Решение краевой задачи методом конечных разностей

Решение краевой задачи методом конечных разностей

Задание

Решить дифференциальное уравнение y'' — xy' + 2y = 4,

при y(0)=0, y(1)=2, n=5

Решение

Теоретическое обоснование

Дифференциальное уравнение в общем виде выглядит так:

y'' + P (x) y' + Q (x) y = f (x)

для нашего исходного уравнения находим:

P(x)= — x

Q(x)= 2

f(x)= 4

Так как в общем случае найти аналитический вид функции y(x) в виде формулы невозможно, сделаем упрощение: будем искать значение у в некоторой точке x_i. Разобьем интервал [x_n; x_k] на n-равных частей с шагом h:

h=

Используя обозначения y(x_i) = y_i, заменим y'(x_i) и y''(x_i) конечно-разностными выражениями для производных:

С помощью данных выражений для производных заменим исходное дифференциальное уравнение на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных:

i = 1,2,3,…, n — 1

P (x)= p_i

Q (x)= q_i

f (x)= f_i

+ p_i + q_i y_{i =} f_i

умножим полученное уравнение на h²:

y_i-1 + y_i + y_i+1 = f_i

введем следующие обозначения:

A_i = _; B_i =; C_i =

получаем следующее уравнение:

y_i-1 — y_i + y_i+1 = f_i

составляем систему (n-1) — уравнений:

x₀: y₀ =y_n

x₁: A₁y₀-C₁y₁+B₁y₂ =f₁h²

x₂: A₂y₁-C₂y₂+B₂y₃ =f₂h²

x₃: A₃y₂-C₃y₃+B₃y₄ =f₃h²

x₄: A₄y₃-C₄y₄+B₄y₅ =f₄h²

x₅: y₅ =y_n

Получаем систему, которая имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов. При решении такой системы можно применить метод прогонки.

Подставим во второе уравнение системы y_o из первого уравнения и выразим из полученного y_1:

y₁ = y₂ + ,

тогда можно вывести следующие коэффициенты:

₁ = ; ₁ = ;

затем подставим в третье уравнение системы выражение для y₁ и выразим из этого уравнения y₂, проделав аналогичные действия (n-1) раз, получим формулы для остальных неизвестных в общем виде:

_i = ; _i =

основное уравнение для выражения y_i:

y_{i = i}y_i+1 + _i

затем выполняем обратный ход прогонки, вычисляя y_i.

Практическая часть

1. Метод прогонки Из исходных данных y(0)=0, y(1)=2, n=5 найдем шаг сетки h:

h = 0,2

дифференциальный уравнение линейный для заданного дифференциального уравнения:

P(x)= — x

Q(x)= 2

f(x)= 4

далее рассчитываем коэффициенты А, В и С:

A_i = 1 — (-x_i); B_i = 1+(-x_i); C_i = 2−2

из исходных данных и полученных результатов, построим таблицу следующих значений:

Система уравнений записывается в виде:

Пользуясь полученными данными можно рассчитать прогоночные коэффициенты: прямой ход:

Пользуясь формулой y_{i = i}y_i+1 + _i и полученными прогоночными коэффициентами, сделаем обратный ход прогонки для вычисления значений искомой функции:

Полученные точки нанесем на координатные оси:

Проверка:

0=0

1,02*0−1,92*0,08+0,98*0,32=0,16

1,04*0,08−1,92*0,32+0,96*0,72=0,16

1,06*0,32−1,92*0,72+0,94*1,28=0,16

1,08*0,72−1,92*1,28+0,92*2=0,16

2=2

Аналитический метод:

Составим аналитическую модель решения в виде y=ax²+bx+c

Для проверки возьмем точку (1; 2)

y'=4x

y''=4

Подставляя эти значения в формулу y'' — xy' + 2y = 4 получаем:

4−1*(4*1)+2*2=4 => 4=4