Численное моделирование процессов фильтрации с использованием метода вложенных сеток
Одним из возможных путей развития алгоритмов для многопроцессорной вычислительной техники, как было указано в, является разработка явных схем с использованием специальных «регуляризаторов». При этом в алгоритм или непосредственно в математическую модель вводятся дополнительные члены, которые демпфируют счетные осцилляции. Данные «регуляризаторы» не должны превращать изучаемую задачу в среду… Читать ещё >
Содержание
- Глава 1. Модифицированная модель для описания фильтрации однородной жидкости
- 1. 1. Постановка задачи
- 1. 2. Введение стабилизационной поправки в уравнение неразрывности
- 1. 3. Моделирование одномерной задачи фильтрации однородной жидкости
- 1. 4. Описание полученных результатов
- Глава 2. Обобщение модели на двумерный случай. Использование вложенных сеток
- 2. 1. Постановка задачи и разностная схема
- 2. 2. Результаты численных расчетов
- 2. 3. Реализация метода вложенных сеток
- Глава. З.Численное моделирование трехмерных задач фильтрации на вложенных сетках
- 3. 1. Постановка задачи для трехмерного случая
- 3. 2. Результаты расчетов
- Глава 4. Численное моделирование неустойчивости Саффмана — Тейлора в пористой среде. Образование «языков вытеснения»
- 4. 1. Линейный анализ
- 4. 2. Постановка задачи численного моделирования неустойчивости Саффмана — Тейлора
- 4. 3. Результаты численных расчетов
Численное моделирование процессов фильтрации с использованием метода вложенных сеток (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Процессы фильтрации широко проявляют себя в самых различных направлениях хозяйственной деятельности человека. Фильтрация связана с движением жидкостей или газов в пористых средах [1−4], которые могут быть как природного происхождения: нефтяные или газовые месторождения, водоносные пласты, питающие реки и озера, так и искусственные очистительные фильтры, химические реакторы. Все шире применяются модели фильтрации и в медицине, когда исследуются течения крови во внутренних органах человека [5].
Последовательное изучение процессов фильтрации началось с подземной гидрогазодинамики — науки о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых средах. По своей сути она является одним из специальных разделов общего курса механики жидкостей. С другой стороны, подземная гидрогазодинамика является теоретической базой для описания процессов фильтрации при разработке нефтяных и газовых месторождений и обеспечивает решение широкого круга прикладных задач в практической деятельности специалистов-нефтяников. Подземная гидрогазодинамика при решении стоящих перед ней теоретических и практических задач пользуется всеми известными в механике жидкостей приемами и методами. Объектом изучения подземной гидрогазодинамики является поток жидкости и газа в пористой среде, называемый фильтрационным потокомдвижущиеся в пласте жидкости и газы рассматриваются как непрерывные сплошные среды, на которые распространяются свойства, присущие сплошным средам, и законы механики сплошных сред.
Теория фильтрации имеет глубокие исторические корни (см. очерк развития теории фильтрации в [6]). В 1852 — 1855 гг., производя опыты по фильтрации в песчаных грунтах, французский инженер Г. Дарси установил линейную связь между скоростью фильтрации воды и потерями напора, называемую законом фильтрации, или законом Дарси [7]. Т. е. во второй половине XIX столетия началось развитие теории фильтрации.
Первые теоретические исследования фильтрации, основанные на линейном законе фильтрации, были начаты, Ж. Дюпюи [8]. Они касались случаев фильтрации в грунтовых руслах и осесимметричной фильтрации к колодцам, доходящим до горизонтальной водоупорной поверхности. Эти исследования относятся к 60-м годам XIX столетия.
Позднее, начиная с 80-х годов XIX века, Ф. Форхгеймер рассмотрел более сложные задачи по фильтрации при наличии горизонтального напора. Однако общей теории и общих дифференциальных уравнений фильтрации до 1889 г. не было. Первая работа в этом направлении была написана выдающимся русским математиком и механиком Н. Е. Жуковским. Работа эта называлась «Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод». В ней Жуковский вывел дифференциальные уравнения фильтрации [9].
В 1922 г. теория фильтрации получила новый толчок в своём развитии благодаря работе Н. Н. Павловского «Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и её основные приложения». Этот труд послужил фундаментом, на котором развивалось гидротехническое направление советской школы фильтрации.
Также, в 20-х годах XX века в результате теоретических и экспериментальных исследований появился ряд работ JI. С. Лейбензона, посвящённых фильтрации нефти, газа и газированной жидкости. В 1934 г. была опубликована его монография, посвящённая теории фильтрации в связи с проблемами добычи нефти и газа. Именно ему принадлежит приоритет в постановке и решении ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики [10,11].
Выдающийся вклад в теорию фильтрации в нефтегазоводоносных пластах внесли академик С. А. Христианович [12,13], профессоры Б. Б. Лапук [14],.
И. А. Чарный [15, 16], В. Н. Щелкачёв [17 — 20]. Написанные ими монографии и учебники стали классическими, основополагающими. Они имеют большое научно-методологическое значение.
В послевоенный период теория фильтрации развивается трудами учёных, среди которых следует отметить работы М. Т. Абасова [21, 22], М. Г. Алишаева [23], И. М. Аметова, Е. Ф. Афанасьева, Г. И. Баранблатта [24], 10. П. Борисова [25, 26], С. Н. Бузинова [27], В. Я. Булыгина [28], Г. Г. Вахитова [29], М. М. Глоговского, Г. Л. Говоровой, А. Т. Горбунова [30], М. А. Гусейн-Заде [31, 32], В. Л. Данилова [33], Ю. В. Желтова [34], Ю. П. Желтова [35, 36], С. Н. Закирова [37], Г. А. Зотова [38], В. М. Ентова [4], Р. Г. Исаева, Ю. П. Коротаева [39], А. К. Курбанова, Е. М. Минского, Ю. М. Молоковича [40], А. X. Мирзаджанзаде [41, 42], Н. Н. Непримерова [43], В. Н. Николаевского [44, 45], Г. Б. Пыхачева [46], Г. В. Рассохина, М. Д. Розенберга [47], Е. С. Ромма [48], Э. В. Соколовского [49], М. Л. Сургучева [50], М. М. Саттарова, Ф. А. Требина [51], Э. Б. Чекалюка [52], М. В. Филинова, М. И. Швидлера [53], И. Д. Умрихина, М. М. Хасанова [54], А. Л. Хейна, Д. А. Эфроса [55] и др.
Работы этих учёных и их учеников обеспечили успешное развитие подземной гидромеханики — теоретической основы теории и практики разработки нефтяных и газовых месторождений, что способствовало ускоренному развитию нефтегазодобывающей промышленности нашей страны.
Широкие исследования в области нефтегазовой подземной гидромеханики проводятся также и за рубежом. Большое значение, для развития технологии нефтеотдачи за рубежом, имеют работы, по теории фильтрации однородных и неоднородных жидкостей, крупнейшего американского специалиста М. Маскета, который хорошо известен нам, по своим двум капитальным монографиям [56, 57]. Большое значение для развития теории фильтрации в целом имеют фундаментальные работы А. Э. Шейдеггера (Канада) [58], Н. Кристеа (Румыния) [59], Р. Коллинза (США) [60], X. Азиза и Э. Сеттари (США) [61,62].
В гидротехническом аспекте задачи двухфазной фильтрации впервые были рассмотрены П. Я. Полубариновой-Кочиной [63] при изучении плоской напорной неустановившейся фильтрации пресной и соленой воды в основании бетонной плотины гидроузла. Без учета силы тяжести двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом, а также существенное значение имеют основы теории многофазной фильтрации, также разработанные С. Баклеем и М. Левереттом [64,65], а позже независимо от них А. М. Пирвердяном [66].
Благодаря полученным результатам в области фундаментальной науки, стало возможным плодотворное применение гидродинамических расчетов в гидрогеологических изысканиях, прогнозах подпора грунтовых вод в районах гидросооружений и орошаемых территорийоценках эксплуатационных запасов подземных вод и т. п.
С появлением в 60-е годы мощных ЭВМ в решении практических задач фильтрации все большее место занимает численное моделирование. Однако аналитические методы и в этом случае остаются востребованными не только для разработки и тестирования численных алгоритмов, но и для глубокого понимания физики явлений, параметрического анализа сложных схем, оптимизации и оценок характеристик фильтрационных полей, в том числе в ситуациях, характеризующихся высокой степенью неопределенности относительно параметров пористой среды, механизмов взаимодействия флюида и матрицы, граничных условий и самих границ области течения. В обзоре [67] охватываются работы по кругу проблем, непосредственно связанные с исследованиями по динамике подземных вод в областях, границы которых известны не полностью. В математической постановке эти проблемы сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений эллиптического типа в областях с неизвестными границами, которые отыскиваются по заданным на них краевым условиям.
Как показывает практика последних десятилетий, математическое моделирование существенно влияет на развитие большинства направлений современной науки и техники. Задачи, связанные с фильтрацией, в этом смысле, — не исключение. Здесь нужно отметить несколько аспектов. Во-первых, необходимо совершенствование математических моделей теории фильтрации. Во-вторых, необходимо развитие и совершенствование методов реализации этих моделей. Наконец, необходимо учитывать быстрое развитие высокопроизводительных параллельных вычислительных машин, что позволяет решать задачи повышенной сложности, но требует специальных методов и алгоритмов. В 60-х годах выдающимся ученым Н. Н. Яненко [68] было предложено в вычислительной математике создание метода дробных шагов. Метод дробных шагов — это метод построения экономичных (в смысле числа операций) конечно-разностных схем для решения дифференциальных уравнений. Решение задач гидродинамики в сложных областях потребовало развития новых методов построения расчетных сеток, автоматически адаптирующихся к потоку, что позволило, в конечном счете, на порядок повысить точность расчетов.
Математическая модель — это система дифференциальных уравнений, описывающая процесс фильтрации в рассматриваемом конкретном объекте разработки, с заданными начальными и граничными условиями, обеспечивающими единственность решения поставленной задачи.
Этапами подготовки математической модели в данном случае являются:
— создание геологической модели;
— обоснование размерности модели и выбор основных уравнений для описания процесса;
— задание начальных и граничных условий.
В модельных задачах подземной гидрогазодинамики обычно рассматривают упрощенные геологические модели, в которых участок разработки или залежь в целом схематизируется в прямоугольную или круговую область фильтрации с постоянной толщиной пласта. В геологической модели должны быть также заданы основные геолого-физические параметры пластовой системы (пористой среды и фильтрующихся флюидов). В упрощенных моделях — это средние значения этих параметров в моделируемой области.
Для простейших линейно-параллельного и радиального потоков в пласте постоянной толщины применимы одномерные модели фильтрации. Для сложных течений в областях, содержащих произвольные системы скважин, используются двумерные (в случае тонких пластов) и трехмерные (в наиболее общем случае) модели фильтрации.
К основным уравнениям математической модели относятся:
— уравнения неразрывности (законы сохранения массы) для каждой фильтрующейся фазы;
— уравнения движения (обобщенный закон Дарси) для каждой фазы;
— уравнение сохранения энергии (в случае неизотермической фильтрации);
— уравнения состояния;
— дополнительные соотношения, устанавливающие взаимосвязи между фазовыми насыщенностями, между фазовыми и капиллярными давлениями.
Одной из важнейших индустриальных задач является проблема фильтрации нефти. Пример решения таких задач можно найти в работе [69], а также в книге [70].
Основы современных подходов математического моделирования изложены в работах [71 — 89].
Среди множества работ по математическому моделированию процессов фильтрации, опубликованных в последнее десятилетие, хотелось бы отметить работы [90−101].
В последнее время бурно развивается многопроцессорная вычислительная техника. Многие алгоритмы решения задач описываемых уравнениями математической физики, приводят к большим затратам вычислительных мощностей (численное моделирование задач фильтрации относится к этому КРУГУ)> и требуют адаптации к архитектуре новой многопроцессорной вычислительной техники. Некоторые общие требования к алгоритмам и задачам для многопроцессорных вычислительных систем отмечены в монографии [102].
Одним из возможных путей развития алгоритмов для многопроцессорной вычислительной техники, как было указано в [102], является разработка явных схем [103] с использованием специальных «регуляризаторов» [104]. При этом в алгоритм или непосредственно в математическую модель вводятся дополнительные члены, которые демпфируют счетные осцилляции. Данные «регуляризаторы» не должны превращать изучаемую задачу в среду, в которой гасятся все естественные возмущения. С другой стороны они должны успешно исключать неустойчивости именно счетного характера. Примером построения таких алгоритмов могут служить кинетически-согласованные разностные схемы, используемые для моделирования течений вязкого газа [102]. Заметим, что для создания подобного рода методов необходимо опираться не только на знание теории разностных схем, но и активно использовать разнообразную физическую информацию о свойствах изучаемого явления.
Важным свойством алгоритма, позволяющим добиться успешной адаптации на многопроцессорные системы [78], является его логическая простота. Это требование наиболее важно в связи с продолжающимся прогрессом многопроцессорной вычислительной техники, сопровождаемым неизбежным в той или иной степени изменением математического обеспечения.
Указанные выше требования к алгоритмам для многопроцессорных вычислительных систем учитывались автором при разработке новых моделей фильтрации с использованием специальных «регуляризаторов» и вложенных сеток.
Целью диссертационной работы является создание алгоритмов решения, численных методов и комплексов программ для решения актуальных задач фильтрации. Численные алгоритмы должны удовлетворять следующим требованиям: 1) использование явных однородных схем, что должно в будущем обеспечить высокую эффективность реализации данных алгоритмов на параллельных вычислительных системах- 2) разрешение больших градиентов течения вблизи скважин, для чего было предложено использовать систему вложенных сеток- 3) возможность решения двумерных и трехмерных задач- 4) переход к многофазной фильтрации.
В качестве первой задачи исследования была поставлена одномерная задача о центрально-симметричной фильтрации. Необходимо было найти численное решение на основе использования простых симметричных явных или полунеявных схем с возможной последующей регуляризацией решения. В качестве второй задачи исследования была поставлена двумерная задача о фильтрации вблизи скважины. Необходимо было описать на сетке скважину и градиенты численного решения, которые велики вблизи скважины. Для разрешения больших градиентов был выбран один из способов «сгущения» сетки вблизи скважины: система вложенных сеток. Следующей задачей была поставлена переформулировка алгоритмов и программ на трехмерный случай с учетом гравитации. Наконец, последняя задача была связана с исследованием устойчивости фильтрационного течения, когда менее вязкая жидкость проталкивает вязкую через пористую среду.
При построении математической модели и разностных схем использовался опыт построения кинетически-согласованных разностных схем (КСРС) и квазигазодинамической системы уравнений [102]. При отладке программ проверялась сходимость численных решений при измельчении сетки. Полученные решения сравнивались с точными решениями в тех случаях, когда оно известно [105]. Сравнивались численные решения, полученные разными методами. При разработке алгоритмов и программ фильтрации на системе вложенных сеток учитывался опыт коллег, численно решавших задачу о взрыве сверхновой на системе вложенных сеток [106,107].
В ходе выполнения данной работы создан новый модифицированный алгоритм численного решения задачи фильтрации однородной жидкости, полученный на основе введения регуляризирующей поправки. Данный алгоритм подразумевает использование вложенных сеток, которые в свою очередь служат для разрешения больших градиентов (например, вблизи области скважины). Такая технология вложенных сеток имеет определенные преимущества по сравнению с другими технологиями измельчения, например: 1) простота расчетных схем из-за регулярности сеток, 2) существенная экономия ресурсов — четырем шагам на мелкой сетке соответствует только один шаг на более крупной сетке. Выполнена реализация разработанных методов и для трехмерных задач с учетом гравитации.
Разработанные методы, алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы, как для фундаментальных исследований задач однофазной фильтрации, так и в приложениях, например, для расчетов водоносных пластов задач фильтрации нефти. Разработанный комплекс программ позволяет рассчитывать трехмерную область фильтрации с одной скважиной, разрешаемой системой вложенных сеток. Комплекс может быть обобщен на произвольное количество скважин. Разработанный метод с регуляризирующей поправкой может быть использован для больших скоростей фильтрующего вещества (закон Форхаймера вместо закона Дарси). Реализованная методика вложенных сеток дает простой и эффективный механизм расчета задач гидромеханики и фильтрации, в которых есть выделенная точка (ось) и градиенты сильно зависят от расстояния до точки (оси). Выполнено моделирование неустойчивости Саффмана — Тейлора.
Результаты работы устно докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах:
— Японско — Российский семинар «Турбулентность, неустойчивости и параллельные вычисления» (г. Осака, Япония, 22 — 24 октября, 2001);
— XXXXV научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (г. Долгопрудный, МФТИ, 29−30 ноября, 2002);
— VIII Японско — Российский симпозиум «Вычислительная гидрогазодинамика» (г. Сендай, Япония, 24 — 26 сентября, 2003);
— Японско — Российский семинар «Турбулентность и неустойчивости» (г. Токио, Япония, 29 — 30 сентября, 2003);
— Российско — Индийская международная конференция «Высокопроизводительные вычисления в науке и промышленности» (г. Москва, 16−20 июня, 2003);
— Российско — Японская международная конференция «Турбулентность и неустойчивости» (г. Москва, 21−24 сентября, 2004).
Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора [108 -110] и тезисах докладов [111−113].
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 110 страниц. Работа содержит 35 рисунков и список цитированной литературы из 166 наименований.
Заключение
.
В заключении сформулируем основные результаты диссертации:
• Разработан оригинальный метод решения задач фильтрации однородной жидкости, основанный на введении диссипативного члена в уравнение неразрывности.
• Разработана методика вложенных сеток, которая эффективно позволяет разрешать большие градиенты физических величин вблизи выделенных точек (скважин).
• Создан комплекс программ для численного решения двумерных и трехмерных задач фильтрации на вложенных сетках. Выполнены многочисленные тестовые расчеты. Использование регулярных сеток и явных схем предполагает быстрый перенос на многопроцессорные вычислительные системы.
• Поставлена и численно рассмотрена задача развития неустойчивости фронта вытеснения жидкости менее вязкой жидкостью.
Список литературы
- Басниев К. С., Власов A.M., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1986. — 303с.
- Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. — 208с.
- Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. — 339с.
- Ентов В. М., Зазовский А. Д. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Недра, 1989. — 232с.
- Компьютерные модели и прогресс в медицине, (под редакцией Белоцерковского О. М., Холодова А. С.). М: Наука, 2001. — 300с.
- Аравин В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. -М.: ГИТТЛ, 1953. 616с.
- Darcy Н. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris: Dalmont, 1856.
- Dupuit J. Etudes theoriques et pratiques sur le mouvement des eaux dans le canaux decouverts et a travers les terrains permeables. 2-eme ed. Paris: Dunod, 1863,304р.
- Жуковский H. E. Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод. // Полн. собр. соч. М.: ГПИ, 1937. — Т.7.
- Ю.Лейбензон Л. С. Собрание трудов: В 2 т. М.: АН СССР, 1953. — Т.2: Подземная гидрогазодинамика. — 544с.
- П.Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. Л.: Гостехиздат, 1947. — 244с.
- Христианович С. А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации. Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело. М.: Наука, 1. МФТИ, 1998.-336с.
- Христианович С. А. Избранные работы. Речная гидравлика. Теория фильтрации. Аэродинамика и газовая динамика. Горное дело. Теория пластичности. Энергетика. М.: Издательство МФТИ, 2000. — 272с.
- М.Лапук Б. Б. Теоретические основы теории разработки месторождений природных газов. М.- - Л.: Гостоптехиздат, 1948. — 295с.
- Хранение газа в горизонтальных и пологозалегающих водоносных пластах. // Чарный И. А., Астраханов Д. И., Власов А. М. и др. М.: Недра, 1968. -299с.
- Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. -396с.
- Щелкачев В. Н. Основные уравнения движения упругой жидкости в упругой пористой среде. // ДАН СССР, 1946. Т.52, № 2.
- Щелкачев В. Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. М.: Гостоптехиздат, 1959. — 467с.
- Щелкачев В. Н. Избранные труды. М.: Недра, 1990. — T. I — II.
- Щелкачев В. Н. Подземная гидравлика: Учебное пособие для студентов нефтегазовых специальностей университетов. М.: РХД, 2001. — 736с.
- Абасов М. Т., Оруджалиев Ф. Г. Газогидродинамика и разработка газоконденсатных месторождений. М.: Недра, 1969. — 262с.
- Абасов М. Т., Кулиев А. М. Методы гидродинамических расчетов разработки многопластовых месторождений нефти и газа. Баку: ЭЛМ, 1976.-2004.
- Алишаев М. Г., Розенберг М. Д., Теслюк Е. В. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений. М.: Недра, 1985. -271с.
- Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. -JI.: Гидрометеоиздат, 1982. 207с.
- Борисов Ю. П., Пилатовский В. П., Табаков В. П. Разработка нефтяных месторождений горизонтальными и многозабойными скважинами. М.: Недра, 1964.
- Борисов 10. П., Рябинина 3. К., Воинов В. В. Особенности проектирования разработки нефтяных месторождений с учетом их неоднородности. М.: Недра, 1976.-288с.
- Бузинов С. Н., Умрихин И. Д. Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов. М.: Недра, 1984. — 269с.
- Булыгин В. Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974. — 230с.
- Вахитов Г. Г., Кузнецов О. JL, Симкин Э. М. Термодинамика призабойной зоны нефтяного пласта. -М.: Недра, 1978. 216с.
- Горбунов А. Т. Разработка аномальных нефтяных месторождений. М.: Недра, 1981.-239с.31 .Гусейн-Заде М. А. Особенности движения жидкостей в неоднородном пласте.-М.: Недра, 1965.-210с.
- Гусейн-Заде М. А., Колосовская А. К. упругий режим в однопластовых и многопластовых системах. М.: Недра, 1972. — 454с.
- Данилов В. JL, Кац Р. М. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде. М.: Недра, 1980. — 264с.
- Желтов Ю. В. и др. Разработка и эксплуатация нефтегазоконденсатных месторождений. М.: Недра, 1979. — 254с.
- Желтов Ю. П. Разработка нефтяных месторождений: Учебн. для вузов. М.: Недра, 1986.-332с.
- Желтов Ю. П. Механика нефтегазоносного пласта. М.: Недра, 1975.216с.37.3акиров С. Н. Теория и проектирование разработки газовых и газоконденсатных месторождений. М.: Недра, 1989. — 334с.
- Зотов Г. А., Тверковкин С. М. Газогидродинамические методы исследования газовых скважин. -М: Недра, 1970. 192с.
- Коротаев 10. П., Ширковский А. И. Добыча, транспорт и подземное хранение газа. Учебник для вузов. М.: Недра, 1984. — 485с.
- Молокович 10. М., Осипов П. П. Основы теории релаксационной фильтрации. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1980. — 114с.
- Мирзаджанзаде А. X., Степанова Г. С. Математическая теория эксперимента в добыче нефти и газа. М.: Недра, 1977. — 229с.
- Мирзаджанзаде А. X., Ковалев А. П., Зайцев 10. В. Особенности эксплуатации месторождений аномальных нефтей. М.: Недра, 1972. — 200с.
- Непримеров Н. Н. Трехмерный анализ нефтеотдачи охлажденных пластов. -Казань: КГУ, 1978.-216с.
- Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984.-232с.
- Николаевский В. Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996. -447с.
- Пыхачев Г. Б., Исаев Р. Г. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1973. — 360с.
- Розеберг М. Д., Кундин С. А. Многофазная многокомпонентная фильтрация при добыче нефти и газа. М.: Недра, 1976. — 335с.
- Ромм Е. С. Структурные модели порового пространства горных пород. Л.: Недра, 1985.-240с.
- Соколовский Э. В., Соловьев Г. Б., Тренчиков Ю. Т. Индикаторные методы изучения нефтегазоносных пластов. -М.: Недра, 1986. 157с.
- Сургучев М. JL Вторичные и третичные методы увеличения нефтеотдачи пластов. М.: Недра, 1985. — 308с.
- Требин Ф. А., Щербаков Г. В., Яковлев В. П. Гидромеханические методы исследования скважин и пластов. -М.: Недра, 1965. -276с.
- Чекалюк Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1995. — 238с.
- Швидлер М. И. Статистическая гидродинамика пористых сред. М.: Недра, 1985.-288с.
- Хасанов М. М., Булгаков Г. Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах. М.: Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003. — 288с.
- Эфрос Д. А. Исследование фильтрации неоднородных систем. М.: Гостоптехиздат, 1963.-351с.
- Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.: Гостоптехиздат — 1937. // Пер. с англ.- - JL: Гостоптехиздат, 1949. — 628с.
- Маскет М. Физические основы технологии добычи нефти. М.- - JL: Гостоптехиздат, 1953. — 606с.
- Шейдеггер А. М. Физика течения жидкостей через пористые среды. М.: Гостоптехиздат, 1960. — 249с. // Пер. с англ.
- Кристеа Н. Подземная гидравлика. М.: Гостоптехиздат, 1962. — T. I — II.
- Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964. -350с.
- Aziz К. and Settari A. Petroleum reservoir simulation. New York: Elsevier applied science publishers, 1979. — 362p.
- Азиз X., Сеттари Э. Математическая моделирование пластовых систем. -М.: Недра, 1982.-407с.
- Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. Изд. 2-е. М.:1. Наука, 1977.-664с.
- Buckley S. Е., Leverett М. S. Mechanism of fluid displacement in sands. // Trans. AIME, 1942. -V.146.-P.107 116.
- Leverett M. S. //Trans. AIME, 1941. V.142. — 152p.
- Пирвердян A. M. Физика и гидравлика нефтяного пласта. -М.: Недра, 1982. 192с.
- Ильинский Н. Б., Касимов А. Р., Якимов Н. Д. Аналитические решения задач фильтрации. Обратный метод, вариационные теоремы, оптимизация и оценки (обзор). // Изв. РАН, МЖГ. 1998. — № 2.
- Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. Отделение, 1967. -195с.
- Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции. Параллельные вычисления в задачах математической физики. // Серия математическое моделирование и современные информационные технологии. Вып.З.
- Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997. — 320с.
- Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М: Наука, 1973.-415с.
- Самарский А. А., Вабищев П. Н. Численные методы решения задачконвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 247с.
- Яненко Н. Н. Введение в разностные методы математической физики. Н.: изд. Новосибирского университета, 1968. — 387с.
- Тихонов В. И. Случайные процессы. Оптимальная фильтрация, экстраполяция и моделирование. Учебное пособие. // Тихонов В. И., Шахтарин Б. И., Сизых В. В. М.: Радио и связь, 2004. -Т.З. — 407с.
- Дородницын А. А. Избранные научные труды. М.: ВЦ РАН, 1997. — Т.2. -350с.
- Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1977.-440с.
- Четверушкин Б. Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М.: МАКС Пресс, 2004. — 332с.
- Белоцерковский О. М. Численное моделирование механики сплошных сред. М.: Физматлит, 1994. — 448с. // 2-е изд., перераб. и доп.
- Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990. — 230с.
- Максимов М. М., Рыбицкая JI. П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: Недра, 1976. — 264с.
- Чекалин А. Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах. К.: изд. Казанского университета, 1982. — 207с.
- Кричлоу Г. Б. Современная разработка нефтяных месторождений. Проблемы моделирования. -М.: Недра, 1979. 303с.
- Математическое моделирование. Получение монокристаллов и полупроводниковых структур. // Под ред. Самарского А. А., Попова Ю. П., Мажоровой О. С. -М.: Наука, 1986.
- Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам. // Логос, 2004. 184с.
- Численные методы в математической физике. // МГУ им. М. В. Ломоносова, ВМК, Костомаров Д. П., Дмитриев В. И. М.: Диалог, МГУ, 1998. — 139с.88.0хлопков Н. М. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Як.: -изд-во ЯГУ, 1994. — Ч. 1. — 108с.
- Математическое моделирование: Проблемы и результаты. Информатика: неограниченные возможности и возможные ограничения. // Под. ред. Белоцерковского О. М., Гущина В. А. М.: Наука, 2003. — 478с.
- Галимов А. К. Численные методы решения задач подземной гидродинамики. М.: Всерос. НИИ природ, газов и газовых технологий (ВНИИГАЗ), 1997.-81с.
- Helmig R. Multiphase flow and transport processes in the subsurface. A contribution to the modelling of hydrosystems. Berlin: Springer, 1997.
- Helmig R., Huber R. Comparison of galerkin-type discretisation techniques for two-phase flow in heterogeneous porous media. // Advances in Water Resources. -1998. -V.21.-P.697- 711.
- Bastian P., Helmig R. Efficient fully-coupled solution techniques for two-phase flow in porous media: Parallel multigrid solution and large scale computations. // Advances in Water Resources. 1999. — V.23. — P. 199 — 216.
- Bastian P. Numerical computation of multiphase flows in porous media. // Habilitation thesis, Christian-Albrechts-Universitaet Kiel. 1999.
- Колдоба А. В., Повещенко Ю. А., Самарская E. А., Тишкин В. Ф. Методы математического моделирования окружающей среды. М: Наука, 2000. -254с.
- Мирзаджанзаде А. X., Хасанов М. М., Бахтизин Р. Н. Моделирование процессов нефтедобычи. М.- -Иж.: Институт компьютерных исследований, 2004.-368с.
- Smirnov N. N., Kisselev А. В., Nikitin V. F., Zvyaguin A. V., Thiercelin M., Legros J. C. Hydraulic fracturing and filtration in porous medium. 2006.
- Конюхов А. В., Кондауров В. И. Численное моделирование неустойчивости Сэфмана-Тейлора. // XXII межд. конференция: Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество. // Черноголовка, 1−6 марта, 2007.-С. 101−102.
- Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике: новая модель вязкого газа, алгоритмы, параллельная реализация. М.: МГУ, 1999. — 231с.
- Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432с.
- Четверушкин Б. Н., Чурбанова Н. Г. Моделирование течений газа при небольших числах Маха. // Дифференц. Уравнения. 1998. — Т.34, № 7. -С.988 — 992.
- Басниев К. С., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. -М.: Недра, 1993.-416с.
- Белоцерковский О. М., Опарин A.M., Чечеткин В. М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2002. — 286с.
- Савин Г. И., Шабанов Б. М., Калинов А. Я., Посыпкин М. А., Климов С. А., Устюгов С. Д., Чечеткин В. М. Математическое моделирование задачи о взрыве сверхновой на параллельном компьютере. // ЖВМ и МФ. 2004. -Т.44, № 5. — С.953 — 960.
- Четверушкин Б. Н., Белоцерковская М. С. Методика вложенных сеток на примере задачи фильтрации, которая включает в себя уравнение Дарси. // Кафедральный сборник научных работ молодых ученых «МИТ-2004», 2004.-С.4−18.
- Белоцерковская М. С., Опарин A.M., Четверушкин Б. Н. Использование вложенных сеток для моделирования процесса фильтрации. // Математическое моделирование, 2004. Т.16, № 12. — С. З — 10.
- Четверушкин Б. Н., Трапезникова М. А., Белоцерковская М. С. Аналог кинетически-согласованных схем для моделирования задач фильтрации. // Математическое моделирование. 2002. — Т. 14, № 10. — С.69 — 78.
- Четверушкин Б. Н., Белоцерковская М. С. Численное моделирование процессов фильтрации. // Труды XLV научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. М.: -Долгопрудный, 29 30 ноября, 2002. — 4.VII. — С.84 — 85.
- Belotserkovskaya М. S., Chetverushkin В. N Numerical simulation of, а filtration processes on the nested grids. // The eighth Japan Russia joinsymposium on CFD. J.: Sendai, Tohoku University, 24 — 26 September, 2003. -P.37−40.
- Belotserkovskaya M.S., Chetverushkin B.N., Oparin A.M. Numerical simulation of a filtration processes. // Russian Indian IW on high performance computing in science & engineering. — M.: 1С AD RAS, 16−20 June, 2003.
- Saffman P. G., Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous fluid. // Proc. Royal Society. 1958. — V.245. — P.312 — 329.
- Homsy G. Viscous fingering in porous media. // Annual Rev. of Fluid Mech., 1987.-V.19.-P.271−314.
- Tardy Ph. Viscous fingering in porous media. Towards ID averaged models for fracture cleanup simulation. // Proc. Moscow SMR Workshop. April, 2003. -№ 403.
- Пирсон С. Д. Учение о нефтяном пласте. М.: Гостоптехиздат, 1961. -579с.
- Технология повышения нефтеотдачи пластов. // Халимов Э. М., Леви Б. И., Дзюба В. И., Пономарев С. А. М.: Недра, 1984. — 271с.
- Мироненко В. А. Динамика подземных вод. М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2001. — 519с.
- Шестаков В. М. Динамика подземных вод. М.: МГУ, 1979. — 370с.
- Гольдберг В. М., Газда С. Гидрогеологические основы охраны подземных вод от загрязнения. М.: Недра, 1984. — 262с.
- Первов А. Г., Мотовилова Н. Б., Андрианов А. П. Ультрафильтрация -технология будущего. // Водоснабжение и сан. Техника, 2001. № 9. -С.9- 12.
- Лукнер Л., Шестаков В. М. Моделирование миграции подземных вод. -М.: Недра, 1986.-208с.
- Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.-288с.
- Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. -М.: ИЛ, 1961.-930с.
- Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. — 440с.
- Чемпен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960.-510с.
- Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. -М.: Мир, 1973.-245с.
- Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974. -371с.
- Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит, 2001.- 112с.
- Кочина Н. Н., Кочина П. Я., Николаевский В. Н. Мир подземных жидкостей. М.: ИФЗ, 1994. — 112с.
- Басниев К. С., Дмитриев Н. М., Каневская Р. Д., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. М.- - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 496с.
- Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. — Т.Н. -359с.
- Чарный И. А. Основы подземной гидравлики. М.: Гостоптехиздат, 1956. -260с.
- Басниев К. С., Власов А. М., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1986. — 303с.
- Амикс Д., Басс Д., Уайтинг Р. Физика нефтяного пласта. М.: Гостоптехиздат, 1962. — 572с.
- Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. — 352с.
- Дородницын Л. В., Четверушкин Б. Н., Чурбанова Н. Г. Кинетически согласованные разностные схемы и квазигазодинамическая модель течений плотных газов и жидкостей. // Математическое Моделирование. -2001. Т. 13, № 4. — С.47 — 57.
- Сайт northeast parallel architectures center. // Syracuse university, www.npac.svr.edu/PROJECTS/PUB/nikos/ParGG.html.
- Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках. // Математическое моделирование. 1997. — Т.9, № 7. — С.44 — 53.
- Тхир А. В. Метод продвинутого фронта для построения двумерных неструктурированных сеток. // В сб. Численные методы и приложения. // Под. Ред. Кузнецова Ю. А. -М.:ИВМРАН, 1995. С. 151 — 160.
- Неледова А. В., Тишкин В. Ф. Использование адаптивных сеток нерегулярной структуры для расчета разрывных течений с повышенным порядком точности. // Дифференциальные уравнения. 1996. — Т.32, № 7. -С.976−985.
- Лисейкин В. Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток. // ЖВММФ. 1996. — Т.36, № 1. — С. З — 41.
- Шалимов Б. В., Швидлер М. И. О влиянии сетки на точность расчета, гидродинамических показателей при численном моделировании пласта. -М.: Сб. науч. тр. ВНИИ, 1991.-Вып. 106.-С.25−38.
- Закиров С. Н. Анализ проблемы. Плотность сетки скважин -нефтеотдачи. М.: Грааль, 2002. — 314с.
- Modeling, mesh generation, and adaptive numerical methods for partial differential equations. // Babuska Ivo et al. ed. New York etc.: Springer, 1995.-LI, 450c.
- Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Mastin C. W. Numerical grid generation. Foundations and applications. New York: North-Holland, 1985. — 331 p.
- Thompson J. F. Grid generation techniques in computational dynamics. // AIAA journ. 1984. — V.22. — P. 1505 — 1523.
- Anderson D. A. Adaptive grid methods for partial differential equations. New York: ASME, 1983.
- Eiseman P. R. Adaptive grid generation. // Comput. meth. appl. engng. 1987. -V.64.-P.321 -376.
- Шевелев Ю. Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. -М.: Наука, 1986. 368с.
- Круглякова J1. В., Неледова А. В., Тишкин В. Ф., Филатов А. Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор). // Математическое моделирование. 1998. — Т. 10, № 3. — С.93 -116.
- Белоцерковский О. М., Андрущенко В. А., Шевелев Ю. Д. Динамика пространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере. М.: «Янус-К», 2000.-456с.
- Smith В. F., Bjerstad P. Е., Gropp W. D. Domain decomposition. Parallel multilevel methods for elliptic partial differential equations. Cambridge: University Press, 1996 — 224p.
- Гасилов В. А., Кузнецов E. В., Четверушкин Б. Н. Об одной модели для расчета течения вблизи горизонтальной скважины при нелинейном законе фильтрации. // Математическое моделирование. 2004. — Т. 16, № 9. — С.23 -29.
- Trangenstein J. A. Multi-scale iterative techniques and adaptive mesh refinement for flow in porous media. // Advances in Water Resources. 2002.1. V.25.-P.1175 -1213.
- Синдаловский JI. Н. Гидрогеоэкология. Справочник аналитических решений для интерпретации опытно-фильтрационных опробований. // Из-во С. П. ун-та. — 2005. — 766с.
- Wesseling P. An introduction to multigrid methods. // The Netherlands. The university of technology. 1991. -284c.
- Huckbusch W. Multi-grid methods and applications. Berlin: Springer, 1985.
- Trottenberg U., Oosterlee C. W., Schuller A. Multigrid. // Academic Press, 2001.-631c.
- Иваненко С. А. Адаптивно гармонические сетки. — М.: ВЦ РАН, Рос. Ан. ВЦ., 1997.- 181с.
- Антонцев С. Н., Монахов В. Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. Динамика сплошной среды. Н: СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. — 1969. — Вып.2. — С. 156 — 177.
- Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Н.: Наука. — 1983. — 316с.
- Баренблатт Г. И., Желтов 10. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах. // ПММ. 1960. — Т.24, Вып.5. — С.852 — 864.
- Islam М. N., Azaiez U. Nonlinear simulation of thermo-viscous fingering in nonisothermal miscible displacements in porous media. 2006.
- Jiang G., Shu C.-W. Efficient implementation of weighted ENO schemes. // Journal of Computational Physics. Вып.2. 1996. — V.126. — P.202 — 228.1. Рисунки1. Рис. 1
- Различия между мгновенной скоростью жидкости при обтекании зерен и' и скоростью фильтрации (поток массы) и.1. Рис.2
- Профиль давления в полулогарифмическом масштабе:1 решение задачи с модифицированным уравнением неразрывности, 2 решение классической постановки задачи (без «регуляризатора»), 3 аналитическое решение.1. Рис. 7
- Сравнение аналитического профиля скорости с численными профилями в полулогарифмическом масштабе, полученными на сетках с разным указанным количеством узлов.1. У+1. У"у*о