Матрица жесткости стержневой системы

На рис. 22.9, а изображена плоская стержневая система, нагруженная тремя силами q, F, М. Произвольно выбираем глобальную систему координат XY (единую для всей стержневой системы). Разобьем систему на три элемента-стержня. Номер элемента на рисунке указан в кружке.

Рис. 22.9. Сопоставление локальных (а) и глобальных (б) индексов перемещений.

Обозначим на схеме номера степеней свободы стержневой системы. Если нет ограничений на перемещения, в любом узле плоской стержневой системы возможны три перемещения (на стыке элементов 1 и 2). Элементы 2 и 3 соединены шарнирно. У них одинаковые линейные перемещения и различные угловые (всего в этом узле четыре перемещения). В заделке все перемещения равны нулю. В нижней шарнирной опоре есть угловое перемещение и нет линейных. Всего стержневая система имеет восемь независимых узловых перемещений, обозначенных в глобальной системе координат.

Рассмотрим каждый элемент отдельно (рис. 22.9, б). Каждый плоский элемент имеет шесть степеней свободы, обозначенных на рисунке также в глобальных осях координат. Примем порядок нумерации локальных перемещений. Начало нумерации — в начале локальной системы координат ху. Направление локальной оси х и, тем самым, начало локальной системы координат каждого элемента выбирается произвольно (см. рис. 22.9, б).

Каждый элемент имеет шесть степеней свободы. Три элемента имеют в сумме 18 степеней свободы. Стержневая система в целом имеет восемь степеней свободы.

Для каждого элемента можно составить основное уравнение матричного метода перемещений {Z⁷} = [ А'] {А}. Всего для трех элементов можно составить 18 уравнений с 18 неизвестными узловыми перемещениями (по шесть неизвестных для каждого элемента).

Для стержневой системы в целом можно также составить основное уравнение матричного метода т=шш, которое содержит восемь уравнений с восемью неизвестными перемещениями системы. Возникает вопрос, как из трех матриц жесткости элементов размерностью 6×6 составить матрицу жесткости системы [А' 1 размерностью 8×8.

Найдем связь между индексами перемещений элементов (в локальной нумерации от 1 до 6) и индексами перемещений стержневой системы (в нашем примере от 1 до 8). Для этого составим матрицу соответствия индексов (или просто матрицу индексов).

Сверху даны локальные номера перемещений элемента, в строках 1—3 — номера перемещений системы в глобальной нумерации.

Матрица индексов занимает важное место в методе конечных элементов. Для компьютера она исполняет роль чертежа, описывая связь элементов между собой. В алгоритме метода конечных элементов матрица индексов используется при формировании матрицы жесткости системы, для связи перемещений системы с перемещениями элементов.

Для составления матрицы индексов мысленно прикладываем каждый из элементов к чертежу стержневой системы и записываем в соответствующую строку таблицы номера перемещений системы (в глобальной нумерации), соответствующие каждому перемещению элемента (в локальной нумерации).

Для нахождения матрицы жесткости системы вместо строгого и достаточно сложного математического расчета воспользуемся логическими рассуждениями.

Для последующего использования матрицы индексов надо помнить следующее. Для стержневой системы сила по заданному направлению равняется сумме по этому направлению всех сил, сходящихся в узле. Например, для нашего примера F₄ = /J¹ + F₄. Здесь верхний индекс — номер элемента, нижний индекс — номер усилия, действующего на элемент. Перемещение по заданному направлению для стержневой системы равняется перемещениям по данному направлению элементов, сходящихся в узле. Для нашего примера Д₄ = Д^ = Д₄.

Коэффициент жесткости системы имеет смысл силы и должен быть равен сумме коэффициентов жесткости элементов, сходящихся в узле. Суммирование производится с помощью матрицы индексов. Нужно найти в какой строчке (какого элемента) содержатся нужные индексы коэффициента жесткости системы, и каковы номера этих индексов в локальной нумерации элемента. Далее сложить соответствующие коэффициенты жесткости элементов. Например,.

*4,5 = *U + *4,5 i *8.4 = *3.4 ! *5.5 = *2,2 + *5,5 •.

Сформулируем общее правило определения коэффициентов жесткости системы.

Коэффициент жесткости системы А, равен сумме коэффициентов жесткости элементов, которым в матрице индексов одновременно принадлежат индексы / и у.

В компьютерных программах матрица жесткости системы формируется внутри двойного вложенного цикла путем перебора индексов и суммирования соответствующих коэффициентов жесткости элементов. В Mathcad-программах это один единственный оператор. На рис. 22.10 КЕ_к матрица жесткости элемента к в локальных осях координат, KEG (k, ij) — та же матрица в глобальных осях координат, MI_ki — элемент матрицы индексов. При последовательном переборе индексов к, ij формируется полная матрица жесткости системы.

Рис. 22.10. Оператор формирования матрицы жесткости системы.