Интервальное оценивание параметров

На практике параметры генеральной совокупности, такие как математическое ожидание и дисперсия, неизвестны. Точечные оценки этих параметров — выборочное среднее и выборочная дисперсия — являются случайными величинами. При малом числе наблюдений (п < 25) точечные оценки являются малонадежными. Поэтому в прикладной статистике используют интервальные оценки. Для этого на числовой прямой строят интервал (область), в который оцениваемый параметр попадает с заранее выбранной вероятностью 1 — а, близкой к единице:

где 0 — оценка параметра; 0 — оцениваемый параметр; 1 — а — доверительная вероятность, или надежность, оценки 0. Оценка 0 является случайной величиной, поэтому существует вероятность, а того, что 10 — 01 окажется больше е; е — допустимое расхождение оценки 0 и параметра 0, или заданная точность. Значение, а называется уровнем значимости. Например, при, а = = 0,01 надежность 1 — а = 0,99, или 99%.

Интервал (0 — е; 0 + е), который покрывает параметр 0 с надежностью 1 — а, называется двусторонним доверительным интервалом (рис. 7.8). В форме интервала часто задаются характеристики, которые должны удовлетворять некоторым техническим условиям, например пределы прочности на разрыв материала — 5,000 ± 0,001 кг/мм²).

Рис. 7.8. Двусторонний доверительный интервал.

Выбор уровня значимости а определяется прикладной задачей. Если, а = 0,01 — вероятность выпуска бракованных изделий, то при производстве пуговиц такая вероятность брака приемлема; при производстве деталей парашютов такое значение ос слишком велико.

Чем меньше для выбранной вероятности 1 — а доверительный интервал, тем точнее оценка неизвестного параметра 0; если же интервал велик, то оценка малопригодна для практики.

Интервальное оценивание позволяет определять надежность и точность выводов, делаемых на основе ограниченного статистического материала, а также рассчитывать необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности.

Рассмотрим двусторонние доверительные интервалы для числовых характеристик нормально распределенных случайных величин.