Формирование эвристических приемов у учащихся 5-6 классов на уроках математики

Департамент образования города Москвы Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы

«Московский городской педагогический университет»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания Дипломная работа По теме: «Формирование эвристических приемов у учащихся 5−6 классов на уроках математики»

По специальности 50 201.65 «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика»

Студента

5 курса очной формы обучения Щеголькова Александра Александровича Научный руководитель:

доцент Варпаховский Ф.Л.

Допущена к защите Москва, 2010

Содержание Введение

Глава 1. История и общая характеристика эвристического метода

§ 1. Основные понятия эвристики

§ 2. Творческое мышление и эвристического обучения

§ 3. История эвристического обучения

§ 4.Эвристические приемы

§ 5. Психолого-педагогические особенности учащихся 5−6 классов Глава 2

§ 1. Система эвристических методов и приемов на уроках математики

§ 2. Анализ учебников на выявление эвристических задач

§ 3. Система эвристических задач

§ 4. Разработка уроков с примерами задач Заключение

Библиография

Приложения

Введение

В современных условиях в связи с постоянным увеличением объема научной, социальной, культурной, художественной и других видов информации, развитием информационных и производственных технологий человеку необходимо уметь ориентироваться в информационном потоке, осмысливать и перерабатывать его. Это влечет за собой интенсивный рост умственного и творческого труда. Сегодня обществу нужны личности, способные ориентироваться в происходящих событиях и явлениях, давать им адекватную оценку, принимать правильные решения в нестандартных ситуациях. В связи с этим в педагогической науке и практике на первом плане стоит формирование творческой личности, в особенности одного из главных личностных компонентов — мышления. ведутся активные поиски новых форм, методов и средств организации учебной и воспитательной деятельности, направленных на развитие умственных способностей учащихся, их творческого потенциала.

Проблема формирования творческого мышления учащихся в процессе обучения всегда была одной из центральных в отечественной и зарубежной педагогике и психологии. Однако, несмотря на наличие большого количества психологических и педагогических исследований, посвященных данной теме, остается фактом недостаточно высокий уровень развития мышления учащихся и их творческих способностей. В обучении естественно-математическим предметам традиционно больше внимания уделялось развитию логического мышления, где применяли такие операции, как анализ, синтез, сравнение, классификация; формировали умения наблюдать, объяснять явления, делать выводы.

При этом уровень овладения учащимися такими умениями, как находить аналогии, использовать редукцию, специализацию, суперпозицию, симметрию, инверсию, делать индуктивные предположения и обобщения, выдвигать и проверять гипотезы до сих пор остается низким. Таким образом, перед нами стоит задача формирования таких мыслительных умений, способность осуществлять которые будет свидетельством сформированности эвристического мышления.

Д. Пойа впервые обратил внимание на необходимость обучения старшеклассников и студентов первого курса вузов поиску путей решения нестандартных задач, методы и приемы решения которых неизвестны. Использование разработанного им «метода эвристических вопросов» позволяет собирать дополнительную информацию о задаче и направляет к эвристическому поиску.

В настоящее время в науке разработано достаточное количество эвристических приемов и методов решения задач. Большинство из них не ориентировано на использование в школьной практике преподавания. Однако в массовой образовательной практике эвристические приемы и методы используются не достаточно широко. Наиболее распространено обучение школьников алгоритмам и способам решения типовых задач с последующим выполнением большого их количества. При этом многие учащиеся старших классов и выпускники школ испытывают большие трудности при решении даже стандартных задач.

Целью данной работы является проведение анализа и подбор системы задач на формирование эвристических приемов у учащихся 5−6 классов на уроках математики.

Для достижения данной цели поставлены следующие задачи:

· Изучение психолого0педагогических особенностей учащихся 5−6 классов;

· Анализ школьных учебников с точки зрения применения эвристических методов;

· Подбор системы задач.

ГЛАВА 1. История и общая характеристика эвристического метода

§ 1. Основные понятия эвристики Эвристика представляет собой науку, которая разрабатывает различные приемы, позволяющие находить решение той или иной задачи, применяя анализ «близких задач». Речь обычно идет о задачах, для решения которых нет готового алгоритма, однако во многих отношениях похожих на задачи, где такой алгоритм существует или же задачах, решение которых известно. Сравнение данной задачи с похожими задачами позволяет часто подойти к её решению, найти «наводящие» соображения, активируя тем самым интуицию и творческий поиск. Эвристический метод известен еще со времен Сократа, который при исследовании ряда проблем как раз прибегал к системе наводящих вопросов.

Термин эвристика понимается в различных значениях:

1) Эвристическая деятельность или эвристические процессы, хотя и включают в себя умственные операции в качестве важной своей части, вместе с тем обладают некоторыми особенностями. Именно поэтому эвристическую деятельность следует рассматривать как разновидность человеческого мышления, которая создает новую систему действий или открывает неизвестные ранее закономерности в окружающих человека объектах.

2) Эвристические приемы — это приемы, которые сформировались в ходе решения одних задач и были осознанно перенесены на другие задачи.

3) Эвристический метод — метод, позволяющий педагогу предоставить учащимся больше самостоятельности и творческого решения задачи. Однако при использовании эвристического метода педагог должен учитывать следующие аспекты:

· Общий уровень развития ученического коллектива;

· Личностные особенности учащихся;

· Особенности изучаемого предмета.

Условия формирования творческих способностей:

· Положительные мотивы учения;

· Интерес учащихся;

· Творческая активность;

При этом в поле зрения учителя должны быть следующие задачи:

· Постоянное пополнения запаса знаний учащихся;

· Развитие общеучебных умений и навыков;

· Развитие творческой самостоятельности учеников;

· Воспитание творческой личности.

5) Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между условиями и тем что требуется или найти способ решения, не являющийся использованием некоторого общего правила, известного ученику или сделать и то и другое.

Эвристическая задача — лучший способ мгновенно возбудить внимание и учебный интерес, приблизить возможность открытия. Эвристические задачи могут быть предложены как для классной, так и для домашней работы, причем ученик должен иметь право выбора любого варианта задания.

§ 2. Творческое мышление и эвристическое обучение Для обучения эвристическим приемам необходим учет возрастных и индивидуальных особенностей мышления. Возрастные особенности интеллектуального развития достаточно обширно исследованы. Выявлен ряд стадий развития интеллекта, дана характеристика каждой стадии в зависимости от ведущего вида мыслительной деятельности.

На первой стадии ведущим является наглядно-действенное, практическое мышление, которое осуществляется в конкретной ситуации, в процессе практических действий с реальными предметами.

На второй стадии преобладает наглядно-образное мышление; оно позволяет решать задачи на основе действий не с реальными предметами, а образами и представлениями, содержащимися в детском опыте. Связь мышления с практическими действиями хоть и сохраняется, но не является такой прямой, непосредственной, как раньше. Чтобы решать задачи ребенок должен отчетливо представлять себе её условия и требования.

На третьей, высшей, ступени развития ведущую роль в мыслительной деятельности приобретает отвлеченное, абстрактно-теоретическое мышление.

Мышление выступает здесь в форме отвлеченных понятий и рассуждений, выделяющих связи между различными сферами окружающего мира. Овладение понятиями, законами, теориями оказывает значительное влияние на умственное развитие школьников.

Оно раскрывает возможности самостоятельного творческого приобретения знаний, их широкого применения на практике.

Одним из важнейших принципов развития эвристического мышления является развитие разных видов мыслительной деятельности: и абстрактно-теоретического, и наглядно-образного, и наглядно-действенного, практического мышления.

Эвристическое мышление появляется тогда, когда человек, попытавшись решить задачу на основе ее формально-логического анализа с использованием ему известных способов решения, убеждается в безрезультатности таких попыток и у него возникает потребность в новых знаниях, которые позволят решить задачу: эта потребность и обеспечивает его высокую познавательную и учебную активность.

Мышление как процесс обобщенного и опосредованного познания действительности всегда включает в себя элементы продуктивности, уровень ее (продуктивности) в процессе мыслительной деятельности может быть различным. Там, где уровень продуктивности достаточно высок, говорят о творческом мышлении как особом виде мыслительной деятельности. Условие возникновения такого мышления — наличие проблемной ситуации, которая способствует открытию новых знаний и стимулирует высокую активность решающего задачу субъекта.

Нахождение искомого предполагает открытие не известных субъекту признаков, нужных для решения проблемы, выявления связей между признаками и тех способов, с помощью которых они могут быть найдены.

Человек вынужден действовать в условиях неопределенности, намечать и проверять ряд возможных решений, осуществляя выбор между ними. Он ищет ключ к решению на основе выдвижения гипотез и их проверки, т. е. способы решения основываются на том, что человек может знать к какому результату придет, выполнив преобразования.

Большую роль в этом играют обобщения, позволяющие сокращать количество той информации, на основе анализа которой человек приходит к открытию новых знаний, уменьшать число проводимых при этом шагов к достижению цели.

По словам Л. Л. Гуровой «весьма плодотворным в поиске пути решения проблемы оказывается ее содержательный, семантический анализ, направленный на раскрытие натуральных отношений объектов, о которых говорится в задаче. В нем существенную роль играют образные компоненты мышления, которые позволяют непосредственно оперировать этими натуральными отношениями объектов. Они представляют собой особую, образную логику, дающую возможность устанавливать связи не с двумя, как при словесном рассуждении, а со многими звеньями анализируемой ситуации, действовать, в многомерном пространстве».

Новизна проблемы определяет новый путь ее решения: включение эвристических приемов, анализа содержания проблемы. Здесь наряду с словесно-логическими обобщениями также важны обобщения интуитивно-практические. Они возникают в процессе анализа наглядных ситуаций, решения конкретных практических задач, действий с предметами или их моделями, что облегчает поиск неизвестного, однако сам процесс этого поиска осуществляется интуитивно.

В результате творческого мышления происходит становление психических новообразований — новых систем связи, новых форм психической саморегуляции, свойств личности, ее способностей, что знаменует сдвиг в умственном развитии.

Творческое мышление характеризуется высокой новизной своего продукта, особым процесса его получения и существенным влиянием на умственное развитие. Оно является решающим фактором в умственной деятельности, так как обеспечивает реальное движение к новым знаниям.

Эвристическая деятельность или эвристические процессы, хотя и включают в себя умственные операции в качестве важной своей составляющей, вместе с тем обладают некоторой спецификой. Именно поэтому эвристическую деятельность следует рассматривать как такую разновидность человеческого мышления, которая создает новую систему действий или открывает неизвестные ранее закономерности окружающих человека.

Некоторые психологи для того чтобы как-то обозначить эти различия предпочитают в отношении такого вида мышления школьников употреблять термин «продуктивное мышление», а термином «творческое мышление» обозначать высшую ступень мыслительной деятельности. Однако по сути творческое, креативное, продуктивное мышление являются синонимами.

Креативное мышление предполагает не только широкое использование усвоенных знаний, но и выход за границы прошлого опыта, отступления от привычных ходов мысли, разрешение противоречий между актуализированными знаниями и требованиями проблемной ситуации, оригинальность решений, их своеобразие, переключения от одних действий к другим.

Для творческого решения проблем важно не только выделить существенные признаки, но и, удерживая в уме всю их совокупность, действовать в соответствии с ними не поддаваясь на влияние внешних, случайных признаков анализируемых ситуаций. Так же важно открытие новых знаний, характерное для эвристического мышления, представляет собой скачкообразный, циклический процесс, в котором выступают как хорошо осознанные словесно-логические компоненты, так и подсознательные, интуитивно-практические компоненты; включение интуиции в процесс поиска новых знаний.

§ 3. История эвристического обучения Прообразом эвристического обучения является метод Сократа (Сократические беседы), который путем особых вопросов и рассуждений помогал собеседнику самостоятельно приходить к постановке или решению проблемы. Причем истина открывалась подчас не только ученику, но и самому учителю.

Беседу относят к наиболее старым методам дидактической работы. Ее мастерски использовал еще Сократ, от имени которого и произошло понятие «сократическая беседа». Считая, что он сам не обладает истиной, Сократ помогал родиться ей в душе своего собеседника. Свой метод он уподоблял повивальному искусству — профессии его матери, называя его майевтикой. Подобно тому как та помогала рождаться детям, Сократ помогал рождаться истине. «Истина не рождается и не находится в голове отдельного человека, она рождается между людьми, совместно ищущими истину в процессе их диалогического общения».

Метод Сократа развивался и совершенствовался в трудах великих педагогов. О необходимости учить детей «открывать источники и выводить оттуда различные ручейки» писал в «Великой дидактике» Ян Амос Коменский. Педагогику естественного воспитания, опирающуюся на природосообразное развитие ребенка создавал Ж.-Ж. Руссо. «Единственный метод образования есть опыт» — такой вывод сделал Л. Н. Толстой на основе анализа истории развития педагогики и результатов работы своей школы для крестьянских детей.

В России пропагандировалось применение эвристической формы обучения в народных школах и считалось необходимым ввести ее изучение в учительских семинариях В начале XX в. мир завоевывают идеи «учения через деятельность» педагогов-прогрессивистов во главе с Дж. Дьюи. Получают распространение методы проектов, Дальтон-план, а далее — развивающее и проблемное обучение. Почти все новые концепции, методы и технологии обучения в той или иной мере включают в себя элементы эвристики.

Между тем есть все основания выделить эвристическое обучение в качестве особого типа и рассмотреть с эвристической точки зрения все основные элементы дидактики — цели, принципы, содержание, формы и методы обучения. Полученная в результате система обучения позволит решать задачи усиления продуктивности образования и индивидуальной самореализации учащихся.

Эвристическая дидактика — это теория обучения, устанавливающая цели, принципы, содержание и технологию такого типа образования, которое обеспечивает создание учениками и учителем образовательных продуктов и построение на этой основе индивидуальных образовательных траекторий в изучаемых областях знаний и деятельности.

Главная особенность эвристического обучения состоит в том, что оно предполагает изменение общепринятого смысла образования. Согласно традиционной дидактической схеме, ученик вначале осваивает опыт прошлого, «получает знания» и лишь затем применяет их, в том числе и творчески.

Считается, что приращение знаний возможно только после знакомства с уже имеющимися. Имеющиеся же знания, например в учебнике, являются обезличенными, зависящими подчас от субъективного мнения автора учебника или господствующей в государстве идеологии. При эвристическом обучении добываемые знания носят личностный характер, поскольку ученик изначально творит их в исследуемой области реальности.

Извлечение скрытых в человеке знаний может быть не только методом, но и методологией всего образования. В этом случае ученику предлагается выстраивать путь своего образования в каждом из изучаемых предметов, создавая не только знания, но и личностные цели занятий, программы своего обучения, способы освоения изучаемых тем, формы представления и оценки образовательных результатов. Личностный опыт ученика становится компонентом его образования, а содержание образования создается в процессе его деятельности.

В эвристике как молодой, развивающейся науке не все понятия достаточно четко определены. Это прежде всего относится к понятию «эвристический метод». Многие исследователи понимают под ним определенный эффективный, но недостаточно надежный способ решения задач. Он позволяет ограничивать перебор вариантов решения, т. е. сокращать число вариантов, изучаемых перед тем, как выбрать окончательное решение. Понятно, что это определение понятия «эвристический метод» не может быть признано удовлетворительны, так как в нем представлена лишь внешняя характеристика явления, но не раскрыты существенные его черты. Чтобы раскрыть существо этого понятия, необходимо иметь в виду, что сам термин «эвристический» применим к явлениям двоякого рода. Во-первых, можно рассмотреть как эвристическую деятельность человека, которая приводит к решению сложной, нестандартной задачи, во-вторых, эвристическими можно считать и специфические приемы, которые человек сформировал у себя в ходе решения одних задач и более или менее сознательно переносит на решение других задач.

Начало применения эвристического метода (как метода общения математике) можно найти еще в книге известного французского педагогаматематика Лезана «Развитие математической инициативы». В этой книге эвристический метод не имеет еще современного названия и выступает в виде советов учителю.

Лезан приводит множество примеров, наглядно показывая, как сделать обучение математике более эффективным. опираясь на явную заинтересованность учащихся процессом обучения.

Дистервег пытался на примере преподавания стереометрии обосновать преимущества эвристического метода. Он пришел к выводу, что учащимся важно знать как придти к доказательству, нежели знать само доказательство.

Долгое время основное внимание учителей было приковано к первой функции методов — усвоению знаний. Вторая же их функция — развитие познавательных способностей — оставалась в тени. В результате в школах сложился определенный тип учебного процесса, характеризующийся стремлением учителя преподнести все знания в готовом виде. Такая методика обучения приводит к тому, что познавательная деятельность учащихся приобретает односторонний воспроизводящий характер: главные усилия учащихся направлены на восприятие готовых знаний, их запоминание и последующее воспроизведение.

§ 4.Эвристические приемы Эвристические приемы — вид приемов, используемых для решения творческих (нестандартных, креативных) задач, которые не гарантируют, но увеличивают вероятность решения.

Анлизом эвристических премов занимался венгерский, швейцарский и американский математик Дьердь Пойа. «Пытаясь решить задачу, мы можем многократно менять свою точку зрения, свой взгляд на задачу. Мы принуждены менять свою позицию вновь и вновь» пишет он в своей книге «Как решать задачу». Для решения задачи Пойа выделяет четыре ступени:

Ш Понимание постановки задачи;

Ш Выявление связей друг с другом различных элементов задачи, для получения представления о решении, составление плана решения;

Ш Осуществление плана;

Ш Просмотр полученного решения и его анализ.

На первом шаге ученик должен исследовать данные задачи, построить чертеж и, если необходимо, ввести некоторые обозначения объектов задачи, уделяя определенное внимания символам для обозначения.

На втором шаге решения — составлении плана — можно использовать аналогичные задачи, решенные ранее. «Рассмотрите неизвестное. И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным». Часто полезно переформулировать задачу, решить её от конца к началу.

На третьем шаге производится осуществление намеченного плана, при этом контролируется и обосновывается каждый пункт решения задачи.

Но последнем четвертом шаге проверяются результаты, ход решения, ищутся другие способы решения.

К эвристически приемам здесь можно отнести методы и приемы первых двух шагов решения задачи.

Эвристические приемы составляют основу творческого решения любой проблемы. Например, С. Баррет приводит приемы, формулируя их в виде опросника для стимуляции творческого мышления.

Приемы творческого решения проблемы

Выделяют 6 общих эвристических приемов: акцентуация, варьирование объекта, трансляция, реверсия, индукция, варьирование среды, которые в свою очередь разбивают на специальные (предметные) эвристические приемы, отражающие специфику сферы деятельности, в которой решается проблемная задача. Последние в свою очередь подразделяют на частные (тематические) приемы, которые применяются для решения определенного круга задач, могут обобщаться в специальные методы, алгоритмы.

Данные эвристические приемы описывают в виде следующей таблицы, содержащей их методологическую характеристику и показав, каким образом они используются в различных систематиках.

§ 5. Психолого-педагогические особенности учащихся 5−6 классов Школа и обучение занимают одно из главных мест в жизни подростков, но они не одинаковы у разных детей, несмотря на осознание важности и необходимости учения. Для многих привлекательность школы возрастает из-за возможности широкого общения со сверстниками, но само учение от этого не редко страдает. Для подростка урок — это 45 минут не только учебной работы, но и ситуация общения с одноклассниками и учителем, насыщенная множеством значимых поступков, оценок, переживаний. Выполняя разные задания, ребята не прекращают общения. Только очень интересное объяснение материала и мастерство учителя в организации работы на уроке могут заставить младшего подростка забыть о товарищах.

К моменту перехода в среднюю школу дети различаются по многим важным параметрам, а именно:

1) в отношении к учению — от очень старательных до равнодушного;

2) в общем развитии — от высокого уровня и значительной для возраста осведомлённости до очень ограниченного кругозора;

3) в способах усвоения учебного материала — от умения самостоятельно работать и осмыслить материал до полного отсутствия навыков самостоятельной работы в сочетании с привычкой заучивать дословно;

4) в интересах — от ярко выраженных интересов к какой-то области знаний и наличия содержательных занятий до почти полного отсутствия познавательных интересов.

Степень внешней выраженности дефектов учебной деятельности может быть разной. Если в младших классах некоторые из них ещё не мешали детям хорошо учиться, то уже в 5 классе эти дефекты из скрытых превращаются в явные и выступают в качестве серьёзных препятствий для полноценного усвоения знаний. Если их не ликвидировать вовремя, они могут привести к последствиям необратимого характера: неспособности самостоятельно усваивать новый, постепенно усложняющийся материал. Первый показатель неблагополучия в учении подростка — ухудшение успеваемости по сравнению с младшими классами. Причины этого могут быть связаны с испорченным отношением к учению, с неправильными способами усвоения учебного материала и естественным следствием того и другого — увеличением пробелов в знаниях.

При переходе в среднюю школу сразу значительно осложняется учебная работа подростков: вместо одного учителя появляются 5−6 новых. У них разная манера объяснения и опроса, неодинаковые требования и отношение к учащимся, которых учителя к тому же вначале и не знают. Процесс приспособления к новым и разным требованиям учителей, как правило, проходит трудно для класса в целом и, особенно для учащихся со скрытыми и явными дефектами учебной деятельности. Взаимоотношение учеников и учителей-предметников иные, чем с учителем в младших классах, более поверхностные, менее личные. Каждый новый учитель всегда вызывает интерес. Когда же сразу много появляется разных учителей — по уровню профессионального мастерства, особенностям личности, поведения и отношения к учащимся, то возникает и развивается сравнение и оценка педагогов по разным параметрам. Мастерство одних питает критицизм по отношению к другим. Вследствие этого, во-первых, появляется дифференцированное отношение к учителям, выделение «любимых» и «нелюбимых», а во-вторых, развиваются средства познания другого человека, формируется новые критерии оценки деятельности и личности взрослого. Одна группа критериев касается качества преподавания, другая — особенностей отношения учителя к подросткам, причём в начале подросткового возраста именно умение или неумение учителя правильно построить отношения с детьми определяет степень трудности его работы в данном классе.

У младших подростков отношение к учебному предмету, прежде всего, зависит от отношения к учителю и получаемых отметок. Многим нравится то, что даётся легко и приносит успех. Наряду с этим всё больше привлекает содержание, которое требует интеллектуальной активности, самостоятельных действий, расширяющее кругозор. Дифференцировка учебных предметов на «интересные» и «неинтересные» во многом определяется качеством преподавания и личными интересами подростка, а деление уроков на «нужные» и «ненужные» связано с формированием профессиональных намерений.

Таким образом, можно сделать вывод, что этот возраст имеет большое значение для развития мышления учащихся. Поэтому необходимо дополнять действующие учебники по математике занимательными задачами и историей математики.

Всякий мыслительный процесс является по своему внутреннему строению действием или актом деятельности, направленным на разрешение определённой задачи. Задача это заключает в себе цель для мыслительной деятельности индивида, соотнесенную с условиями, которыми она задана. Мыслительный акт субъекта исходит из тех или иных мотивов. Начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация, т. е. ситуация, для которой нет готовых средств решения. Мыслить человек начинает, когда у него появляется потребность что-то понять. Мышление обычно начинается с проблемы или вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия.

Развитие мышления ребёнка совершается в нескольких планах — непосредственно в действенном плане, образном плане и в плане речевом. Эти планы, конечно, взаимодействуют и взаимопроникают друг в друга. Развитие мышления в действенном и образном планах, всё более разумное оперирование вещами является предпосылкой и результатом развития речевого мышления. Обусловливая развитие речевого мышления, всё более разумная практическая деятельность ребёнка в свою очередь развивается под его воздействием.

Мышление ребёнка зарождается и развивается сначала в процессе наблюдения, которое является не чем иным, как более или менее целенаправленным мыслящим восприятием.

Репродуктивное мышление характеризуется меньшей продуктивностью, но оно играет важную роль. На основе этого вида мышления осуществляется решение задач знакомой школьнику структуры. Оно обеспечивает понимание нового материала, применение знаний на практике, если при этом не требуется их существенного преобразования. Возможности репродуктивного мышления определяются наличием исходного минимума знаний.

Различны способы создания предметных образов по чертежам, схемам. Одни учащиеся опираются на наглядность, ищут в ней своеобразную сенсорную опору. Другие легко и свободно действуют в уме. Некоторые учащиеся быстро создают образы на основе наглядности, долго сохраняют их в памяти, но теряются, когда требуется видоизменить образ, так как в этих условиях образ у них как бы расширяется, исчезает. Третьи хорошо оперируют образами.

Обнаружена следующая закономерность: там, где первоначально созданные образы менее наглядны, ярки и устойчивы, их преобразование идёт более успешно; в тех случаях, когда образ отягощён различными деталями, манипулирование им идёт с затруднениями.

В зависимости от того, владеет ли субъект средствами решения, задачи делятся на три вида:

а) научная задача, когда средства её решения ещё неизвестны ни субъекту, ни науке;

б) субъективная задача, когда эти средства объективно известны, но не известны субъекту.

Степень проблемы здесь различная: от случаю, когда человек даже не знаком с областью знаний, в которой содержаться эти средства, до случая, когда он знает все элементы метода решения, но не умеет их использовать;

в) задача-упражнение, когда метод решения известен субъекту.

Вид и характер моделирования задачи определяется главным образом характером сформированных у решающего эвристических программ решения и особенностями самой задачи.

После решения задачи наступает этап рефлексии на пройденный путь мышления. Мышление обладает своеобразной инерцией, и, решив задачу, человек мысленно повторяет пройденный путь, отдельные его этапы, анализирует их, выявляет удачные и неудачные моменты и т. д. В этом процессе происходит и обобщение решённой задачи и способа её решения. Такое обобщение приводит к выработке эвристической программы или к её коррекции.

Учитель должен уделять этому этапу особое внимание, вырабатывая тем самым у учащихся потребность и привычку к рефлексии своей умственной деятельности, к выработке у себя эвристических программ такой деятельности.

Особенности учащихся, способных к математике, выражаются в следующем:

1. Способные ученики могут без специального упражнения и указаний учителя самостоятельно осуществить обобщение математических объектов, отношений, действий «с места», на основании анализа лишь одного явления в ряду сходны явлений. Каждая конкретная задача сразу осознаётся ими как представитель некоторого класса однотипных задач и решается в общей форме.

Способные ученики обобщают математический материал не только быстро, но и широко. Они обобщают и методы решения, принципы подхода к решению задач, поэтому способность к обобщению сказывается и на эффективности решения нестандартных математических задач.

2. Способные к математике ученики быстро переходят в процессе решения задач к мышлению «свёрнутым» структурами. Этот переход обычно начинается непосредственно после решения первой же задачи данного типа и довольно быстро достигает максимального развития, когда промежуточные звенья рассуждения «выпадают» и устанавливается своеобразная прямая ассоциация между осознанием задачи и выполнением определённой задачи и выполнением определённой системы действий, а нередко даже между осознанием задачи и осознанием результата.

3. Способных к математике учащихся отличает большая гибкость, подвижность мыслительных процессов при решении математических задач. Она выражается в лёгком и свободном переключении с одной умственной операции на качественную иную, в многообразии подходов к решению задач, в свободе от сковывания шаблонных способов решения, в лёгкости перестройки сложившихся схем мышления и действия.

4. Для способных школьников весьма характерно стремление к наиболее рациональным решениям задач, поиски наиболее ясного, кратчайшего и изящного пути к цели. Это выглядит как своеобразная тенденция к экономии мысли.

5. Способные к математике ученики отличаются способностью быстро и резко перестраивать направленность мыслительного процесса с прямого на обратный, путём обратных рассуждений.

6. При решении трудных задач способными учащимися пробы часто являлись не столько непосредственными попытками решения задачи, сколько средством всестороннего исследования её с извлечением из каждой пробы дополнительной информации.

7. Способные ученики в большинстве случаев довольно долго помнят тип решённой ими в своё время задачи, общий характер действий, но не помнят конкретных данных задачи.

ГЛАВА 2.

§ 1. Система эвристических методов и приемов на уроках математики эвристика мышление математика учебник В поиске основного утверждения и открытия закономерностей используются многие эвристические приемы и методы, такие как: прием элементарных задач, прием восходящего анализа, метод аналогий, проблемный метод и др.

Суть приема элементарных задач различные авторы трактуют по-разному. Одни считают что он заключается в использовании простейших упражнений для формирования навыков применения отдельных теорем, определений, аксиом. Другие связывают этот прием с решением задач, которые являются элементами основной.

Система вспомогательных элементарных упражнений, используемых для обучения решению задач, может быть построена с помощью анализа этого решения. Умение строить такую систему позволяет сделать процесс решения задачи управляемым, заранее предвидеть трудности учащихся и помощь в их преодолении. Более эффективен метод элементарных задач в иной модификации, суть которой заключается в следующем. Для задач каждой темы любого учебника математики можно составить элементарные задачи, которые в свою очередь будут являться элементами большинства задач этой темы. Решение таких задач должно стать неотъемлемой частью обучения школьников в процессе обучения.

Под аналогией понимают сходство предметов в каких-либо свойствах, признаках или отношениях. Умозаключение по аналогии — это такое умозаключение, в результате которого делается вывод о том, что исследуемый предмет, возможно, имеет еще один признак Х, поскольку остальные известные признаки этого предмета сходны с признаками другого предмета, обладающего и признаком Х.

Анализ деятельности применения аналогии в различных ситуациях позволят выделить следующие действия:

1. составить аналогию различных заданных объектов и отношений;

2. находить соответственные элементы в заданных аналогичных предложениях;

3. составлять предложение, аналогичное данному;

4. составлять задачу, аналогичную данной4

5. проводить рассуждение при решении задачи по аналогии с решением сходной задачи.

Метод проблем можно разделить на три типа, которые приближают процесс обучения математике к процессу исследования в математике.

Это проблема математического описания, то есть перевода на язык математики ситуаций и задач, возникающих как вне математики, так и внутри математики. В общем виде ее можно назвать проблемой построения математических моделей.

Второй тип проблем состоит в исследовании результата решения проблем первого типа, это проблема исследования различных классов моделей. Результатом решения проблем этого типа является дальнейшее развитие системы теоретических знаний путем включения в нее новых «маленьких теорий» .

Третий основной тип проблем связан с применением новых теоретических знаний, полученных в результате решения проблем второго типа, в новых ситуациях, заметно отличающихся от тех, в которых приобретены эти знания. Результатом решения проблем этого типа является перенос математических знаний на изучение новых объектов.

Таким образом, три основных типа проблем выполняют различные функции: решение проблем первого типа дает новые знания; решение проблем второго типа приводит эти знания в систему; решение проблем третьего типа раскрывает новые возможности применения этой. системы знаний.

Несмотря на явные достоинства проблемного обучения перед непроблемным, ни на каком этапе школьное обучение не может строиться целиком как проблемное. Для этого потребовалось бы много времени, намного больше, чем возможно выделить на обучение математике.

Анализ условия задачи и анализ решения задачи — важнейшие этапы ее решения. Важно знакомить учащихся с методом восходящего анализа. Схема метода проста: что требуется доказать? что для этого достаточно доказать?

Ясно, что метод восходящего анализа (как и вообще любой метод доказательства утверждения) не является универсальным.

В тетради учащиеся записывают памятку.

Анализ условия задачи:

· что дано? что отсюда следует?

Анализ решения задачи:

· что найти? что для этого надо знать?

Овладение школьниками методом анализа помогает им сознательно и самостоятельно находить решение, целенаправленно действовать на каждом этапе, что способствует развитию логического мышления.

§ 2. Анализ учебников на выявление эвристических задач Арифметика 5 С. М. Никольского Учебник «Арифметика» из серии «МГУ-Школе» имеет высокий научный и методический потенциал. Он отличается расположением учебного материала в естественной логической последовательности, позволяющей излагать материал более глубоко, экономно и строго. Учебник нацелен не только на формирование навыков, а учит действовать осознанно. Учебник позволяют интенсифицировать процесс обучения, что в условиях уменьшения числа учебных часов особенно важно. Он обеспечивает обучение тех школьников, которые хотят и могут обучаться основам наук, так как нацелены на повышенный уровень математической подготовки учащихся.

Основной методический принцип, положенный в основу изложения теоретического материала и организации системы упражнений, заключается в том, что ученик за один раз должен преодолевать не более одной трудности. Поэтому каждое новое понятие формируется, каждое новое умение отрабатывается сначала в «чистом» виде, потом трудности совмещаются. Так происходит, например, при изучении отрицательных чисел: сначала изучаются целые числа, на которых легче освоить идею знака числа, а уж потом — все рациональные числа.

Арифметика — важнейшая основная логическая наука. Правильное ее изучение приводит не только к умению вычислять, но и к умению логически мыслить. Арифметика — стержень курса математики для 5 — 6 классов и фундамент всей школьной математики и смежных дисциплин. Внутренняя логика арифметики диктует порядок изложения основного учебного материала. Схема изложения материала в учебнике выбрана так, что отвечает научным представлениям о расширении понятия числа и в тоже время учитывает возрастные особенности учащихся 5 — 6 классов, количество учебных часов, отведенных учебным планом на курс математики в этих классах. Сначала изучаются обыкновенные дроби в полном объеме в 5 классе, потом — десятичные дроби в 6 классе.

Ведущей идеей учебника является идея формирования понятия числа, как длины отрезка, а точнее — как координаты произвольной точки прямой. В учебниках уделено достаточно внимания алгебраическому и геометрическому материалу, который принято изучать в 5 — 6 классах.

Математика 5−6 Н. Я. Виленкина Наряду с тем, что эти учебники пользуются исключительной популярностью среди учителей и учащихся, следует отметить, что они также обеспечивают преемственность с курсом математики в начальной школе и курсами алгебры в последующих (старших) классах для большинства программ.

Материал изложен доступно, интересно. Нравится красочность оформления, многообразие упражнений, рассчитанных на устное повторение и закрепление изученного. Много материала для устного счета. Выделены задания для классной и домашней работы, задания для устного счета и для повторения. В учебнике содержится исторический материал. Присутствует рубрика «Говори правильно», которая способствует правильной математической речи обучающихся. Формулировки определений, правил, образцы решения задач по форме и характеру рассчитаны непосредственно на ученика. Материал учебника позволяет учителю увидеть методические замыслы авторов учебника и реализовать их.

К сожалению, в учебнике «Математика 6» отсутствуют дополнительные вопросы и задачи повышенной трудности.

Математика 5−6 Г. В. Дорофеева Учебник «Математика 5"Недостаточно заданий на повторение, нет упражнений для устного счета.

Имеются разноуровневые и развивающие задания.

Много задач. Арифметический подход к решению задач способствует развитию логического мышления учащихся. Учащиеся знакомятся с обыкновенными дробями и изучают все действия сразу. Это, по-моему, способствует лучшему усвоению данного материала.

Много дополнительного материала, рассмотрены такие разделы математики, как комбинаторика и статистика.

Методические особенности учебника заключаются в том, что выдвигается приоритет развития в обучении, меняются акценты в преподавании, явно выдвигается задача формирования интеллектуальной восприимчивости, гибкости и независимости мышления.

Введение

новых понятий позволяет создать у учащихся запас содержательных представлений, служащих основой для последующей формализации, способствует пониманию, даёт возможность школьникам самостоятельно открывать новые знания. Широко используется диалог и обращение к ученику, опора на опыт учащихся, привлечение современных сюжетов при изложении теоретического материала и в задачах. Содержатся интересные для учащихся формы заданий: задания с выбором ответа, задачи-исследования, задания нестандартной формы, нестандартная форма вопроса. Включение в курс математики нового содержания — элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности — направлено на формирование комбинаторного мышления и вероятностной интуиции.

Развитию логического мышления способствует многообразие текстовых задач, решаемых арифметически, логическими приёмами. Большую роль играет принцип моделирования в обучении решению задач. Приёмы решения текстовых задач выступают как средство обучения способам рассуждений, анализу ситуации, выбору стратегии решения задач. В обучении решению задач используются для записи условия схематические рисунки, модели, позволяющие представлять рассматриваемую ситуацию наглядно, без которых трудно понять логику рассуждений.

Учебник для 6 класса входит в комплект по математике для 5−6 классов под редакцией Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина. В учебнике уделено особое внимание на формирование вычислительной культуры и обучение логическим приемам решения текстовых задач. Учебник помогает расширить геометрический кругозор учащихся. Включены элементы статистики, комбинаторики и вероятности. Каждая глава помимо изложения теории и задач двух уровней, содержит задания для самопроверки и материал для тех, кому интересно.

Структура данного учебника полностью повторяет структуру учебника для 5-го класса, что облегчает работу с ним как учителю, так и ученику. Такие традиционно трудные темы для изучения, как «Обыкновенные дроби», «Положительные и отрицательные числа», снабжены большим количеством красочных иллюстраций, что значительно повышает уровень наглядности изложения материала по сравнению с другими учебниками.

Математика 6 И. И. Зубаревой, А. Г. Мордковича Учебник нового поколения, с проблемным подходом в изучении нового материала. На мой взгляд учебник доступен для восприятия учащихся, учитывает возрастные особенности детей. Учебник способствует выполнению образовательной программы, содержит много заданий исследовательского характера, но при том не позволяет достигать высоких образовательных результатов, т.к.содержит мало заданий поискового характера. В учебнике недостаточно заданий, для отработки многих тем приходится использовать дополнительную литературу, но в тоже время большим плюсом является наличие в конце учебника контрольных работ. Хочется отметить высокий уровень полиграфического исполнения, качественное художественное оформление учебника, но минусом является то, что в учебнике много допущено ошибок и опечаток. Привлекает проблемный метод изложения нового материала, большое количество упражнений для устной разминки на уроке, однако упражнений на отработку навыков по новой теме, на мой взгляд, недостаточно.

В целом, во всех проанализированных мною учебниках присутствуют задачи, позволяющие сформировать эвристические приемы у учащихся 5−6 классов. Однако стоит особо выделить учебник И. И. Зубаревой, А. Г. Мордковича, построенного таким образом, что ребенок, решая задачи, открывает для себя новый материал, новые знания.

§ 3. Система эвристических задач Прием элементарных задач.

6-й класс. Наименьшее общее кратное.

Задача № 1.

Вдоль дороги из пункта, А поставлены столбы через каждые 45 метров. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта, А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.

Прежде чем решить данную задачу, учащимся предлагается решить более простые задачи:

Вдоль дороги из пункта, А поставлены столбы через каждые 10 метров. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 30 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта, А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.

Решение:

Выполним чертеж для задачи:

Решение данной задачи очевидно — 30 м.

Однако решение данной задачи наталкнет учащихся на решение следующей задачи:

Найти НОК для чисел 15 и 45.

Решение:

Выпишем числа, кратные 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90…

45=3*3*5, 15=3*5

НОК: 3*3*5=45

После решения данных задач можно приступить к решению исходной задачи.

Решение:

Найдем НОК чисел 45 и 60:

45=3*3*5, 60=2*2*3*5

НОК: 3*3*5*2*2=180

Ответ: расстояние от пункта, А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, 180 метров.

Задача № 2.

Летит стая гусей и на встречу ей один гусь.

— здравствуйте сто гусей! — сказал ей гусь

— Нас не сто, — ответил вожак стаи. — Вот если бы нас было еще столько, да полстолько, да четверть столько, да еще один гусь — вот тогда бы нас было сто гусей.

Сколько гусей было в стае?

Прежде чем решать данную задачу решим несколько простых задач.

Задумали некоторое число. Затем к нему прибавили это же число и получили 18. какое число задумали?

Решение:

Пусть х — задуманное число. Тогда составим уравнение:

x+x=18 => x=9.

Ответ: задумали число 9.

Задумали некоторое число. Затем к нему прибавили половину этого числа и получили 36. Какое число задумали?

Решение:

Пусть х — задуманное число, тогда? x — это половина задуманного числа. Составим уравнение:

x+½x=36

решая данное уравнение учащиеся найдут задуманное число — 24.

Теперь с детьми можно решить старинную задачу про гусей.

Обозначая за х количество гусей в стае, анализируя условие задачи и основываясь на предыдущих задачах, составим уравнение для данной задачи:

Х+х+½х +¼х+1=100

Решая получившееся уравнение, находим ответ — в стае 36 гусей.

Задача № 3

Из пункта, А в пункт В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через полчаса из пункта В в пункт, А выехал мотоциклист со скоростью30 км/ч. Через сколько времени они встретятся, если расстояние между пунктами 40 км.

Данную задачу можно разбить на простые задачи:

o Найти пройденный петь велосипедиста за полчаса;

o Найти скорость сближения;

o Зная путь и скорость сближения, найти через сколько времени мотоциклист и велосипедист встретятся.

Метод аналогий.

5-й класс. Операции сложения, вычитания, умножения и деления.

При изучении темы «площадь» в 5 классе можно установить аналогию между единицами измерения длины и площади. Затем можно задать следующие вопросы:

1. какие единицы длины, аналогичные единицам площади, вы знаете?

2. Какая единица площади аналогична сантиметру (дециметру, метру и т. д.)?