Спектральный метод анализа устойчивости разностных схем

Понятия устойчивости разностных схем и сходимости решения разностной схемы к решению исходного дифференциального уравнения.

При численном решении дифференциальных уравнений неизбежно возникают ошибки, приводящие к некоторому отличию результатов численного решения от истинных значений искомой функции, причём существует два типа источников этих ошибок. Как уже отмечалось в разделе 2.2.2, одним источником ошибок является аппроксимация дифференциальных операторов, т. е. замена производных в исходных дифференциальных уравнениях конечными разностями. Другой источник ошибок связан с погрешностью вычислений. Ошибки могут возникать при неточности вычислений самой разностной схемы, начальных и граничных условий, а также в свободном члене в правой части уравнения. В зависимости от особенностей вычислительного алгоритма эти ошибки в процессе расчёта могут затухать или возрастать. Если накопления ошибок не происходит, то говорят, что разностная схема устойчива, если же ошибки увеличиваются, то — неустойчива.

Запишем дифференциальную краевую задачу в виде свёртки:

где L — дифференциальный оператор; и — искомая функция; f — правая часть дифференциального уравнения.

Тогда разностную схему кратко можно представить в следующем виде:

где L_h — разностный оператор, действующий на сеточную функцию и^(Л), являющуюся результатом решения разностной задачи; /^(А) — проекция на разностную сетку непрерывной функции f.

Теорема 1. Разностная схема (3.2) с линейным оператором L_h устойчива, если при любом /^(А) е F_h уравнение (3.2) имеет единственное решение u^^h' eU_h и выполняется условие:

где с — константа; U_h — множество решений; F_h — множество правых частей.

Теорема 2. Пусть разностная схема (3.2) аппроксимирует дифференциальное уравнение (3.1) с порядком аппроксимации 0(h^k) и является устойчивой. Тогда решение разностной задачи (3.2) и^(Л) сходится к решению исходной дифференциальной задачи (3.1) [ц]_Л и имеет место неравенство:

где М — константа; [м]_л — решение уравнения (3.1) в узлах сетки.

Таким образом, сходимость решения разностной схемы к решению исходного уравнения имеет место только при выполнении двух требований:

• 1) разностная схема должна аппроксимировать исходное уравнение;
• 2) разностная схема должна быть устойчива.