Разработка и применение метода конечных суперэлементов для решения задач математической физики в неоднородных областях

Существует широкий класс задач, решение которых содержит резкие неоднородности, проявляющиеся на мелких по отношению к размеру расчетной области пространственных масштабах. Численное решение таких задач сеточными методами требует специальных сеток для разрешения особенностей. Для этого необходимо использовать либо адаптивные к решению сетки, сгущающиеся в окрестности особенностей, либо достаточно мелкие сетки с шагом к и огромным количеством точек. Первый вариант требует применения специальных алгоритмов, второй — соответствующей памяти ЭВМ. В то же время проявления особенностей зачастую являются локальными, сосредоточенными в мелкомасштабных подобластях. Подтверждением тому является характерный вид функций Грина ([1]) и типичных решений многих задач математической физики ([2]), а также такие физические эффекты, как принцип Сен-Венана в теории упругости ([3]) и другие. Наличие областей сосредоточения неоднородностей позволяет ввести сетку с характерным размером Н к, узлы и ребра которой проходят по участкам относительной гладкости решения. При этом сетка размером Н заведомо не позволит разрешить особенности решения при использовании обычных численных методов, но зато число ее узлов достаточно мало.

Для решения подобных задач на сетках размером Н в работах Л. Г. Страховской и Р. П. Федоренко ([4]-[7]) был предложен метод конечных суперэлементов (МКСЭ).

Метод конечных элементов (МКЭ) основан на представлении решения задачи в виде разложения по системе базисных функций, имеющих конечный носитель. При этом мера таких носителей предполагается малой (сетка К) и стремящейся к нулю. Базисные функции в МКЭ берутся в виде функций сравнительно простой структуры, как правило, полиномиальной. МКСЭ также основан на представлении решения задачи в виде разложения по системе базисных функций, имеющих конечный носитель. Однако в случае МКСЭ мера таких носителей (сетка Н) не предполагается стремящейся к нулю и столь велика, что она заведомо не позволяет (при использовании МКЭ) передать особенности решения. Другое отличие касается построения базисных функций. В МКСЭ базисные функции строятся для данной рассматриваемой задачи специальным образом так, чтобы в них самих содержалась значительная информация о решении задачи. Именно специальный, под задачу, выбор базисных функций и позволяет с помощью очень грубого разбиения исходной области получить хорошее численное решение.

Метод конечных суперэлементов появился более 25 лет назад и использовался при решении ряда сложных задач диффузии, теории упругости, кинетики ядерных реакторов и других. Несмотря на свой возраст, теоретически метод исследован сравнительно слабо. Обоснование одного варианта метода было предложено в работах В. В. Репяха ([8, 9]).

Целью данной работы является дальнейшая разработка и развитие метода конечных суперэлементов Р. П. Федоренко и его применение для решения задач математической физики в физически и геометрически неоднородных областях.

В работе разработан теоретический подхода для построения и исследования метода конечных суперэлементов, а также исследована эффективность метода при решении различных задач.

В работе МКСЭ примененен для численного решения таких задач, как задача о скважине для уравнения Лапласа в двумерной области, задача о скоростном скин-слое в пространственно двумерном случае и задача теории упругости композиционных материалов в пространственно трехмерном случае. Для этих задач построены и исследованы аппроксимации метода конечных суперэлементов, проведено их численное исследование.

В настоящей работе предложен теоретический алгоритм, позволяющий строить и исследовать аппроксимации МКСЭ для достаточно широкого класса задач. Помимо МКСЭ рассмотрены комбинированные аппроксимации метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов.

Рассмотрим причины, по которым для исследования МКСЭ не может непосредственно применяться техника исследования обычного метода конечных элементов, а также особенности подходов, используемых при исследования и использовании обычного метода конечных элементов, метода конечных суперэлементов и комбинированных аппроксимаций.

Алгоритмически эти методы сходны. Во всех случаях приближенное решение ищется как линейная оболочка некоторой системы базисных функций. Конечномерная задача (система линейных алгебраических уравнений для узловых значений конечных элементов/суперэлементов) во всех случаях формально получается из условия ортогональности невязки приближенного решения некоторому конечномерному подпространству. Отличие состоит в том, что в случае МКЭ базисные функции задаются (исходя из некоторых условий), а в случае МКСЭ (или комбинированного подхода) все (или некоторые) базисные функции рассчитываются как точные решения рассматриваемой задачи.

Несмотря на внешнее сходство, эти методы качественно различны с точки зрения их теории. Остановимся на этом подробнее.

Предположим, что ищется решение и следующей задачи: и еШ ¦. а (и, V) = /(ь)' /у € Щ где ]? — некоторое гильбертово пространство, а — билинейная непрерывная положительно определенная форма в пространтве Ш х У, f — линейная непрерывная форма на ]?. Такой вид имеют слабые постановки большого количества задач математической физики.

Пусть приближенное решение ищется как элемент конечномерного пространства И-д С Ш. Пространство УУь является линейной оболочкой той или иной системы базисных функций.

Приближенное решение и^ определяется как решение следующей конечномерной задачи: ик €: а (ик, ук) = /(и*) УиЛ е.

В методе конечных элементов пространство ¥-)Х выбирается так, чтобы его элементы аппроксимировали произвольный элемент пространства IV. Другими словами, требуется наличие оценки для ошибки наилучшего приближения вида ад б W: inf ||ад — адЛ|| ^ e (w, h), где e (w, h) — оценка ошибки интерполяции элемента w функцией Wh? Wh, s (w, h) —> О при стремлении параметра дискретизации h к нулю. Последовательность пространств {Wh} при этом называется предельно плотной в W ([10]).

В соответствии с леммой Cea ([11]) ошибка приближенного решения оценивается сверху величиной ошибки наилучшего приближения решения элементом пространства.

Wh, и — Uk\ ^ С inf \и — Wh\ ^ Ce (u, h), где Uh ~ приближенное решение задачи. Таким образом, оценка ошибки приближенного решения сводится к оценке ошибки интерполяции произвольной функции из W элементами пространства WhОтсюда вытекает одно из основных требований к базисным функциям — они должны обладать аппроксимирующими свойствами.

Это требование не будет выполняться, если пытаться использовать для исследования МКСЭ рассмотренную процедуру непосредствено. В самом деле, в МКСЭ базисные функции не задаются, а рассчитываются как точные решения задачи. Поэтому в общем случае они не будут обладать какими-либо аппроксимирующими свойствами и для них величина e (w, К) уже не будет стремиться к нулю для произвольного w € W.

Описанное выше препятствие теоретического характера можно обойти. А именно, обратим внимание на то, что при построении аппроксимаций МКСЭ по существу задаются не сами базисные функции (они, как указано выше, рассчитываются специальным образом), а следы этих функций на границах суперэлементов, т. е. некоторые граничные базисные функции. Так, в указанных выше работах Р. П. Федоренко для квадратных суперэлементов использовалась кусочно-линейная интерполяция (по четырем узлам на границе суперэлемента) и кусочно-квадратичная интерполяция (по восьми узлам на границе — углам квадрата и средним точкам его ребер). Эти базисные функции уже обладают аппроксимирующими свойствами в пространстве функций, заданных на границе. Если записать задачу относительно них, исключив из рассмотрения «внутренности» суперэлементов, то к ней уже можно применить описанный выше подход с использованием леммы Cea и другого теоретического аппарата теории вариационных уравнений и проекционных методов. При этом ошибка приближенного решения будет определяться ошибкой интерполяции произвольной функции, заданной на границе суперэлементов, элементами соответствующего конечномерного пространства функций, также заданных на границе.

Реализации этого подхода для ряда задач и посвящена настоящая работа.

Основой работы является идея замены исходной краевой задачи эквивалентной ей задачей для определения следов неизвестного решения на границах суперэлементов с помощью граничных операторов Пуанкаре — Стеклова.

В методе конечных суперэлементов расчетная область разбивается на некоторое количество непересекающихся подобластей-суперэлементов. Далее на основе граничных операторов Пуанкаре-Стеклова и формулы Грина, соответствующих оператору задачи, строится обобщенная постановка (вариационное уравнение) для определения следов решения исходной задачи на границах суперэлементов. Использование операторов Пуанкаре-Стеклова позволяет исключить из рассмотрения «внутренности» суперэлементов. Для построения аппроксимаций указанного вариационного уравнения для следов могут применяться стандартные подходы и методы теории абстрактных вариационных уравнений и проекционных методов ([10]-[14]). Это позволяет формально и единообразно рассматривать различные варианты МКСЭ, соответствующие тем или иным проекционно-сеточным методам, получить оценки ошибок и т. д. Таким образом МКСЭ «вкладывается» в известную и хорошо разработанную теорию.

При сведении исходной задачи к задаче для следов используются операторы Пуанкаре-Стеклова. Они были предложены в работах Лебедева и Агошкова ([15]-[18]) как средство теоретического исследования методов декомпозиции области. При этом методы декомпозиции области рассматриваются как итерационные методы решения соответствующих уравнений для следов. Это позволяет использовать при их исследовании теорию итерационных методов решения абстрактных операторных уравнений. В соответствии с описанным выше подходом метод конечных суперэлементов может рассматриваться как проекционный метод решения этих уравнений, что позволяет использовать при их исследовании известную теорию проекционных методов.

Наряду с МКСЭ в работе рассмотрен комбинированный подход, в котором для аппроксимации задачи используется как МКСЭ, так и МКЭ. В некоторых конечных элементах используются обычные аппроксимирующие базисные функции (как в обычном методе конечных элементов), а в некоторых — суперэлементные базисные функции. В этом случае в расчетной области также выделяется некоторое количество подобластей-суперэлементов, но они уже не покрывают всю расчетную область. В подобластях, занятых суперэлементами, осуществляется переход к рассмотрению следов решения на границах суперэлементов. В части области, не занятой суперэлементами, используются обычные аппроксимации метода конечных элементов.

Такой подход оказывается эффективным в случае, когда решение задачи имеет небольшое количество локальных особенностей и расчет решения вдали от них может проводиться обычными методами и на крупной сетке, шаг которой соизмерим с размером суперэлемента. Внутри суперэлементов, как и ранее, расчет проводится на мелкой сетке, позволяющей хорошо разрешить особенности задачи.

В отличие от обычного метода конечных суперэлементов, в этом случае уже не требуется рассчитывать базисные функции суперэлементов в той части области, где решение гладкое.

Таким образом, комбинированный подход сочетает достоинства метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов. С одной стороны, он позволяет хорошо разрешить особенность задачи, с другой — менее требователен к вычислительным ресурсам, чем метод метод конечных суперэлементов.

При построении оценок приближенного решения для этого варианта метода используется как обычный конечно-элементный подход (в тех подобластях, где используются обычные базисные функции), так и суперэлементный подход (в тех подобластях, где используются суперэлементные базисные функции). Переход от исходной задачи к задаче определения следов осуществляется локально, лишь там, где это необходимо.

Отметим, что сведение задачи к задаче для следов для МКСЭ или комбинированного подхода необходимо лишь для построения расчетной схемы и теоретического исследования метода. Это позволяет использовать при обосновании этих методов готовую и хорошо разработанную теорию. С точки зрения алгоритма построения конечномерной задачи эти методы сходны с обычным методом конечных элементов.

Рассмотрим особенности подходов, применяемых при исследовании и использовании обычного метода конечных элементов, метода конечных суперэлементов и комбинированных аппроксимаций.

Метод конечных элементов.

1. При построении аппроксимаций МКЭ задача записывается как вариационное уравнение относительно искомой функции. Его решение — слабое (обобщенное) решение исходной задачи.

2. Разбиение области на конечные элементы производится на этапе построения аппроксимаций МКЭ для данной задачи, после этапа постановки дифференциальной задачи.

3. Параметр дискретизации в данном случае — шаг к пространственной конечно-элементной сетки, заданной в расчетной области. Приближенное решение сходится к точному в соответствующей норме при к —У 0.

4. Базисные функции, построенные на этой сетке, должны обладать соответствующими аппроксимирующими свойствами (свойством полноты) при к —> 0.

5. Диаметр конечных элементов стремится к нулю, когда шаг к сетки стремится к нулю.

Метод конечных суперэлементов.

1. При построении аппроксимаций МКСЭ задача записывается как вариационное уравнение относительно следов искомой функции на границах суперэлементов. Его решение — следы решения исходной задачи на границах суперэлементов.

2. Разбиение области на суперэлементы производится на этапе построения указанного вариационного уравнения. Суперэлементная сетка не является «разностной» в обычном смысле этого слова. Это просто разбиение области на меньшие подобласти. Размеры суперэлементов не меняются при стремлении параметра дискретизации к нулю.

3. Для аппроксимации задачи используется граничная разностная сетка, заданная на границах подобластей-суперэлементов. Шаг к этой сетки является параметром дискретизации. Приближенное решение задачи сходится к точному, когда к —у 0.

4. Базисные функции, заданные на граничной сетке, должны обладать аппроксимирующими свойствами в подходящем пространстве следов. «Суперэлементные» базисные функции рассчитываются как точные решения исходной задачи с граничными базисными функциями в качестве граничных условий. Они могут не обладать какими-либо аппроксимирующими свойствами в пространстве функций, определенных во всей расчетной области.

5. Размер суперэлементов не зависит от шага к разностной сетки и не меняется при Л-Ю.

Комбинированные аппроксимации.

1. При построении аппроксимаций задача записывается как вариационное уравнение относительно двух функций. Первая из них — след решения задачи на границе суперэлементов, вторая — решение в части области, не занятой суперэлементами.

2. Разбиение области на суперэлементы производится на этапе построения указанного вариационного уравнения. Суперэлементная сетка не является «разностной» в обычном смысле этого слова. Это просто разбиение области на меньшие подобласти. Размеры суперэлементов не меняются при стремлении параметра дискретизации к нулю. В отличие от МКСЭ суперэлементы занимают не всю расчетную область, а лишь ее часть.

3. Для аппроксимации задачи используется пространственная конечно-элементная сетка, заданная в части расчетной области, не занятой суперэлементами. Для аппроксимации решения на границе суперэлемента используется ограничение указанной сетки на границу суперэлемента. Шаг к пространственной сетки является параметром дискретизации. Приближенное решение задачи сходится к точному, когда Л. —> 0. При этом к нулю стремится как шаг пространственной сетки, так и шаг граничной сетки на границе суперэлемента.

4. Базисные функции, заданные на пространственной конечно-элементной сетке, должны обладать аппроксимирующими свойствами. Базисные функции на граничной сетке получаются как ограничение базисных функций внутри области на границу суперэлемента. «Суперэлементные» базисные функции рассчитываются как точные решения исходной задачи с граничными базисными функциями в качестве граничных условий. Они могут не обладать какими-либо аппроксимирующими свойствами.

5. Размер суперэлементов не зависит от шага /г разностной сетки и не меняется при Л-«О.

Разницу в подходах также иллюстрируют Рис. 1−2. На Рис. 1 показано разбиение квадратной области на четыре конечных элемента (слева), четыре конечных суперэлемента (в центре) и на один суперэлемент и 3 конечных элемента (справа). При этом мкэ мксэ мкэ/мксэ.

Рис. 1. Расчетная сетка, к = Н.

МКЭ мксэ мкэ/мксэ.

Рис. 2. Расчетная сетка, /г = Н/2. размеры конечных элементов и конечных суперэлементов одинаковы и равны К = Н. Сетки совпадают.

На Рис. 2 показано разбиение той же области на конечные элементы и конечные суперэлементы, когда шаг разностной сетки в два раза меньше, чем на предыдущем рисунке, к = Н/2. Шаг сетки опять одинаков, но геометрия сеток стала различной. На левой, конечноэлементной, сетке аппроксимируются функции, заданные во всей двумерной области. На центральной, суперэлементной, аппроксимируются функции, заданные на границах суперэлементов. Граничная сетка стала в два раза более мелкой, размер суперэлементов не изменился и по-прежнему равен Н. На правой сетке (для комбинированного подхода) произошло измельчение сетки в части области, не занятой суперэлементом. Суперэлемент расположен в левом нижнем углу области. Его размер не изменился, изменилась лишь сетка на его границе, которая стала в два раза мельче.

Рассмотренный выше теоретический алгоритм позволяет единообразно и формально строить и исследовать аппроксимации метода конечных суперэлементов для широкого класса задач математической физики. Помимо модельной задачи о скважине для уравнения Лапласа, в работе рассмотрены задачи, имеющие важное прикладное значение, такие как задача о скоростном скин-слое, возникающая при математическом моделировании электродинамических ускорителей типа «рельсотрон», а также задача теории упругости композиционных материалов. Предложенный в работе подход может быть формально распространен на большой класс эллиптических задач с оператором дивергентного вида. Существенным здесь является существование для конкретной задачи формулы Грина (некоторого соотношения, связывающего интегрирование по объему с интегрированием по границе) и оператора Пуанкаре-Стеклова, описывающего реакцию решения задачи «в целом» на внешнее воздействие на границе расчетной области. Отметим, что существование формулы Грина для симметричных положительно определенных операторов в гильбертовом пространстве является следствием общей теории («абстрактная» формула Грина, [12]). Теория же операторов Пуанкаре-Стеклова хорошо разработана в связи с обоснованием методов декомпозиции области.

Разработанный подход также применим и для построения расчетных схем МКСЭ для нестационарных параболических задач. В этом случае задача сначала может аппроксимироваться только по времени (метод прямых (метод Роте), [19]), и возникающие на каждом временном слое эллиптические задачи решаются с помощью метода конечных суперэлементов.

Метод конечных суперэлементов входит в класс методов, в которых решение исходной задачи сводится к решению серии более простых задач, например, задач в областях более простой формы. Методы данного класса, например, методы разделения области, активно исследуются в настоящее время в связи с появлением эффективных алгоритмов решения краевых задач в областях простой формы и возможностью эффективной реализации алгоритмов этих методов на многопроцессорных и параллельных ЭВМ. В работе рассматриваются некоторые результаты по реализации МКСЭ на вычислительных машинах с параллельной архитектурой.

В заключении остановимся на некоторых подходах, родственных методу конечных суперэлементов Р. П. Федоренко.

Отметим, что термин «суперэлемент» известен в теории метода конечных элементов и не в связи с методом конечных суперэлементов Р. П. Федоренко. Обычно он употребляется для обозначения группы конечных элементов, рассматриваемых совместно. Поясним это на примере.

Рассмотрим некоторую расчетную область, в которой решается задача. Пусть в этой области задана некоторая триангуляция, на которой определены финитные базисные функции. Задача определения узловых значений конечных элементов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида.

Аи = /,.

1) где, А — матрица жесткости задачи, и — вектор узловых значений конечных элементов, / - вектор правой части.

Выделим в этой области некоторую группу соседних конечных элементов, занимающих подобласть Б расчетной области. Пусть и8, щ — векторы узловых значений конечных элементов, соответствующие внутренним и граничным узлам области 5 соответственно, щ — вектор узловых значений, соответствующий оставшимся узлам расчетной области.

Тогда задача (1) может быть записана в следующем блочном виде:

Аьь Аь3 Аьо А3ь Адд О.

А0ь О А00 иь /ь.

• Пд = л.

Щ /о.

2).

Эта система уравнений совпадает с системой (1) с точностью до перестановки строк. Нулевые блоки в матрице этой системы появляются вследствии финитности базисных функций. Считая, что матрица Ааа невырожденная, выразим из второй строки этой системы уравнений вектор ив. Получим иа = /в — А8д А3ьщ.

Подставляя это выражение обратно в систему (2), получим:

1 /.

3).

Таким образом, можно понизить порядок системы уравнений для определения узловых значений конечных элементов, заранее исключив из нее неизвестные, соответствующие части узлов. Такой подход, когда группа конечных элементов рассматривается как.

Аьь — АъдАддАць Аьо Щ /б АЬдАдд/д.

А0ь А00 щ /о одно целое, называется методом суперэлементов, а указанная группа конечных элементов называется суперэлементом и может рассматриваться как самостоятельный объект при построении аппроксимаций задачи ([20]).

В приведенном выше примере был всего один суперэлемент В общем случае их может быть несколько, и они могут покрывать всю расчетную область. В этом случае система (3) будет связывать только неизвестные, соответствующие узлам на границах суперэлементов.

Рассмотренный выше подход также иногда называют методом разделения (декомпозиции) области для конечномерных задач. Известны его модификации, когда системы базисных функций для узлов на границах суперэлементов выбираются специальным образом, отличным от способа выбора базисных функций для внутренних узлов суперэлементов ([21]).

Для полноты отметим, что в последнее время активно развиваются и другие методы численного решения задач на основе представления решения в виде разложения по системе базисных функций, в свою очередь являющихся решениями специальных вспомогательных задач для исходного оператора (ИРВ — методы на элементах с нулевой невязкой, [22]-[25]). Очевидно их родство с МКСЭ.

Также к родственным подходам можно отнести методы декомпозиции области. Эти методы можно расматривать как итерационные методы решения некоторых уравнения для следов решения на границах некоторых подобластей ([26]).

Отметим также метод наименьших квадратов на границе и метод Треффтца ([27]). В этих методах решение ищется в виде линейной комбинации функций, каждая из которых является точным решением исходной задачи. Неизвестные коэффициенты в этой линейной комбинации определяются так, чтобы граничные условия на границе расчетной области выполнялись в некотором наилучшем смысле. В отличие от МКСЭ здесь не происходит разбиения области на меньшие подобласти, решение и базисные функции определены сразу во всей расчетной области. Функции, входящие в указанную линейную комбинацию, обычно задаются явно в виде некоторых алгебраических или тригонометрических многочленов.

Остановимся на структуре и содержании работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение

.

В заключении приведем основные результаты диссертации:

1. Предложен теоретический алгоритм для исследования метода конечных суперэлементов и построения расчетных схем метода. Алгоритм позволяет единообразно рассматривать метод конечных суперэлементов с точки зрения известной теории проекционных методов. Теоретически обосновано совместное использование метода конечных элементов и метода конечных суперэлементов.

2. Разработанный алгоритм применен для построения и исследования метода конечных суперэлементов для решения ряда задач, таких как задача о скважине для двумерного уравнения Лапласа, задача о скоростном скин-слое в пространственно двумерном случае, задача теории упругости композиционных материалов в пространственно трехмерном случае. Для этих задач построены и исследованы аппроксимации метода конечных суперэлементов, проведено их численное исследование.

3. Создан и применен комплекс программ для решения задач в неоднородных областях на основе метода конечных суперэлементов. Часть алгоритмов реализована для вычислительных машин с параллельной архитектурой с использованием интерфейса параллельного программирования MPI (Message Passing Interface).