Финансовая математика

Вариант 10

Инвестируемая сумма 625 у. д. е. позволяет под 25% годовых получить через 2 месяца X у. д. е. и затем ещё через 10 месяцев — 700 у. д. е. Найти X.

Решение:

Накопление за год Агод определим по формуле:

где, Р — инвестируемая сумма; i — годовая ставка; t — период времени.

Получим Агод = 625(1 + 0,25• 1) = 781,25.

Тогда Х = 781,25 — 700 = 81,25

Задача 11

Вексель с номинальной стоимостью 100 x + 400 у. д. е. с процентной ставкой (0,1 у +12) % годовых сроком на Z + 70 дней продаётся через 40 — z дней после подписания векселя банку с учётной ставкой (10 — 0,1 у) % годовых. Найти норму прибыли продавца и банка, если x — номер варианта, y — пятая цифра, z — четвёртая цифра зачётной книжки (х = 10, у = 1, z = 0).

Решение: Найдём фактическую стоимость векселя по формуле:

Чтобы найти цену продажи, необходимо дисконтировать фактическую стоимость по формуле:

Норма прибыли, находится по формуле:

Где С0 — начальная сумма; - накопленная сумма, — время накопления.

Тогда норма прибыли продавца:

Норма прибыли банка:

Задача 21

Найти текущую стоимость суммы 3000 у.д.е. за 5 лет, если коэффициент накопления имеет вид:

Проверить выполнение принципа согласованности.

Решение: Накопление капиталанаходится по формуле:

Тогда текущая стоимость за 5 лет:

Проверим принцип согласованности по формуле:

Допустим, что t0 =0, t1 = 3, t2 = 2, тогда А (t0, t1) = e0,05•5 = 1,1618, A (t1, t2) = e0,05•2 = 1,1052, A (t0, t2) = e0,05•5 = 1,2840

1,2840 = 1,1618 • 1,1052

Условие согласованности выполняется.

Задача 31

Дана постоянная сила процента в год. Найти эквивалентные ей годовую учётную ставку и годовые процентные ставки, конвертируемые раз в день и в квартал.

Решение: Если сила процента постоянна, то есть, то дисконтирующий множитель находим по формуле:

Отсюда годовая учётная ставка Годовые процентные ставки конвертируемые раз в день и в квартал найдём по формулам:

и Годовая процентная ставка, конвертируемая раз в день:

Годовая процентная ставка, конвертируемая раз в квартал:

Задача 41

Мистер, А обязуется уплатить мистеру В 300 у. д. е. через 3 месяца и 500 у. д. е. через 6 месяцев от момента времени при фактической процентной ставке 2% в квартал. Однако мистер, А хотел бы составить такую схему платежей, которая соответствовала бы его регулярным ежеквартальным доходам, а именно: первый платёж производится немедленно, а остальные два — в конце каждого квартала. Какой должен быть размер регулярного платежа?

Решение:

Представим данную сделку как поток наличности:

прибыль вексель доходность сделка Найдём текущую стоимость на момент времени t = 0 для дискретного потока наличности по формуле:

где — дисконтирующий множитель.

Получим:

А (0) = 300 • е 0,02 + 500 • е 0,02 • 2 = 300 • 1,0202 + 500 • 1,0408 = 826,5

Разделим эту сумму на 3 квартала, получим размер регулярного платежа: 826,5: 3 = 275,5 у.д.е.

Задача 51

Заданы сделки в виде дискретных потоков наличности, определённых таблицами:

где — доходы или расходы, выраженные в условных денежных единицах; соответственно tj — моменты времени, в которые происходят поступления или выплаты денег. Требуется: а) составить уравнение стоимости; б) определить, имеет ли сделка доходность; в) решить уравнение стоимости, если сделка имеет доходность, и вычислить с точностью до одного процента.

Решение:

а) Уравнение стоимости для данной сделки имеет вид:

Или: -5(1 + i) -1 + 3(1 + i) -3 — 2(1 + i) -4 + 9(1 + i) -6 = 0

Упростим данное уравнение, умножив обе его части на множитель (1 + i)6. Получим: — 5(1 + i)5 + 3(1 + i)3 — 2(1 + i)2 + 9 = 0

б) По правилу 1 вычислим итоговые суммы:

Таким образом, последовательность

имеет одну перемену знака (вначале следуют отрицательные члены, затем положительные), причём. Сделка имеет доходность.

в) Для нахождения доходности воспользуемся методом бисекции или деления отрезка пополам. Введём функцию:

f (i) = -5(1 + i)5 + 3(1 + i)3 — 2(1 + i)2 + 9 = 0

Решение уравнения будем искать при. Найдём вначале интервал, на концах которого функция принимает значение противоположных знаков. Тогда, как известно, корень находится внутри найденного интервала. Такой интервал находится подбором:

f (0) = -5 + 3 — 2 + 9 = 5 > 0

f (0,2) = -5 • 1,25 + 3 • 1,23 — 2 • 1,22 + 9 = -1,1376 < 0

Следовательно, в качестве исходного интервала можно взять (0; 0,2). Найдём середину этого интервала i1 = 0,1 и вычислим значение функции в этой точке:

f (0,1) = -5 • 1,15 + 3 • 1,13 — 2 • 1,12 + 9 = 2,52 045 > 0

Теперь из двух интервалов (0; 0,1) и (0,1; 0,2) выберем тот, на концах которого функция принимает значение различных знаков. Этот интервал (0,1; 0,2). Повторяя этот процесс, выберем середину последнего интервала и найдём. Аналогично, новый интервал, будет (0,15; 0,2). Возьмём его середину. Тогда и новый интервал будет (0,15; 0,175). Его середина. Далее,, новый интервал (0,1625; 0,175). Решим теперь вопрос о точности вычисления и, тем самым, о прекращении указанного процесса. На концах интервала (0,1625; 0,175) функция принимает значения разных знаков, следовательно,. Кроме того, длина данного интервала равна 0,0125. Поэтому, если в качестве приближённого значения взять середину интервала, то погрешность будет меньше половины, то есть меньше 0,006 и, следовательно, меньше заданной точности. Итак, Доходность сделки равна 17%.

1. Бадюков В. Ф. Финансовая математика: учебное пособие / В. Ф. Бадюков, С. Ю. Серкин. — Хабаровск: ХГАЭП, 2009.

2. Кузнецов Б. Т. Финансовая математика: учебное пособие для вузов / Б. Т. Кузнецов. — М.: ЭКЗАМЕН, 2005.

3. Лукашин Ю. Ф. Финансовая математика: учебное пособие / Ю. Ф. Лукашин. — М.: ЭКЗАМЕН, 2004.