Формирование оптимального портфеля ценных бумаг на основе моделей портфельной теории

В последние годы в нашей стране в связи с развитием рыночной экономики существенно повысился интерес к постановке и решению задач теории инвестиций. Среди этих задач значительное место занимают задачи оптимизации портфелей активов.

Действительно, выбирая различные варианты распределения капитала между объектами, в которые инвестируется капитал, мы будем иметь различные результаты, если под результатом понимать величину дохода, полученного в течение заранее определенного периода. Очевидно, оптимальное распределение инвестируемого капитала должно обеспечивать в некотором смысле наилучший результат (приобрести недооцененные акции, чья рыночная цена на момент покупки ниже истинной, и избавиться от переоцененных бумаг и тем самым получить в перспективе максимальную прибыль). В то же время, решение о структуре распределения капитала принимается часто в условиях неопределенности, когда доходность от вложения капитала в объекты инвестирования носит случайный характер. Тем самым появляется риск вложения капитала и задача оптимизации портфеля инвестиций должна ставиться и решаться в условиях наличия риска.

Целью данного реферата является составление оптимального портфеля ценных бумаг, используя различные модели .

1. Теоретические аспекты формирования оптимального портфеля ценных бумаг

Если портфель состоит более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой доходностью E (r_n) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему: необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

(1)

при заданных начальных условиях:

(2)

(3)

Для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) n значений ожидаемой доходности E (r_i), где i = 1, 2,…, n каждой ценной бумаги в портфеле;

б) n значений дисперсий у_i 2 каждой ценной бумаги;

в) n (n-1)/2 значений ковариации у_i 2, j, где i, j = 1, 2,…, n.

Если подставить значения E (r_i), у_i и у_i,j в выражения (1 -3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины W_i — «веса» каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n ценных бумаг по сути дела сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е^* инвестор должен найти такие значения W_i, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е^* инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

2. Метод Шарпа

В 1963 г. американский экономист У. Шарп предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа.

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины — независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = б + в Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т. п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи r_m, вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется отдача ri какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно

модель Шарпа называют рыночной моделью, а норму отдачи r_m — рыночной нормой отдачи.

Пусть норма отдачи r_m принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины r_m1, r_mІ,…, r_mN. При этом доходность r_i какой-то i-ой ценной бумаги имела значения r_i1, r_i2,…, r_iN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами r_m и r_i в любой наблюдаемый момент времени в виде:

r_{i, t} = б_i + в_ir_{m, t} + е_{i, t} (4)

где: r_i,t — доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;

б_i — параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг r_m;

в_i — параметр линейной регрессии, называемый «бета», показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

r_m,t — доходность рыночного портфеля в момент t;

е_i,t — случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения r_i,t и r_m,t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру в_i, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности. Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

(5)

где W_i — вес каждой ценной бумаги в портфеле

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

(6)

Цели инвестора сводятся к следующему:

— необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля при следующих начальных условиях

(7)

(8)

(9)

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

1) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности r_i,t каждой ценной бумаги.

2) По рыночному индексу вычислить рыночные доходности r_m,t для того же промежутка времени.

3) Определить величину дисперсии рыночного показателя у_m, а также значения ковариаций у_{i, m} доходностей каждой ценной бумаги с рыночной нормой отдачи и найти величины в_i:

(10)

4) Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги E (r_i) и рыночной доходности E (r_m) и вычислить параметр б_i:

б_i = E (r_i) — в_iE (r_m) (11)

5) Вычислить дисперсии у²_е,i ошибок регрессионной модели

6) Подставить эти значения в соответствующие уравнения

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса W_i ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E^*, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель. [1]

3.Портфельная теория Марковица

Портфель Марковица минимального риска

Задача оптимизации портфеля активов с вектором средней доходности ковариационной матрицей может быть сформулирована следующим образом

К этим условиям в задаче оптимизации портфеля активов следует добавить условие положительности портфеля (долей). Однако, в общем случае финансовых инструментов предполагается возможность открытия коротких позиций (отрицательных долей инструментов в портфеле). Тогда можно найти общее аналитическое решение задачи. Если обозначить,

то решение задачи имеет вид

Тогда зависимость дисперсии оптимизированного (эффективного) портфеля от требуемой доходности будет иметь вид

где — минимально возможная дисперсия доходности портфеля и соответствующая ему средняя доходность

— доходность портфеля, с соотношением риск-доходность таким же как и портфель минимального риска (графически это единственная точка пересечения с параболой прямой, проходящей через начало координат и вершину параболы)

4.Портфель Тобина минимального риска

При наличии безрискового актива (с нулевой дисперсией доходности) с доходностью формулировка задачи меняется

Решение этой задачи имеет вид

Вектор структуры рискового портфеля (доли рисковых активов не во всем портфеле, а в общей стоимости рискового портфеля) будет равен

Видно, что структура рисковой части портфеля не зависит от требуемой доходности. Требуемая доходность определяет лишь соотношение рискового портфеля и безрискового актива.

Средняя доходность рискового портфеля будет равна

Стандартное отклонение оптимального (эффективного) портфеля зависит от требуемой доходности линейно, а именно следующим образом

Нетрудно также определить связь средней доходности отдельных инструментов от средней доходностью портфеля. Для этого определим вектор коэффициентов

Отсюда получаем, что если инвесторы рациональны, то рыночный портфель условно можно считать эффективным, следовательно на рынке средняя доходность инструмента связана с доходностью рыночного портфеля следующим линейным образом

Это модель оценки финансовых активов — CAPM

5 Инструменты Microsoft Excel

В ходе выполнения работы использование Microsoft Excel позволило быстро произвести необходимые расчеты с помощью набора встроенных функций.

С помощью функции «ДИСП» была рассчитана дисперсия показателя доходности, функция «КОВАР» позволила рассчитать значения ковариаций доходностей каждой ценной бумаги с рыночной нормой отдачи.

Так же использовалась надстройка «Поиск решения», которая предназначена для решения определенных систем уравнений, линейных и нелинейных задач оптимизации. С ее помощью можно определить, при каких значениях указанных влияющих ячеек формула в целевой ячейке принимает нужное значение (минимальное, максимальное или равное какой-либо величине). Для процедуры поиска решения можно задать ограничения, причем не обязательно, чтобы при этом использовались те же влияющие ячейки. Для расчета заданного значения применяются различные математические методы поиска. Кроме того, результаты работы программы могут быть оформлены в виде отчета.

В окне задания начальных условий можно указать целевую ячейку, ячейку в которой содержится целевая функция, указать направление оптимизации, изменяющиеся ячейки и ограничения.

Заключение

портфель ценный бумага

Рассмотрены теоретические и прикладные аспекты экономико-математической модели Шарпа и Марковица в области оптимизации портфеля ценных бумаг. В ходе проведенного исследования были изучены основные положения функционирования рынка ценных бумаг, инвестиционной деятельности в области биржевых рынков.

Концепция Шарпа, как и модель Марковица позволяет оптимизировать структуру портфеля ценных бумаг, используя линейную регрессионную модель, что в свою очередь добавляет возможности анализировать колебания цен, прогнозировать их значения. Все поставленные задачи были успешно реализованы.

Библиографический список

1. Аскинадзи В. М., Максимова В. Ф. Портфельные инвестиции / Московская финансово-промышленная академия. — М., — 2005. — с. 62 Орлова И. В.,

2. Поиск решений, Задачи оптимизации Excel. URL: http://www.exsolver.narod.ru/solver.html. 24.05.2012.

3. МФД-ИнфоЦентр, Информационное агентство. URL: http://mfd.ru/.24.04.2012

4. RTS, биржа. URL: http://rts.micex.ru/s75.24.05.2012