Динамическая модель электромагнитного поля в полости

Рассмотрим контейнер прямоугольной формы, наполненный электропроводной жидкостью с плотностью и проводимостью, помещенный во внешнее магнитное поле, вращающееся с угловой частотой. Будем предполагать, что в декартовой системе координат магнитное поле вращается вокруг оси OY, нормальной к двум сторонам контейнера — рис 1. Для описания электромагнитного поля в полости и в стенках контейнера следует в уравнениях динамики электромагнитного поля учесть токи, наведенные в проводящей жидкости и в стенках.

Необходимо различать случаи, когда стенки контейнера являются изоляторами, проводниками или некоторой их комбинацией. В настоящей работе мы рассмотрим случай непроводящих стенок, что соответствует условиям, при которых были получены данные [10]. Считая, что в объеме жидкости выполняется закон Ома,, находим систему уравнений, описывающих вектор индукции магнитного поля, векторный потенциал и электрическое поле.

(1).

Первое уравнение (1) является стандартным и используется в работах [3−10] и других. Оно означает, что скалярный потенциал не зависит от времени, поэтому можно положить его равным нулю во всем объеме полости. Однако, например, в работах [6, 10] скалярный потенциал используется для моделирования среднего значения силы. При этом предполагается, что нормальная компонента среднего значения тока на стенках полости равна нулю, а в объеме полости.

(2).

В этой связи заметим, что уравнение (2) выполняется и для мгновенного значения тока в силу закона Ома, первого и второго уравнений (1). Действительно, имеем.

(3).

Поскольку предполагается, что стенки полости являются изоляторами, имеем, т. е. ток равен нулю в стенках полости независимо от величины электрического поля. Поэтому можно положить скалярный потенциал равным нулю во всем объеме полости. Таким образом, единственным граничным условием для векторного потенциала является заданное внешнее переменное магнитное поле, которое индуцирует электрическое поле и токи в объеме полости.

Заметим, что в магнитной гидродинамике используется выражение электрического поля в подвижном проводнике [20].

(4).

Как известно, именно второе слагаемое в правой части (4) служит источником электростатического потенциала [20]. Однако в обсуждаемом случае течения проводящей жидкости во вращающемся магнитном поле второе слагаемое в правой части (4) можно опустить в силу малости магнитного числа Рейнольдса, где — характерная скорость и масштаб течения соответственно [1−10]. Ниже в расчетах мы использовали следующие выражения, описывающие вектор индукции магнитного поля и векторный потенциал во внешней области:

(5).

Отметим, что выражения (5) удовлетворяют в объеме течения уравнениям. Однако последнее уравнение (1) не выполняется для выражения векторного потенциала (5). Относительно этого уравнения заметим, что первое слагаемое можно опустить, так как в обсуждаемой задаче в области низких частот это выражение имеет порядок .

В оставшемся уравнении положим, где — основное и вторичное поле соответственно.

В результате это уравнение принимает вид неоднородного уравнения параболического типа с нулевыми начальными и граничными условиями:

(6).

Здесь — координаты поверхности, ограничивающей объем течения. Система уравнений (6) может быть решена численно — рис. 2. В качестве параметров жидкости и внешнего поля были использованы данные [10]. Наведенное электрическое поле по амплитуде составляет не более 10% от основного поля в средней области течения и не более 1% в области максимальной скорости потока.

Отметим, также, что для данных типа (5) может быть получено решение задачи (6) в виде рядов Фурье. Соответствующие выражения опубликованы в различных руководствах и здесь не приводятся.