Предел функции в точке

Предел функции в точке

По Гейне: число, А называется, если для любой последовательность значений аргумента ({x_n}>x₀) соответствующая последовательность значений функции f (x) стремится к числу А.

По Коши: число, А называется пределом функции f (x) в точке x₀ если для любого >0, найдется такое число >0, что при всех x из условия будет выполняться неравенство (значение функции попадает в окрестность точки А).

Свойства пределов.

1)Если функция имеет предел, то только один.

2) lim C=C, где С — постоянная величина.

3) предел произведения равен произведению пределов.

• 4) константы можно выносить за знак предела
• 5)

Предел функции в точке Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число (зависящее от), что для всех, не равных и удовлетворяющих условию, выполняется неравенство .

Это предел функции обозначается: или при .

Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть и — функции, для которых существуют пределы при ():, .

Сформулируем основные теоремы о пределах:

Функция не может иметь более одного предела.

Предположим противное, т. е. что функция имеет 2 предела, А и D,. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции:, , где и — бесконечно малые величины при (). Вычитая почленно эти равенства, получим:, откуда. Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства 1 бесконечно малых это величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.

Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т. е.

.

Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т. е.

.

По условию и, следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции:

,.

где и — бесконечно малые величины при (). Перемножая почленно оба равенства, получим:

.

предел функция точка На основании свойств бесконечно малых последние три слагаемые представляют величину, бесконечно малую при ().

Итак, функция представляет сумму постоянного числа и бесконечного малой. На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых с пределами функции это означает, что.

.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

.

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т. е.

.

Если, , то предел сложной функции Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших), то.

.