Теория вероятностей в производстве

Задача № 1

Малое предприятие имеет два цеха — А и В. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех, А свой план выполняет с вероятностью р₁ = 0,6. Вероятность выполнения плана цехом В при условии, что цех, А выполнит свой план, равна р₂ = 1/3. Известно также, что с вероятностью р₃ = 0,1 может случиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит.

Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предприятие увеличит свой счет в банке на 5 единиц; если оба не выполнят — снимет со счета 4 единицы; если цех, А выполнит, а цех В не выполнит — увеличит счет только на 2 единицы; если же цех, А не выполнит, а цех В выполнит — сократит свой счет на 1 единицу.

Требуется:

1) определить вероятность выполнения плана цехом В;

2) выяснить, зависит ли выполнение плана цехом, А от того, выполнит или не выполнит свой план цех В;

3) найти вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке;

4) определить, на сколько и в какую сторону (увеличения или уменьшения) изменится в среднем счет предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счета в банке).

Решение

1) Указанные в задаче события представим графически с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Рисунок 1 — Диаграмма Эйлера-Венна Справедливы равенства:

По условию Р (А) = 0,6; Р_А(В) = 1/3; Р () = 0,1.

Найдем Р (В):

;

следовательно

Р (А· В) = 0,2

Р (А+В) = Р (А) + Р (В) — Р (А· В) = 1 — Р Р (В) = Р (А+В) — Р (А) + Р (А· В) Р (А+В) = 1 — 0,1 = 0,9

Р (В) = 0,9 — 0,6 + 0,2 = 0,5.

Вероятность выполнения цехом В плана Р (В) = 0,5.

2) Р (А) = 0,6; Р (В) = 0,5; Р (А· В) = 0,2; Р (А) · Р (В) = 0,3

Так как Р (А· В)? Р (А· В), то события, А и В зависимы. Выполнение плана цехом, А зависит выполнит или нет свой план цех В.

3) Предприятию придется снимать деньги в банке если:

а) оба цеха не выполнят свой план, ;

б) если цех, А не выполнит план, а цех В-выполнит, .

Найдем вероятности этих событий:

Р () = 0,1 — по условию;

Р () = Р (В) — Р (А· В) = 0,5 — 0,2 = 0,3

Р () = 0,1 + 0,3 = 0,4.

Вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке равна 0,4.

4) По условию задачи следует, что по своему характеру изменение счета предприятия в банке величина х — дискретная. Множество ее возможных значений состоит из четырех элементов, которые целесообразно расположить в порядке возрастания и обозначить соответственно через:

х₁ = - 4; х₂ = - 1; х₃ = 2; х₃ = 5.

Таблица 1 — Ряд распределения случайной величины х

р₁ = Р () = 0,1 — по условию;

р₂ = Р () = 0,3;

р₃ = Р () = Р (А) — Р (А· В) = 0,6 — 0,2 = 0,4;

р₄ = Р (А· В) = 0,2.

Зная ряд распределении случайной величины х, ее математическое ожидание m_х найдем по формуле:

m_х = - 4 · 0,1 — 1 · 0,3 + 2 · 0,4 + 5 · 0,2 = 1,1.

Значит, в среднем предприятие увеличит свой счет в банке на 1,1 единицы.

Ответ:

1) вероятность выполнения цехом В плана Р (В) = 0,5;

2) события, А и В зависимы;

3) вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке равна 0,4;

4) в среднем предприятие увеличит свой счет в банке на 1,1 единицы.

Задача № 2

Оптовая база заключает договора с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью р = 0,3, причем независимо от других магазинов.

Требуется:

1) определить минимальное количество магазинов (n_б), с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее б = 0,95 от них поступила хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день;

2) при найденном в пункте 1 значении n_б определить:

а) наиболее вероятное число заявок (m*) на обслуживание на очередной день и вероятность поступления такого количества заявок;

b) вероятность поступления не менее (n — 1) заявок;

с) математическое ожидание и дисперсию числа заявок на обслуживание на очередной день.

Решение

1) Минимальный объем n_б серии испытаний, при котором вероятность наступления события, А хотя бы один раз будет не менее 0,95, определим из условия, с помощью неравенства:

Получим:

Отсюда n_б = 9.

Минимальное количество магазинов, с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,95 от них поступила хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день равна 9.

2)

а) Наиболее вероятное значение m* случайной величины х найдем из условия:

В нашем случае n = 9, р = 0,3, q = 1 — р = 1 — 0,3 = 0,7 оно принимает вид:

Отсюда m* = 3, тогда по формуле Бернулли:

Наиболее вероятное значение числа заявок на обслуживание на очередной день m* = 3 и вероятность Р (х = 3) поступления такого количества заявок равна 0,2668.

b) Найдем вероятность поступления не менее 8 заявок.

Воспользуемся формулой:

Вычислим вероятности, стоящие в этом равенстве справа.

Вероятность поступления не менее 8 заявок

с) Для случайной величины х, распределенной по биноминальному закону с параметрами n и р, ее математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:

Получим:

Ответ:

1) минимальное количество магазинов, с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,95 от них поступила хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день равна 9;

2)

а) m* = 3; Р (х = 3) = 0,2668;

b)

с)

Задача № 3

В автосалоне ежедневно выставляются на продажу автомобили двух марок — А и В. В течение дня продается Х машин марки, А и Y машин марки В, причем независимо от того, сколько их было продано в предыдущие дни. Машина марки, А стоит 5 ед., машина марки В — 7 ед.

Закон распределения вероятностей системы (Х; Y) задан таблицей 2.

Таблица 2 — Распределение вероятностей системы (Х; Y)

Требуется:

1) определить, какая марка машин пользуется в автосалоне наибольшим спросом;

2) выяснить, зависит ли число проданных автомашин марки, А от числа проданных автомашин марки В;

3) найти ожидаемую (среднюю) дневную выручку автосалона;

4) оценить (с помощью дисперсии) возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения.

Пояснение: считать, что если Р (Х>Y) > P (Y>X), то машины марки, А пользуются большим спросом, чем машины марки В.

Решение

1) Найдем вероятность Р (X>Y) и P (Y>X).

Р (X>Y) = Р (х = 1, у = 0) + Р (х = 2, у = 0) + Р (х = 2, у = 1);

Р (X>Y) = 0,08 + 0,04 + 0,16 = 0,28.

P (Y>X) = Р (х = 0, у = 1) + Р (х = 0, у = 2) + Р (х = 1, у = 2);

P (Y>X) = 0,09 + 0,04 + 0,19 = 0,32.

Таким образом Р (X>Y)< P (Y>X), так как 0,28<0,32. Следовательно машины марки В пользуются в автосалоне наибольшим спросом.

2) Случайная величина х определяет число проданных в течение дня машин марки А, случайная величина у — число проданных машин марки В. Найдем распределение случайной величины х: х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 2.

Р (х = х₁) = р₁ = 0,08 + 0,09 + 0,04 = 0,21;

Р (х = х₂) = р₂ = 0,08 + 0,27 + 0,19 = 0,54;

Р (х = х₃) = р₃ = 0,04 + 0,16 + 0,05 = 0,25.

Таблица 3 — Ряд распределения случайной величины х

Составляем распределение случайной величины у: у₁ = 0; у₂ = 1; у₃ = 2.

Р (y = y₁) = р₁ = 0,08 + 0,08 + 0,04 = 0,2;

Р (y = y₂) = р₂ = 0,09 + 0,27 + 0,16 = 0,52;

Р (y = y₃) = р₃ = 0,04 + 0,19 + 0,05 = 0,28.

Таблица 4 — Ряд распределения случайной величины y

Если p_i · p_j = p_ij для всех (i; j), то случайные величины х и у являются независимыми.

Например: для i = 1 и j = 1

p_i · p_j = 0,21 · 0,2 = 0,042, а p₁₁ = 0,08.

Так как p₁ · p₁? p₁₁, то случайные величины х и у являются зависимыми.

3) Пусть случайная величина z определяет дневную выручку автосалона. так как по условию задачи машина марки, А стоит 5 ед., машина марки В — 7 ед., то величина z будет иметь вид z = 5 · х + 7 · у.

m_z = 5 · m_x + 7 · m_y

m_z = 5 · 1,04 + 7 · 1,08 = 5,2 + 7,56 = 12,76 (ед.).

Ожидаемая (средняя) дневная выручка автосалона составит 12,76 ед.

4) Найдем дисперсию случайной величины z = ах + bу по формуле:

В нашем случае а = 5, b = 7.

D_х = 0² · 0,21 + 1² · 0,54 + 2² · 0,25 — 1,04² = 0,54 + 1 — 1,0816 = 0,4584,

D_у = 0² · 0,2 + 1² · 0,52 + 2² · 0,28 — 1,08² = 0,52 + 1,12 — 1,1664 = 0,4736,

используя исходные данные таблицы 2, получим:

Возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения равны 6,16 ед.

Ответ:

1) машины марки В пользуются в автосалоне наибольшим спросом;

2) число проданных автомашин марки, А зависит от числа проданных автомашин марки В;

3) ожидаемая (средняя) дневная выручка автосалона составит 12,76 ед.;

4) возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения равны 6,16 ед.

Задача № 4

Торговая фирма располагает разветвленной сетью филиалов и есть основания считать, что ее суммарная дневная выручка х является нормально распределенной случайной величиной. Выявленные значения этой величины по 100 рабочим дням представлены в виде следующего интервального ряда (таблица 5).

Таблица 5 — интервальный ряд

Требуется:

1) построить гистограмму относительных частот;

2) определить несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания m_x и дисперсии, случайной величины х;

3) найти 95-процентные доверительные интервалы для m_x и д_х.

Решение

1)

Все восемь интервалов выборки имеют одну и туже длину ?х = 5.

Плотность частот на этих интервалах найдем по формуле:

Площадь каждого i-ого прямоугольника равна относительной частоте i-ого интервала, определяемой по формуле:

Получим таблицу 6.

Таблица 6 — Расчетная таблица для построения гистограммы

Рисунок 2 — Гистограмма приведенных относительных частот Вид этой гистограммы позволяет считать рассматриваемое распределение вероятностей нормальным.

2) Несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания m_x и дисперсии, случайной величины х найдем по формулам:

где х_i — середина i-ого интервала.

m_x=0,01· (2,5· 3+7,5·5+12,5·20+17,5·24+22,5·22+27,5·15+32,5·7+37,5·4)=

= 0,01· (7,5+37,5+250+420+495+412,5+227,5+150) =

= 0,01 · 2000 = 20 усл. ден. ед.

(усл. ден. ед.)²

3) Доверительный интервал для неизвестного m_x имеет вид:

Так как выборка взята из нормальной совокупности с известным средним квадратическим отклонением, то величина д_х определяется по формуле:

где n = 100, а есть аргумент функции Лапласа Ф (х), при котором

По таблице находим

Тогда:

Доверительный интервал для имеет вид:

где s = 7,96, а величина q = 0,143 определяется по таблице по г = 0,95 и n = 100.

Ответ:

1) рисунок 2;

2) m_x = 20 усл. ден. ед.; (усл. ден. ед.)²;

Задача № 5

По результатам n = 16 замеров времени Х изготовления детали определены выборочное среднее и исправленная дисперсия s² = 16. Полагая распределение случайной величины Х нормальным, на уровне значимости б = 0,1 решить, можно ли принять а₀ = 90 в качестве нормативного времени изготовления детали.

Пояснение: Основную гипотезу Н₀: m_x = а₀ проверить при альтернативной гипотезе Н_а: m_x? а₀.

Решение

1. Н₀: m_x = а₀ = 90.

2. Н_а: m_x? 90.

3. Так как выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности с не известными m_x и у_х, то в качестве критерия проверки гипотез выберем распределение Стьюдента с k = n — 1 = 16 — 1 = 15 степенями свободы.

4. По виду Н₀, Н_а и К заключаем, что критическая область в данном случае будет двусторонней.

5. Тогда 1,75, находим по критическим точкам распределения Стьюдента (Приложение), при уровне значимости 0,1 и 15 степенями свободы.

1,75; 1,75

6. Вычислим наблюдаемое значение критерия К:

7. Так как || >, 2,16 > 1,75 — гипотеза Н₀ отвергается.

Ответ: Нулевая гипотеза отвергается.

1. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. — 9-е изд.- М.: Высшая школа, 2004. — 404 с.

2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. — М.: Высшая школа, 1998. — 542 с.

3. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов / Е. С. Венцель. — 6-е изд. стер. — М.: Высшая школа, 1999. — 576 с.

4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н. Ш. Кремер. — М.: ЮНИТИ, 2000. — 498 с.

5. Сизова, Т. М. Статистика: Учебное пособие / Т. М. Сизова. — СПб.: СПб ГУИТМО, 2005. — 80 с.