2, т. е. не существует эллиптических функций первого порядка. В дальнейшем мы фактически построим эллиптические функции второго порядка. Существуют, конечно, и эллиптические функции более высокого порядка.

Теорема 5. Разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов эллиптической функции, расположенных в параллелограме периодов, равна некоторому её периоду, т. е.

где a_k — нули, а — полюсы, расположенные в параллелограме периодов. Само собою понятно, что при образовании суммы нулей или суммы полюсов каждый нуль или полюс нужно повторить слагаемым столько раз, какова его кратность. Для доказательства прежде всего заметим, что если на границе параллелограма периодов имеются нули или полюсы эллиптической функции, то путём небольшого сдвига этого параллелограма мы можем достигнуть того, чтобы все нули и полюсы, расположенные на первоначальном параллелограме периодов, попали бы внутрь сдвинутого параллелограма. Обозначим через

вершины этого параллелограма; на его сторонах нет нулей и полюсов функции f (z). Тогда, как известно (гл. VII, § 2, п. 5), искомая разность между суммами всех нулей и полюсов, расположенных внутри упомянутого параллелограма, изображается' в виде интеграла.

где интегрирование совершается по периметру параллелограма в положительном направлении. Таким образом, имеем:

При интегрировании вдоль периметра параллелограма сумма.

приводится посредством перемены во втором интеграле z на .г-J-2о>' и использования периодичности к следующему выражению:

так как 2<�о) =f (z₀), то число в скобке есть нуль или вида.

— 2vm', где v — целое; таким образом, сумма двух рассматриваемых интегралов, вообще, равна 2va>'. Аналогично, сумма двух остальных интегралов

приводится, посредством того же рассуждения, к 2що, где ц — целое. Возвращаясь к формуле (5), перепишем её в виде:

что и требуется доказать. ,.

Замечание. Применяя доказанную теорему к функции /(г) — а, где, а — произвольное комплексное число, мы видим, что сумма корней уравнения /(*) = а, расположенных в параллелограме периодов, конгруэнтна с суммой полюсов функции f (z), лежащих в_/ этом параллелограме, относительно её первоначальных периодов 2о> и 2о>'.