Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Разработка метода решения задач распространения и взаимодействия акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука

Диссертация: Разработка метода решения задач распространения и взаимодействия акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Существующие методы решения подобных задач не всегда дают полную и исчерпывающую картину происходящего процесса. Поэтому появляется необходимость в разработке новых подходов к решению названной задачи, ведущий к упрощению анализа полученных решений и, как следствие, к сокращению вычислительных затрат. С другой стороны, при помощи такого подхода, мы могли бы рассмотреть волновые процессы… Читать ещё >

Содержание

  • 1. МЕТОД РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В 10 СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА
    • 1. 1. ПОЛЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ОКЕАНЕ И ПАРАМЕТРЫ, 10 ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА. КРАТКИЙ ОБЗОР
    • 1. 2. ОБ ОДНОМ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНОГО 19 ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
    • 1. 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОЙ ФАЗЫ 26 МЕТОДОМ 1 ГЛАВЫ
    • 1. 4. АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ФАЗЫ АКУСТИЧЕСКОЙ 32 ВОЛНЫ В СРЕДЕ С ИЗМЯНЯЮЩЕЙСЯ ПО ТРАССЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СОРОСТЬЮ ЗВУКА
    • 1. 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ 35 АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА
    • 1. 6. АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ 40 АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ПО ТРАССЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА
  • 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ 44 АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
    • 2. 1. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО 44 УРАВНЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНО МЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА
    • 2. 2. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО 47 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ФАЗЫ СИГНАЛА МЕТОДОМ 1 ГЛАВЫ
    • 2. 3. АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ФАЗЫ АКУСТИЧЕСКОЙ 52 ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
    • 2. 4. АНАЛИЗ ХАРАКТЕРА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ДВУХ 63 МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА
    • 2. 5. АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ВОЛНЫ 70 ДАВЛЕНИЯ ВРЧ ВСРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА ВДОЛЬ ОСИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИГНАЛА
    • 2. 6. АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ВОЛНЫ 78 ДАВЛЕНИЯ ВРЧ В СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА ВДОЛЬ ОСИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИГНАЛА И В ПРИСУТСТВИИ ПОТОКА ЖИДКОСТИ
    • 2. 7. АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АМПЛИТУДЫ ВОЛНЫ 86 ДАВЛЕНИЯ ВРЧ В СРЕДЕ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА ВДОЛЬ ОСИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИГНАЛА С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ВТОРИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ
  • 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ 91 СФОКУСИРОВАННЫХ И ДЕФОКУСИРОВАННЫХ ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ В СРЕДАХ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ И НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
    • 3. 1. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО 91 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СФОКУСИРОВАНННЫХ ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ
    • 3. 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ В 96 СФОКУСИРОВАННЫХ ВОЛНОВЫХ ПУЧКАХ
    • 3. 3. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО 102 УРАВНЕИЯ ДЛЯ СФОКУСИРОВАННОГО ВОЛНОВОГО ПУЧКА В ПРИСУТСТВИИ ПОТОКА ЖИДКОСТИ И НЕЛИНЕЙНО МЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В СРЕДЕ
    • 3. 4. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
  • 4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ 108 ИССЛЕДОВАНИЙ И СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
    • 4. 1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН В СРЕДЕ С ПОТОКОМ 108 ЖИДКОСТИ
    • 4. 2. АНАЛИЗ ШИРИНЫ ПУЧКА В СРЕДЕ С 117 ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ СКОРОСТЬЮ ЗВУКА И В ПРИСУТСТВИИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ИЛИ ОРТОГОНАЛЬНОГО К ИСТОЧНИКУ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН ПОТОКУ жидкости
    • 4. 3. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЕЛЕДОВАНИЙ И ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Разработка метода решения задач распространения и взаимодействия акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Распространение волн в нелинейной среде ведет к изменениям характеристик акустической волны. При взаимодействии волны с неоднородностями среды изменяются параметры взаимодействия, т.к. меняется скорость распространения волны, нелинейность и плотность среды. Решение задачи, описывающей распространение и взаимодействие волн в неоднородной среде, представляет собой достаточно сложный, затратный по времени и ресурсам, процесс и его упрощение приводит к существенному уменьшению затрат при проведении теоретических исследований указанной задачи.

Существующие методы решения подобных задач не всегда дают полную и исчерпывающую картину происходящего процесса. Поэтому появляется необходимость в разработке новых подходов к решению названной задачи, ведущий к упрощению анализа полученных решений и, как следствие, к сокращению вычислительных затрат. С другой стороны, при помощи такого подхода, мы могли бы рассмотреть волновые процессы в неоднородных средах с использованием имеющегося математического аппарата.

Объектом исследований данной работы рассмотрение математической модели взаимодействия акустических полей в виде неоднородных волновых уравнений в частных производных с нелинейными правыми частями, учитывающими неоднородности среды, обусловленные изменением, как параметров самой среды, например, изменением скорости распространения звука в среде. Так и наличием в рассматриваемом объеме среды потока, и что самое главное — более простого анализа полученных решений.

Поэтому, актуальность данной работы заключается в том, что разработан новый подход к оценке результатов решения неоднородных волнового уравнения. Разработка и применение нового метода для решения волнового уравнения, описывающего распространение акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука, с учетом нелинейностей среды и при наличии в среде потока жидкости.

Для решения поставленной задачи используются элементы теории дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, элементы теории геометрической оптики, гидроакустики и нелинейной гидроакустики. Научная новизна.

1. Разработка новых методов решения неоднородных волновых уравнений.

2. Проведение теоретических исследований распространения и взаимодействия волн в неоднородной среде с изменяющейся скоростью звука на основе построенного метода.

3. Разработка и применение нового метода для решения волнового уравнения, описывающего распространение волн накачки в средах с изменяющейся скоростью звука, с учетом нелинейностей среды и при наличии в среде потока жидкости.

4. Проведение сравнительного анализа экспериментальных исследований с полученными теоретическими результатами.

Методы исследования. Для решения поставленной задачи используются элементы теории дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, элементы теории геометрической оптики, гидроакустики и нелинейной гидроакустики, численные методы.

Внедрение результатов. Результаты работы внедрены в исследования, проводимые под эгидой РФФИ: г/б 96−02−16 312.

Развитие математических методов, направленных на исследования распространения и взаимодействия волн в неоднородных средах.

Апробация результатов работы. В работе /1/. автором диссертации выдвинута идея замены решения неоднородного волнового уравнения набором решений более простых неоднородных уравнений. Причем решения исходного уравнения и уравнения, полученного на основе указанного подхода, будут близки в силу критериев корректности для гиперболического уравнения. В работе /2/ приведено решение неоднородного волнового уравнения в случае присутствия в среде потока жидкости, неоднородность которого определяется изменением его профиля скорости. В работе /3/ приведено решение волновой задачи в предположении, что скорость распространения звука в среде не постоянна, а зависит от вертикальной координаты. В работе /4/ приведено решение неоднородной волновой задачи в предположении, что скорость распространения звука в среде есть функция от изменения температуры, которая в свою очередь зависит от ординаты. Кроме того, рассматривается случай присутствия в среде потока жидкости. В работе /5/ для исследования дальнего мониторинга водных сред, предложено решение, основанное на результатах работ /3, 4/. В 161 показано применение метода обоснованного в работе /5/ для решения задачи о взаимодействии пары монохроматических волн в среде с изменяющейся скоростью звука.

Все работы были представлены к рассмотрению на научных конференциях и журналах ТРТУ.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Метод одного решения неоднородного волнового уравнения описывающего распространение акустических волн в среде с изменяющейся скоростью распространения звука. Решение неоднородного волнового уравнения, для фазы и амплитуды такой волны, указанным методом.

• Решение задачи о взаимодействии двух монохроматических волн (коллинеарных и неколлинеарных) в нелинейной среде с изменяющейся скоростью звука. Решение неоднородного волнового уравнения с нелинейной правой частью, в среде с потоком жидкости.

• Результаты исследований изменений фазы акустической волны с учетом изменения скорости звука по трассе распространения сигнала.

• Исследовано поведение коллинеарных и неколлинеарных волн накачки в среде с изменяющейся скоростью распространения звука в среде.

• Результаты исследований распространения акустических волн среде с изменяющейся скоростью распространения звука, для случая, сходящегося волнового фронта.

Публикации.

По результатам диссертационной работы опубликовано десять печатных работ, среди них четыре тезиса докладов и шесть статей.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, с выводами и заключениями. Основное содержание диссертации изложено на 145 страницах, содержит 55 рисунков.

Список используемых источников

содержит 67 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Предложен метод решения неоднородных волновых уравнений с переменными коэффициентами перед поперечным лапласианом, обусловленные нелинейным изменением скорости распространения звука в среде, с помощью замены решения исходного уравнения суммой решений уравнений из некоторого набора.

2. Проведены теоретические исследования для различных типов волновых уравнений, содержащих указанные особенности. Для фазы волны, для амплитуды и для амплитуды ВРЧ. Сделан вывод о возможности уточнения на основе предложенного метода полученных ранее результатов для указанных типов уравнений.

3. Проведен сравнительный анализ полученных теоретических исследований с имеющимися экспериментальными данными. Анализ показал, что графики решений, получаемых в случаи предлагаемого теоретического расчета схожи по своему виду с имеющимися экспериментальными результатами.

4. На основе проведенного анализа сделан вывод о возможности применения указанного метода для построения решения неоднородных волновых уравнения указанного типа.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Г. Г. Разработка новых методов дальнего мониторинга водных сред. Анализ полученных решений // Известия ТРТУ, 2000, с. 185−190.
  2. В.А. Воронин, Е. В. Воронин, Г. Г. Пашков. Исследование взаимодействия акустических волн с полями не волновой природы. // Известия ТРТУ, 1998, № 3, с. 103 106.
  3. Г. Г., Воронин В. А. Распространение акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука// Известия ТРТУ, 1998, № 4(10), с. 169−170.
  4. Г. Г., Воронин В. А. Распространение акустических волн в средах с изменяющейся скоростью звука // Известия ТРТУ, 1999, № 2, с. 136.
  5. Г. Г., Воронин В. А. Метод решения задачи о взаимодействии волн в неоднородной среде с изменяющейся скоростью звука // Известия ТРТУ, 2000, № 4, с. 159.
  6. Г. Г., Воронин В. А. Решение задачи о взаимодействии пары монохроматических волн в среде с изменяющейся скоростью звука // Известия ТРТУ, 2001, с. 105.
  7. Г. Г. Метод одного решения неоднородной волновой задачи в среде с изменяющейся скоростью распространения звука // деп в ВИНИТИ. № 1713-в 2001.19.07.
  8. Г. Г. Разработка методов дальнего мониторинга водных сред. Анализ полученных результатов // деп в ВИНИТИ. № 1716 в 2001.19.07.
  9. Г. Г. Метод одного решения неоднородной волновой задачи для случая сходящихся волновых фронтов в среде с изменяющейся скоростью распространения звука // деп в ВИНИТИ. № 1714 в 2001.19.07.
  10. Л.Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Теоретическая физика.// М.Н.ГРФ-МЛ.1986.изд.З.Т.6.
  11. О.В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики. // М.Н.ГРФ-МЛ.1975.С.9 16,19−21,42−44,46−50.
  12. В.П. К теории нелинейных звуковых волн в случайно неоднородных средах. Прикл. Акуст., 1981, В 8, с. 35.
  13. М.А., Общая акустика.- М.: Наука, 1973.-496 с.
  14. А.П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1986.800 с.
  15. Л.К., Красильников В. А., Введение в нелинейную акустику. -М.: Наука, 1966.-519 с.
  16. .К., Тимошенко В. И. Параметрические антенны в гидролокации. Л.: Судостроение, 1990, -256 с
  17. Г. А. Основы нелинейной акустики. Л.: ЛГУ, 1967.- 132 с.
  18. Л.Ф. Акустика.// М. ВШ.1978.С. 153 -161.
  19. JI. Подводная акустика и обработка сигналов. Пер. с англ. под ред. Ю. Ю. Житковского. М.: Мир, 1985.1038 с.
  20. JI. Неоднородности и нестабильность распространения звука под водой./ В кн. Подводная акустика и обработка сигналов. Пер. с англ. под ред. Ю. Ю. Житковского. М.: Мир, 1985. С. 32 42.
  21. В.И. Мелкомасштабная структура поля скорости звука в океане.// JL: Гидрометеоиздат, 1983.
  22. М.Б. Виноградова, О. В. Руденко, Сухоруков А. П. Теория волн. М., Наука, 1979.
  23. .К., Руденко О. В., Тимошенко В. И. Нелинейная гидроакустика. Л.: Судостроение, 1981, -264 с
  24. Н.С. Бахвалов, Я. М. Жилейкин, Е. А. Заболотская Нелинейная теория звуковых пучков-М.: Наука, 1982, с.53−74.
  25. С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966. — 404 с.
  26. К.А., Рыбак С. А., Скрыльников Ю. И. О нелинейном взаимодействии акустических волн в неоднородном потоке жидкости // Акуст. журн. 1987.Т.ЗЗ.Х" 2.С. 321 325.
  27. В.П. Уравнения нелинейной акустики. Акуст.Ж., 1970, Т.16, В4, с.548−553.
  28. Watson G.N. A treatise on the theory of Bessel function.- Cambridge: Cambridge Univ.Press.1958
  29. JI.K., Тимошенко В. И. Нелинейная акустика.// изд. МГУ, 1984. С. 16−18,41−46.
  30. А.А., Клюкин И. И. Основы гидроакустики. // Л. Судостроение. 1987.С. 18 32.
  31. Р. Нелинейная акустика. В кн. Физическая акустика / Под ред. Мезона У. — М.: Мир, 1969, Т2. с. 266 — 301 с.
  32. Кузнецов В. Г1. О некоторых приложениях теории взаимодействия волн. //ДАН СССР. 1985.Т.284. № 5.СЛ089 1092.
  33. . Н. Класс точных решений уравнения Хохлова— Заболотской// А.Ж. Т39, № 5, с. 954.-956.
  34. Ю.Р., Руденко О. В. Об одном точном решении уравнения Хохлова-Заболотской — А.Ж. Т37 № 2, с.363−364.
  35. Л. М., Са-Той П. В. Нелинейное взаимодействие плоской и сферической волн— А.Ж. Т34, с. 485—490.
  36. Д. А., Шалашов Г. М. Исследование нелинейного распространения расходящейся цилиндрической волны с фокусировкой А.Ж. Т34 № 4, с. 651−656.
  37. Е. А., Седов Л. В.- Некоторое особенности нелинейного взаимодействия импульсных акустических сигналов -А.Ж. Т39, с. 524
  38. Е. А. Нелинейное распространение квазиплоских нормальных волн в слое — А.Ж. Т35. С. 834.
  39. С. Л. Уравнение нелинейной акустики в движущейся среде.// Ак. Ж., Т35 с. 377−379.
  40. А.А., Сагомонян Е. А., Нелинейное волновое уравнение, Москва, Вузовская книга, 1997, с. 51- 55.
  41. Абрамович М, Стиган И Справочник по специальным функциям // М.Н.ГИФ-МЛ., 1979
  42. А.Д., Кан В.Л., Краткий справочник по математической обработке результатов измерений М.: Стандартгиз, 1960.220 с.
  43. И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, рядов и специальных функций. // М.Н. ГИФ-МЛ.1971
  44. В.А., Крылов В. В. Введение в физическую акустику.-М.: Наука 1984.400 с.
  45. А.А., Клюкин И. И. Основы гидроакустики. // JI. Судостроение. 1987.С. 18 32.
  46. А.А., Сагомонян Е. А. Нелинейные волновые уравнения // М.: Вузовская книга, 1997, с. 51 55.
  47. С. Краевые задачи в полупространстве для уравнений второго порядка смешанного типа. // из кн. Диф. Ур. В частных производных, Новосибирск, Изд. «Наука», Сиб. Отд., 1986.
  48. А.Г., Зверев В. А. К вопросу о взаимодействии звуковых волн. -Акуст.ж., 1955, Т.1, № 4, с. 339−342.,.
  49. В.А., Максимов В. Н., Тимошенко В. И. и др. Исследование нелинейного параметрического приемника с фазовым детектированием, В кн.: Акустические методы исследования океана. Л., 1978, с.133−139.
  50. Манаев О.И. T, S анализ вод Мирового океана. — Л.: Гидрометеоиздат, 1970, — 364 с.
  51. А. Г., Сапожников О. А. Фокусировка мощных акустических импульсов при различных углах раскрытия волнового фронта — А.Ж. Т39 № 2, с. 315—320.
  52. В. Е. Комбинационное рассеяние звука на нелинейном слое жидкости —А.Ж. Т39 № 5, с. 888—895-
  53. Физические величины: Справочник // А. П. Бабичев, Н. А. Бабушкина и др.- Под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мелихов.-М. :Энергоатомиздат, 1991.1232 с.
  54. Б.К. Новиков, О. В. Руденко, С. И. Солуян Метод нелинейного уравнения пучков в задаче о направленном излучении низкочастотного ультразвука. П.А., 1976 В № 3., с. 20.
  55. Nakagava Y. Ultrasonic nonlinear parameter CT by nonlinear interaction // Trans. IECE. E. 1988. V 69 P. 1215.
  56. Westervelt P.J. Parametric Acoustic Array.// JASA., 1960,32, p. 934.
  57. Del Grosso V.A. New equation for the speed of sound in natural waters (with comparisons to the other equations): JASA, 1974, vol. 56, № 4, p. 1084−1091.
  58. Sostman H.E. Temperature scale. Phys. Today, 1977, vol. 30, № 6, p. 12−13.
  59. Mellen R.H., Siiling G.S. Sound propagalion through atmospheric turbulence: Multifractal phase phluctua-tions//J. Acoust. Soc. Amer. 1995. V. 97. P. 141−146.
  60. Lovett J.R. Merged seawater sound speed equations to oceanograthy. -JASA, 1978, vol. 63, № 6, p. 1713 1718.
  61. С.Г. Погрешности измерений Л.: Энергия, 1978.272 с.
  62. В.А., Кириченко И. А. Использование параметрического гидролокатора для экологических исследований донных осадков // Сб. тез. докл. МНТК «XX Гагаринские чтения». М. МГАТУ. 1994. С. 12−13.
  63. В.А., Воронин Е. В., Кириченко И. А. Особенности применения параметрической антенны для экологических исследований водной среды // Сб.тез.докл. МНТК «XXI Гагаринские чтения», М., МГАТУ. 1995. С. 27.
  64. В.А., Кириченко И. А. Параметрическая антенна для экологических исследований водной среды // Материалы Международной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы охраны окружающей среды». Тез. докладов. Т. 1. Томск, 1995. с. 27−28.
  65. В. А., Кириченко И. А. Исследование параметрической антенны в стратифицированной среде с изменяющимся полем скорости звука // Известия ВУЗов, Элегромеханика. № 4.1995, с. 31.
  66. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
  67. А, комплексные амплитуды высокочастотных волн
  68. А — преобразованная по Фурье или Ханкелю функция А.
  69. К.С. члены, комплексно сопряженные по отношению к выписанным выражениям
  70. ХЗК уравнение Хохлова — Заболотской — Кузнецова ВРЧ — волна разностной частоты.
Заполнить форму текущей работой

Заказал и сдал!