Линейные операторы. 
Математика в экономике

Определение 8. Отображение А линейного пространства R" в линейное пространство R^m называется линейным отображением (гомоморфизмом или морфизмом), если для любых элементов х> у е /?" и любого числа, а справедливы равенства

Свойство (3.36) называется аддитивностью линейного отображения, а свойство (3.37) — однородностью этого отображения. В таком случае говорят, что задан линейный оператор А, действующий из Rⁿ в R^m.

Будем говорить, что А (х) является образом элемента х.

Определение 9. Линейное отображение пространства Rⁿ в себя (т.е. когда пространства R" и R^m совпадают) называется линейным оператором на линейном пространстве R" .

Пусть {с*} — некоторый базис в векторном пространстве R" . Тогда разложение произвольного вектора х по этому базису имеет вид:

Применим линейный оператор А к вектору х. В силу свойств линейности (3.36) и (3.37) получаем:

Группируя коэффициенты при базисных векторах ё), получаем:

Пусть вектор у-А{х) имеет в том же базисе {ё_А} разложение.

Поскольку А (е_{) также является вектором из Rⁿ, его можно разложить по базису {е*}. Пусть.

Подставляя формулы (3.39) в разложение (3.38), получаем:

Тогда в силу единственности разложения вектора в данном базисе получаем путем приравнивания коэффициентов при базисных векторах в разложениях (3.39) и (3.40):

Матрица А = ||а~| (/, j — 1, 2, …, л), составленная из коэффициентов при х_п называется матрицей оператора А в базисе |ё_А}. При этом ранг г, матрицы А называется рангом оператора А. Как следует из формул (3.42), связь между вектором х и его образом А (х) можно выразить в матричной форме:

Таким образом, каждому линейному оператору А в некотором базисе пространства R' соответствует матрица А, по которой можно пересчитывать любой вектор в его образ в этом же базисе. Иными словами, любой линейный оператор можно задать в некотором базисе соответствующей матрицей.

Если матрица А является вырожденной, то оператор А называется вырожденным.

Пример 13. В пространстве R? линейный оператор А задан в базисе ё_{, е₂, е_} матрицей.

Найти образ у = А (х) вектора х = е_{ -Зе₂ + 2е_г.

Таким образом, у = 5е, -ве₂ -е_у

Для разных базисов матрицы одного и того же оператора будут разными. Связь между ними определяется следующей теоремой.

Теорема 3.7. Пусть линейный оператор А задан матрицами А и А* соответственно в базисах {ё_к} и [ё_к]. Тогда справедлива формула.

где С — матрица перехода от базиса {е_к} к базису {ё_к}.

Доказательство. Линейным оператором А вектор X пространства Rⁿ переводится в вектор Y этого же пространства, т. е. для обоих базисов справедливы равенства

Поскольку С — матрица перехода от базиса {ё_А.} к базису {"?}, то согласно п. 3.5.1 имеем:

Умножив первое равенство (3.46) слева на матрицу А, получим АХ = АСХ* или с учетом первого равенства (3.43) Y-АСХ Подставляя сюда второе выражение (3.46) имеем CY* = АСХ⁹. Умножая последнее равенство слева на матрицу С^-1, получаем окончательно формулу

Сравнивая это выражение со вторым соотношением (3.45), получаем доказываемую связь (3.44) между матрицами А и А*. ?

Пример 14. В пространстве R? линейный оператор А задан в базисе е_1у ё_2> е_г матрицей.

Найти матрицу А* оператора А в базисе.

Согласно решению примера 12 матрица перехода.