Задачи, решаемые с помощью симметрических многочленов

Уравнения

симметрический многочлен уравнение тождество Многочлен вида.

f (x)= a₀zⁿ+a₁z^n-1+… +a_n,

где a₀?0 называют возвратным, если в нем коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, т. е. а ₀=а_n, a₁=a_n-1, a₂=a_n-2,…

Например, многочлен z⁵-3z⁴+2z³+2z²-3z+1 и т. д.

Уравнение f (z)=0, левая часть которого возвратный многочлен, называют возвратным.

Теорема: Всякий возвратный многочлен.

f (z)=a₀z^2k+a₁z^2k-1+…+a_2k-1z+a_2k

четной степени 2k представляется в виде.

f (z)=z_kh (у),.

где у= z+1/z и h (у) — некоторый многочлен степени k от у. Всякий возвратный многочлен f (z) нечетной степени делится на z+1, причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени. (Теорема приводится без доказательства).

Выражения, заменяемые в возвратных многочленах через у для четных многочленов (уравнений):

z +1/z =у,

z²+1/z²=у²-2,

z³+1/z³=у³-3у,

z⁴+1/z⁴=у⁴-4у²+2,

z⁵+1/z⁵=у⁵-5у³+5у,

z⁶+1/z⁶=у⁶-6у⁴+9у²-2,

z⁷+1/z⁷=у⁷-7у⁵+14у³-7у,

z⁸+1/z⁸=у⁸-8у⁶+20у⁴-16у²+2,

z⁹+1/z⁹=у⁹-9у⁷+27у⁵-30у³+9у,

z¹⁰+1/z¹⁰=у¹⁰-10у⁸+35у⁶-50у⁴+25у²-2,

Степень возвратного многочлена, а значит и уравнения, определяется как самая высокая степень при одном одночлене всего многочлена. Для многочлена (уравнения) нечетной степени сначала проводится деление на z+1 (согласно теореме о возвратных многочленах нечетной степени), а затем уже заменяется выражениями от z.