Математическое моделирование и численный анализ квазистатических и волновых процессов деформирования нелинейных вязкоупругих конструкций

Сооружение горных выработок различного назначения в толщах соляных пород имеет многолетнюю историю. Накопленный опыт свидетельствует о том, что соляные породы, особенно на больших глубинах, обладают ярко выраженными нелинейными вязкоупругими свойствами. С течением времени это приводит к значительным деформациям, а иногда и к разрушению подземных сооружений. В мировой горнодобычной практике известны многочисленные случаи, когда необоснованный выбор параметров подземных конструкций приводил к их массовым разрушениям. Правильное определение формы, размеров, расположения подземных сооружений возможно лишь на основе научно обоснованных методов расчета их напряженного и деформированного состояний, предполагающих математически строгую постановку задачи с учетом реальных свойств материала, представляемых определяющими уравнениями механического состояния.

Актуальность научного обоснования методов расчета устойчивости и прочности подземных сооружений в соляных отложениях возросла в связи с поиском рациональных способов захоронения промышленных отходов и, особенно, с использованием полостей в массивах каменной соли в качестве хранилищ нефтепродуктов. Перспективность подобных сооружений определяется тем, что соль является идеальным материалом для возведения в ней полостей ввиду ее хорошей растворимости, позволяющей создавать емкости относительно дешевым методом глубинного выщелачивания, достаточной прочности, допускающей существование полостей большого объема, практической непроницаемости для нефтепродуктов и газа, попутной добычи соляного раствора, экологической чистоты хранилищ. Их конфигурация, размеры и размещение в соляной толще, величина и характер оседания земной поверхности над ними предопределяются деформационными и прочностными реологическими свойствами этой толщи.

Несмотря на большой практический опыт строительства и эксплуатации полостей-нефтегазохранилищ в каменной соли, расчеты таких сооружений и оценка их прочности, за исключением весьма частных случаев, недостаточно научно обоснованы. Существующие аналитические методы позволяют исследовать лишь единичные случаи, не обеспечивая полноты прочностного анализа реальных конфигураций полостей. Известные численные расчеты напряженного состояния в окрестности полости представляют определенный интерес, однако, в своей основе содержат недостаточно обоснованные реологические модели или уравнения состояния конструкционных материалов, не учитывающие нелинейные вязкоупругие свойства каменной соли. В ранее опубликованных работах не получили достаточного освещения такие существенные практические вопросы, как анализ прочности и допустимых размеров осесимметричных полостей, их работа в режиме эксплуатации.

Подземные полости-хранилища являются пространственными длительно эксплуатируемыми сооружениями, деформирование которых существенно зависит от времени. Поэтому особую важность приобретает использование в расчетах уравнений механического состояния соляных пород, полученных с учетом влияния фактора времени в длительных статических испытаниях на одноосное сжатие (растяжение) стержней, в условиях плоской деформации полых цилиндрических образцов и натурных экспериментах. Наряду с длительными квазистатическими экспериментами для идентификации физико-механических параметров нелинейных вязкоупругих материалов могут привлекаться ускоряющие процесс эксперимента акустические опыты со стержнями, пластинами и цилиндрическими оболочками, требующие знания зависимостей между волновыми характеристиками и параметрами материалов. Кроме того, стержни, пластины и цилиндрические оболочки применяются в строительстве наземного оборудования при возведении и эксплуатации подземных хранилищ, а также широко используются в практике строительства других подземных и наземных конструкций. Присутствие в них скрытых микродефектов может значительно снизить прочность сооружений и привести к их разрушению. Обнаружить микродефекты в тонкостенных элементах конструкций позволяют неразрушающие методы контроля нелинейной акустодиагностики при наличии зависимостей между волновыми характеристиками и физико-механическими параметрами материалов. Корректное получение таких зависимостей основано на построении и исследовании математических моделей нелинейных волновых процессов в вязкоупругих стержнях, пластинах и оболочках в рамках нелинейной динамики. Проблемы нелинейной статики и динамики порождают важные классы задач, возникающих при исследовании процесса деформирования конструкций и их элементов, поскольку линейные модели, не учитывающие нелинейные свойства материала, не позволяют даже качественно выявить новые эффекты, вызываемые нелинейными свойствами среды.

Исследованию статики и динамики различных конструкций их элементов посвящено большое число работ, в основу которых положены решения упругих задач, когда свойства материала задаются законом Гука и рассматриваются малые деформации. Для решения многих практических задач указанный подход дает достаточную степень точности и находит широкое применение, однако, свойства многих реальных материалов не вписываются в рамки линейных моделей, с помощью которых невозможно достоверно оценить нелинейные эффекты. Такими средами являются, например, нелинейные материалы наследственного типа, физико-механические свойства которых изменяются во времени и определяются историей деформирования. В конструкциях, выполненных из подобных материалов, в определенных условиях имеет место развитие нелинейных конечных деформаций.

Физическая нелинейность вязкоупругих материалов и возможность развития геометрически нелинейных деформаций обусловливают необходимость построения нелинейных расчетных математических моделей, предназначенных для исследования напряженно-деформированного состояния конструкций их элементов в условиях квазистатического равновесия, а также анализа динамических процессов распространения волн деформаций.

Разработка и исследование таких математических моделей в диссертации выполнены в рамках темы ГКНТ «Разработать методы расчета устойчивости подземных емкостей для хранения нефтепродуктов и газа на основе современных методов механики горных пород», госбюджетных НИР по темам «Некоторые алгоритмические задачи математики» № ГР 79 020 635, «Методы решения некоторых дифференциальных уравнений и их приложения» № ГР 1 860 032 209 Саратовского государственного аграрного университета, «Разработать предложения по основным направлениям повышения эффективности региона», раздел 15.15 «Совершенствование математического и информационного обеспечения управления региона» № ГР 196 009 014 Кубанского государственного аграрного университета и в соответствии с научным направлением ЮжноРоссийского государственного технического университета (НПИ) «Численно-аналитические и качественные методы в задачах нелинейной механики» (утверждено решением ученого совета университета от 25.01.03 г.).

Большинство опубликованных материалов по изучению напряженно-деформированного состояния в окрестности полости основано на линейной теории упругости. Простейшим примером может служить задача о концентрации напряжений в окрестности шаровой полости радиуса R в бесконечном упругом однородном невесомом пространстве с гидростатической нагрузкой на бесконечности. Напряжения в сферической системе координат р, ф,0 вычисляются по формулам [1]: ар= P (l-R3p" 3) — с^РО+г-^У3).

Общая постановка внешней задачи для сферы и ее решение представлены в работе [2].

В [3] методами теории функций комплексной переменной получено решение внутренней и внешней задач для эллипсоида вращения, на поверхности которого заданы поверхностные силы или перемещения.

Пространство со свободной эллипсоидальной полостью рассматривалось Г. П. Черепановым и В. М. Смольским [4], в итоге построено обобщение решения М. А. Садовски, Е. Штернберга [5] на случай линейной зависимости основного поля напряжений от координат.

Для весомого полупространства с шаровой полостью Д. Голецки [6] предложено решение, точно удовлетворяющее граничным условиям на поверхности полости и приближенно — на земной поверхности.

Ю.И. Соловьев [7] описывает метод решения осесимметричных задач теории упругости с помощью обобщенных аналитических функций. В частности им исследованы полости шаровой и эллипсоидальной форм, для которых удалось найти решение, удовлетворяющее граничным условиям. При достаточно произвольной конфигурации полости последняя задача многократно усложняется.

В.А.Бабешко, М. Г. Селезнев с соавторами используют метод граничных интегральных уравнений для исследования концентрации упругих напряжений вблизи полостей [8].

В работе Глушкова Е. В. и др. [9] изучаются особенности поля напряжений в окрестности вершины клиновидной пространственной трещины.

Исследование полостей любой геометрии осложняется необходимостью учета реальных физико-механических свойств вмещающей среды. Поэтому Ю. К. Зарецкому, Е. М. Шафаренко [10] лишь для шаровой полости удалось построить аналитическое решение физически и геометрически нелинейной задачи. Вышеназванными авторами сделано предположение о том, что емкость заключена в соляном массиве, процесс деформации которого можно описать соотношениями нелинейной теории вязкоупругости, согласно которой ядро K (t — т) задается экспоненциальной функцией дробного порядка. Ими разработана модель массива с полостью в виде невесомой толстостенной сферической оболочки, подвергнутой действию равномерно распределенных внутреннего и внешнего давлений.

В работе Е. М. Оксенкруга представлен расчет напряженного и деформированного состояний сферической полости с учетом реологических свойств материала [11].

В некоторых известных исследованиях напряженно-деформированного состояния полостей были предприняты попытки учесть реальные физико-механические свойства вмещающей среды, однако использовались методы, не предусматривающие полного анализа на основе уравнений равновесия и механического состояния механики деформируемого твердого тела. В результате получены недостаточно точные априорные оценки концентрации напряжений.

Эллипсоидальная и шаровая конфигурации представляют лишь единичные случаи многообразия форм, реально получаемых на практике. Поэтому сравнительный анализ осесимметричных емкостей с геометрией, близкой реальной, невозможен на основе только аналитических методов.

Современные численные методы, например метод конечных элементов (МКЭ), в определенной мере отвечают поставленным целям и на практике показали достаточную эффективность при решении задач механики твердого деформируемого тела. В основе МКЭ лежат вариационные принципы механики, позволяющие создать удобную в практическом применении методику приближенного расчета конструкций.

М.Д. Тернер с соавторами [12], Р. В. Клаф [13] впервые обосновали термин «конечные элементы», предложили матричную формулировку и доказали основные свойства конечных элементов, основываясь на физических соображениях о поле перемещений и напряжений в них. Им принадлежит идея аппроксимации сплошной среды при помощи дискретных элементов.

Построению конечных элементов, приложению МКЭ к задачам различных областей механики, строгому математическому обоснованию МКЭ посвящено большинство исследований, нашедших отражение в монографиях О. С. Зенкевича [14], Д. Т. Одена [15], А. И. Филина [16], Л. А. Розина [17], Ж.С. Ер-жанова, Т. Д. Каримбаева [18], П. М. Варвака, И. М. Бузуна, А. С. Городецкого,.

В.Г. Пискунова, Ю. Н. Толокнова, В. Н. Юркова [19], С. Б. Ухова [20], В. А. Постнова, И. Я. Хархурима [21], Г. Стренга, Д. Финкса [22].

МКЭ имеет ряд преимуществ, поэтому широко применяется во многих областях науки и техники: при расчете ответственных деталей и узлов ракет, летательных аппаратов, судов, плотин, исследовании устойчивости откосов, решении задач фильтрации и теплопроводности. В МКЭ можно использовать различные типы элементов, совершенствование которых стало возможным благодаря увеличению числа параметров, описывающих поведение элемента, а также легко аппроксимировать границу исследуемых областей и учитывать заданные граничные условия.

Более обстоятельное изучение физико-механических свойств массива, его структурных особенностей (неоднородность, трещиноватость, анизотропия), реальных форм выработок, взаимодействия крепей и обделок с окружающими породами и т. д. в задачах механики горных пород также стало возможным благодаря использованию МКЭ.

В механике горных пород в основном работы посвящены исследованию горизонтальных выработок, расчет которых сводится к решению плоской задачи теории упругости, например, о концентрации напряжений вокруг выработки круглого поперечного сечения в изотропном или трансверсально-изотропном массиве.

Эту задачу О. С. Зенкевич, У. К. Ченг, К. Г. Стаг [23] рассматривали в предположении, что поле напряжений на внешней границе области однородно, и использовали для ее решения неравномерное его разбиение на треугольные элементы, позволяющее провести тщательное исследование вблизи поверхности выработки. В ходе проведенных исследований установленная МКЭ максимальная концентрация напряжений, составившая 2,83 в сравнении с точным аналитическим значением — 3,0, показала достаточную точность расчетов МКЭ.

С.Б. Ухов, В. В. Семенов [24] в ходе изучения МКЭ распределения перемещений и напряжений в окрестности выработки, пройденной в весомом изотропном или трансверсально-изотропном скальном массиве, пришли к выводу о том, что концентрация напряжений быстро затухает по мере удаления от контура выработки. Исследователи считают более целесообразным отнесение напряжений к узлам аппроксимирующей сетки.

Результаты расчета с помощью МКЭ одиночной выработки, пройденной в линейно-упругом горном массиве на небольшом удалении от земной поверхности и принимающей форму окружности, эллипса, квадрата и прямоугольника, представлены в статье Г. Барла [25].

Метод конечных элементов нашел широкое применение и успешную реализацию при решении нелинейных задач. Так, например, Б. Хойянксом, Б. Ла-даги [205] осуществлен упругопластический анализ распределения напряжений в весомом массиве с выработкой круглого очертания.

В расчетах С. Ф. Рейса, Д. У. Дира [26], основанных на методике расчета подземных выработок, пройденных в породах со свойствами упругопластиче-ского тела, используется процедура приращений внешней нагрузки в совокупности с методом переменных упругих параметров. Исследователями получено распределение напряжений вблизи горизонтальной цилиндрической выработки, а также построены зоны пластичности.

В основу анализа точности конечно-элементной аппроксимации упруго-пластических моделей для решения задач механики горных пород В.Г. Парисе-мом, Б. Фойгтом, И. П. Кингом [27] положено сравнение данных расчета МКЭ с известными аналитически точными. Результаты исследования показали их хорошее совпадение и явное преимущество МКЭ.

О.С. Зенкевич, С. Валлипен, И. П. Кинг [28] для решения нелинейных задач предлагают использовать итерационный способ, основанный на методах начальных напряжений и деформаций (метод упругих решений). Авторы доказывают его эффективность при анализе деформирования горного массива, в котором проводится и крепится выработка для подземной электростанции.

Изучению упругопластического поведения соляной толщи, вмещающей горизонтально расположенные полости, с помощью МКЭ посвящена работа П. М. Стремсдоерфера [29].

В ходе исследования напряженного и деформированного состояний в окрестности протяженной горизонтальной выработки, заключенной в соляном массиве, Б. В. Винкель, К. Х. Гертшле, Х. У. Ко пришли к выводу о том, что ползучесть соляных пород описывается экспоненциальной функцией, а полная деформация разлагается на вязкоупругую и вязкопластическую составляющие. Сравнение численных результатов, полученных методом шагов по времени в расчете толстостенной сферической оболочки, с известными точными показало хорошее их совпадение в случае, если шаги по времени достаточно малы. При другом варианте обнаруживалась расходимость итерационного процесса. Сопоставление результатов расчета выработки круглого сечения с натурными наблюдениями потребовало коррекции исходных уравнений механического состояния [30].

Эффективность приложения МКЭ к случаю решения осесимметричных задач также неоднократно подтверждалась на практике многими исследователями. Так, A. JL Квитка, П. П. Ворошко [31], сравнивая точное и конечно-элементное решения задачи о деформации полого толстостенного короткого цилиндра под действием боковых и осевых нагрузок, доказали, что при достаточно мелкой сетке погрешность численных расчетов не превышает 5%.

У.Р. Рашид [32] в ходе исследования осесимметричных составных конструкций, подверженных воздействию различных осевых усилий, использовал треугольные, кольцевые, цилиндрические и стержневые конечные элементы. Им проведены расчеты сосуда давления, материал которого усилен стальной арматурой и каркасом из стальных лент.

Представляют определенный научный интерес публикации о применимости метода конечных элементов к решению физических нелинейных осесимметричных задач.

П.В. Маркалом, И. М. Кингом [33] получены результаты конечноэлементного расчета частных задач по применению кольцевых треугольных элементов в анализе осесимметричной деформации упругопластического тела, а также подтверждена их достаточная точность при сравнении с аналитическим аналогом.

Изучению процесса ползучести в толстостенном цилиндре и осесиммет-ричном резервуаре, подверженных внутреннему давлению, с применением МКЭ совместно с методами начальной деформации и шагов по времени посвящено исследование Г. А. Гринбаума, М. Ф. Рубинштейна [34]. Хорошая сходимость применяемой итерационной схемы наблюдалась в том случае, если приращение деформации ползучести в каждом шаге не превышало упругой, что легко достигалось выбором шагов по времени.

Треугольный кольцевой элемент, по мнению А. П. Горячева [35], является наиболее универсальным типом тороидальных элементов, позволяющим решать пространственные осесимметричные задачи без значительного усложнения расчетной схемы плоской задачи теории упругости.

Более подробному исследованию напряженного и деформированного состояний соляной толщи, содержащей осесимметричную полость шаровой, эллипсоидальной, яйцевидной или колоколообразной конфигураций, методом конечных элементов посвящена статья К. Наира, Р. С. Сандху, E.JI. Вильсона. Ими осуществлена попытка учета реальных физико-механических свойств соляной породы с помощью соотношения:

8 =^- + Aamtn, и g и О где 8 a — интенсивности деформаций и напряженийt — времяA, m, п — паи и раметры ползучестиЕ0 — модуль упругости.

До возведения полости в невозмущенном соляном массиве действует основное сжимающее поле напряжений. Оно линейно зависит от глубины и характеризуется коэффициентом отношения бокового давления к вертикальному, равным 0,75- 1,0- 1,33. В ходе исследований подбиралась аппроксимирующая сетка, а также сравнивались результаты численного расчета шаровой полости, заключенной в массиве с однородным невозмущенным полем напряжений, с аналитически точными. Распространение процедуры МКЭ на решение нелинейной задачи теории ползучести МКЭ основано на применении схемы шагов по времени в совокупности с методом переменных упругих параметров. Наиболее интенсивная релаксация напряжений имеет место в течение двух часов после образования полости, причем после 24 часов напряженное состояние практически стабилизируется. Форма полости сильно влияет на упругое распределение напряжений, а в процессе релаксации напряжения влияние формы уменьшается. Удобство и гибкость МКЭ не отрицают возможности анализа различных практических эффектов, связанных с проектированием полостей-хранилищ в соляных отложениях [36]. В этих исследованиях авторы попытались наиболее полно учесть условия работы подземных полостей: ползучесть соляных пород, вариации поля напряжений невозмущенного массива, объемный вес. Однако ими экспериментально не исследовано уравнение состояния, обоснование которого опирается на частный случай сложного напряженного состояния с компонентами в главных осях = <73- Используемый в расчетах метод переменных упругих параметров требует длительных вычислительных процессов, так как в каждом временном шаге заново формируется матрица жесткости системы конечных элементов.

Исследования работы [36] необходимо дополнить изучением некоторых реально получаемых форм, сопутствующих различным способам образования полостей в массиве, использованием экспериментально обоснованных уравнений состояния, а также проверкой применимости расчетной конечно-элементной аппроксимации для полостей с формой, отличной от шаровой, так как последняя характеризуется небольшими градиентами напряжений.

Анализ публикаций, посвященных исследованию напряженного и деформированного состояний в окрестности полостей, позволяет сделать следующие выводы.

Аналитическими методами можно рассчитать лишь единичные формы, тем самым исключается полнота сравнительного анализа полостей реальной геометрии. Благодаря методу конечных элементов можно рассчитать большинство конфигураций и учесть разнообразные практические эффекты.

В известных работах, посвященных расчету осесимметричных полостей, образованных в вязкоупругих средах, не представлено достаточно информации для обоснованного, целостного квазистатического анализа напряженно-деформированного состояния. Некоторые исследователи отдают предпочтение физико-механическим моделям деформирования различных конструкционных материалов, не отражающим реологические свойства сред, в которых сооружаются полости. В то же время применяемые некоторыми авторами реологические модели недостаточно строго обоснованы экспериментально.

Анализ представленных в работе исследований по данной теме позволил сделать вывод о том, что актуальная задача учета влияния вязкоупругости на' напряженное и деформированное состояния осесимметричных полостей не получила достаточного освещения.

В настоящей работе в основу расчета напряженно-деформированного состояния горного массива с полостью положен метод конечных элементов, позволяющий с достаточной степенью точности исследовать реальную геометрию полости и учитывать нелинейные физические свойства вмещающей среды.

Многие практические задачи расчета конструкций не вписываются в рамки квазистатики и требуют использования уравнений динамики. Их применение, с одной стороны, расширяет рамки квазистатики, с другой — в условиях физической и геометрической нелинейности значительно усложняет математические модели, прямое аналитическое исследование которых приводит к непреодолимым математическим трудностям. Поэтому необходимо разработать корректные методы упрощения общих нелинейных уравнений динамики и перехода к таким математическим моделям динамических процессов в элементах конструкций, которые можно исследовать аналитически.

При строительстве подземных хранилищ, выработок и их наземного оборудования, различных других наземных сооружений большое распространение нашли тонкостенные конструкции: стержни, пластины, оболочки, изготовленные из материалов с вязкоупругими свойствами. Механические свойства материалов таких элементов конструкций, в частности труб, исследуются экспериментально с использованием метода, основанного на измерении скорости распространения волн. Сравнением экспериментальных значений скорости с ее теоретическими оценками можно определять физико-механические параметры материала. С другой стороны, зная эти параметры и замечая отклонение экспериментальной скорости распространения волны от теоретической, можно обнаружить скрытые дефекты в элементах конструкции. Поэтому теоретическая оценка скорости распространения волны с учетом реальных физико-механических свойств материала является актуальной задачей.

В работах У. К. Нигула и Ю. К. Энгельбрехта [37], [38] представлены результаты изучения переходных волновых процессов в задачах термоупругости, а также процесс распространения нелинейных волн деформаций в сплошных средах.

Нелинейным явлениям при распространении упругих волн в твердых телах посвящены работы JI.K. Зарембо, В. А. Красильникова [39] и JI.A. Островского, Е. Н. Пелиновского [40], в ферроупругих кристаллах — JI.H. Давыдова и З. А. Спольника [41].

В книге В. И. Карпмана [42] предложены результаты изучения общих закономерностей при распространении нелинейных волн в диспергирующих средах.

Отечественными исследователями J1.A. Островским и Сутиным [43] в ходе анализа нелинейных упругих волн в стержнях показано, что продольная скорость частиц стержня удовлетворяет уравнению Кортевега де Вриза. Ими были исследованы процессы нелинейных искажений волны, включая образование солитонов, а также их затухание с учетом реальных потерь в стержне. Результаты экспериментального наблюдения солитонов в стальной проволоке диаметром 1 мм показали, что минимальная их длина достигается при максимально возможном упругом напряжении, для которого еще выполняется закон Гука. Предположение о малости поперечных размеров стержня по сравнению с длиной волны практически всегда выполняется для солитона. Например, для стального цилиндрического стержня длина солитона составляет примерно семь диаметров стержня.

A.M. Самсоновым и Е. В. Сокуринской доказано, что на волновой процесс оказывает влияние непостоянство геометрии, модуль Юнга, коэффициент Пуассона и параметр нелинейности вдоль стержня. В то время как причиной необратимых деформаций в стержне может стать потеря импульсом своей энергии при расширении стержня и трансформации его в волновой пакет, а также усиление солитона скорости деформации при сужении стержня. В ходе проведенных исследований доказано, что солитон теряет массу и энергию при упрочнении материала, а при разупрочнении амплитуда и энергия могут неограниченно возрастать [44−47].

Продольные волны в стержнях с медленно меняющимися плотностью и модулем Юнга стали предметом научного интереса И. А. Молоткова и С.А. Ва-куленко [48]. Методом возмущений ими были получены выражения для амплитуды и скорости возмущенного солитона, решение которых представляет собой локализованное в малой области пространства и времени ядро солитона, за которым следует имеющий почти постоянную величину «хвост» .

А.В. Мартыновым [49] с помощью вариационного метода проведены исследования уравнения нелинейных продольных вибрационных колебаний тонкой пластины с большими прогибами срединной упругой поверхности. В случае плоской продольной волны, распространяющейся вдоль какой-либо координатной оси, уравнения сводятся к волновым возмущениям уравнения синус-Гордона (для неограниченного пространства). Автором описано качественное поведение решения уравнения для общего случая, а для неограниченного пространства получен простой класс решений в виде бегущих волн неизменной формы, распространяющихся с неизменной скоростью.

Сдвиговые солитоны в упругой пластине наблюдались экспериментально Ю. С. Кившарем и Е. С. Сыркиным [50]. Авторы этой работы проанализировали влияние нелинейности на чисто сдвиговые волны, а также вывели нелинейное параболическое уравнение (нелинейное уравнение Шредингера), описывающее динамику огибающих таких волн. Сделан вывод о том, что в зависимости от нелинейных свойств упругой пластины в ней могут распространяться «светлые» или «темные» сдвиговые солитоны, параметры которых связаны с линейными модами пластины.

В ходе исследования распространения слабо расходящегося пучка нелинейных продольных волн в пластине А. И. Потапов и И. Н. Солдатов [51 ] доказали, что компонента продольной деформации удовлетворяет уравнению Кадомцева — Петвиашвили, и в пластинах могут распространяться двумерные солитоны. Заслугой вышеназванных авторов является получение уравнения продольных колебаний пластин из соотношений трехмерной теории упругости, а не из классических теорий пластин, и учет геометрической и физической нелинейности путем использования пятиконстантной теории упругости. Представленные результаты исследований о распространении нелинейных волн деформации в стержнях и пластинах были обобщены А. И. Потаповым [52].

Гетманом И.П., Устиновым Ю. А. разработана теория твердых волноводов [53].

Проблемы нелинейной волновой динамики упругих систем с микроструктурой достаточно полно освещены в работах В. И. Ерофеева [54−57]. Им показано, что в средах с микроструктурой могут наблюдаться резонансные взаимодействия продольной волны с волнами продольного вращения и сдвига — вращения, а также формирование нелинейных стационарных волн (в частности, солитонов деформации) и другие эффекты, не имеющие аналогов в классической теории упругости. Здесь же указано на возможность использования полученных результатов в задачах акустического зондирования твердых тел. При исследовании распространения упругих волн в поврежденной среде определены зависимости между основными параметрами волны и поврежденностью материала. Отмечено, что эти зависимости могут быть положены в основу разработки акустического метода диагностики поврежденности материала.

Дифракция упругих волн в многосвязных телах исследуется в работе Гузя А. Н., Головчана В. Т. [58].

В работе Воровича И. И., Лебедева Л. П. [59], Коссовича Л. Ю. [60] рассматриваются нелинейные колебания вязкоупругих оболочек.

Бабешко В.А., Е. В. Глушков, Ж. Ф. Зинченко исследуют динамические процессы в неоднородных линейно-упругих средах [61].

В исследовании нелинейного волнового процесса в стержнях и пластинах большинство авторов придерживаются неклассических теорий колебаний. Это закономерно в силу того, что все классические теории продольных и из-гибных колебаний являются одномодовыми аппроксимациями задач трехмерной динамической теории упругости, в основе которой лежит модель обобщенного плоского напряженного состояния (ОПНС). Модель ОПНС не учитывает связи продольных и поперечных движений, и потому применима лишь при невысоких частотах. Из сказанного можно сделать вывод, что никакие уточнения не улучшат качественно классические теории, если эти уточнения не увеличивают числа мод (форм колебаний по толщине). К таким уточнениям относятся поправка Лява, учитывающая силы инерции поперечных движений при продольных колебаниях стержня, и поправка Рэлея, учитывающая инерцию вращения элемента балки при изгибных колебаниях. Таким образом, не выходя за рамки ОПНС, невозможно адекватно описать волновой процесс, возникающий в деформируемом твердом теле [62].

Необходимо отметить неоспоримый вклад в решение динамических задач теории упругости следующих ученых: В. А. Бабешко, А. С. Вольмир, И.И. Воро-вич, А. Н. Гузь, Ш. У. Галиев, М. П. Галин, А. Л. Гольденвейзер, И. Г. Кадомцев,.

В.Н. Кукуджанов, Э. И. Григолюк, Ю. Н. Новичков, Ю. Н. Работнов, С. П. Тимошенко, Ю. А. Устинов, Г. С. Шапиро, В. А. Фельдштейн и др.

М.Д. Мартыненко и его коллегами [63−65] рассматриваются задачи, в которых исследуются условия существования солитонов в нелинейно-упругих телах, а также задачи об упругих волнах в движущихся цилиндрических оболочках с учетом линейных эффектов, обусловленных влиянием инерционных сил.

В работах Землянухинв А. И. [66−82] исследуются различные условия возникновения солитонов в нелинейно-упругих стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках.

Упрго-пластические волны деформаций в стержнях и оболочках рассматриваются в работах [83−92], а в в работах [93−99] изучаются различные эволюционные уравнения и их точные решения.

Исследованию нелинейной динамики упругих пластин, оболочек и других элементов конструкций посвящены работы [100−105].

В работах [106−132] рассматриваются нелинейные волны в стержнях, оболочках, пластинах, диссипативных средах, изучаются свойства уравнений, описывающих распространение нелинейных волн, методы построения автомодельных решений эволюционных уравнений, различные аспекты нелинейных колебаний деформируемых систем, акустические методы исследования физических свойств материалов, а в монографиях [133,134] излагаются методы возмущений, применяемые при асимптотическом анализе дифференциальных уравнений движения.

Эксперименты по наблюдению продольных и сдвиговых солитонов в нелинейно-упругих стержнях и пластинах, а также результаты их теоретического описания приводят к более общей проблеме поиска условий возникновения уединенных волн в нелинейно-вязкоупругих средах.

Анализ опубликованных материалов позволяет сделать следующие выводы:

1. Несмотря на большой практический опыт строительства и эксплуатации полостей-нефтегазохранилищ в каменной соли, расчеты таких сооружений, и оценка их прочности за исключением весьма частных случаев недостаточно научно обоснованы. Существующие аналитические методы позволяют исследовать лишь единичные случаи, не обеспечивая полноты прочностного анализа реальных конфигураций полостей. Известные численные расчеты напряженного состояния в окрестности полости представляют определенный интерес, однако в своей основе содержат недостаточно обоснованные реологические модели или уравнения состояния конструкционных материалов, не учитывающие нелинейные вязкоупругие свойства каменной соли. Линейно-упругие однородные модели не позволяют оценить допустимые размеры полостей, поэтому в ранее опубликованных работах не получили достаточного освещения такие существенные практически вопросы, как анализ прочности и допустимых размеров осесимметричных полостей.

2. В силу больших математических трудностей не разработан общий теоретический подход к исследованию неодномерных задач нелинейной волновой динамики вязкоупругих стержней, пластин и цилиндрических оболочек, предполагающий вывод уравнений движения, сведение их к упрощенным модельным эволюционным уравнениям и формулировку условий существования их точных решений, имеющих физический смысл.

Учет вязкости приобретает особое значение еще и потому, что во многих случаях рассеяние энергии обусловлено именно вязкостью среды, т. е. механизм потерь энергии определяется естественным образом свойствами материала в отличие от искусственного учета диссипативных эффектов за счет введения в уравнения движения, например, оболочки демпфирующего члена (Воль-мир А.С.). В связи с этим вопросы вывода эволюционных уравнений для вязко-упругих тонкостенных конструкций, существенно упрощающих исходные уравнения движения, и поиск не противоречащих физическому смыслу их точных решений, приобретают особую актуальность.

Цель и задачи исследования

Целью диссертации является повышение надежности и безопасности работы сооружаемых в горных породах подземных нефтегазохранилищ, используемых при их строительстве и эксплуатации тонкостенных элементов конструкций — стержней, пластин и цилиндрических оболочек, эффективности проектирования таких сооружений на основе исследования влияния свойства нелинейной вязкоупругости на квазистатические и динамические процессы деформирования массива, содержащего осесимметричную выработку или полость, и на волновые процессы, протекающие в тонкостенных элементах конструкций.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1) корректная постановка квазистатической краевой задачи для нелинейного вязкоупругого массива, содержащего осесимметричную полость, с использованием уравнений механического состояния вмещающей среды, теоретически и экспериментально обоснованных обработкой данных, полученных в лабораторных опытах на одноосное сжатие, в условиях плоской деформации и в натурных наблюдениях;

2) составление комплекса программ, реализующего алгоритмы метода конечных элементов и упругих решений применительно к решению поставленной краевой задачи, и всестороннее исследование напряженного и деформированного состояний массива каменной соли в окрестности полостей реальных конфигураций, возводимых существующими методами глубинного размыва полостей;

3) разработка методики оценки и рекомендаций по допустимым размерам полостей, обеспечивающим их прочность и долговечность эксплуатации;

5) исследование напряженно-деформированного состояния эксплуатируемых полостей при воздействии внутреннего давления хранимого продукта;

6) разработка общего теоретического подхода к исследованию нелинейной волновой динамики вязкоупругих стержней, пластин и цилиндрических оболочек, включающего вывод уравнений движения, их обоснованное упрощение путем сведения к эволюционным уравнениям, моделирующим изучаемые волновые процессы;

7) определение условий, при которых образуются уединенные волны деформаций в вязкоупругих стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках;

8) получение динамических характеристик тонкостенных вязкоупругих элементов конструкций для применения акустодиагностики при идентификации физико-механических параметров материалов и определении скрытых микродефектов элементов конструкций;

9) построение классов точных решений полученных эволюционных уравнений.

Предмет и объект исследования. Предметом исследования является методология анализа влияния свойства нелинейной вязкоупругости на напряженное и деформированное состояния вязкоупругого массива, содержащего осесимметричную выработку или полость, и волновые процессы в тонкостенных элементах конструкций из вязкоупругого материала. Объектом исследования являются подземные хранилища, сооружаемые в отложениях каменной соли, и используемые в наземных конструкциях и оборудовании стержни, пластины и цилиндрические оболочки.

Научная новизна. Научная новизна и защищаемые положения состоят в исследовании влияния свойства нелинейной вязкоупругости на квазистатические и динамические процессы деформирования конструкций и их элементов, имеющих большое практическое значение. Разработаны методология, математические модели и методики решения этой проблемы.

1. Сформулирована квазистатическая краевая задача и на ее основе разработана математическая модель, позволяющая исследовать влияние свойства нелинейной вязкоупругости на напряженно-деформированное состояние массива соляных пород в окрестности образованной в нем осесимметричной горизонтальной выработки или полости любой геометрии, получаемой современными методами размыва полостей. В отличие от известных моделей для описания физико-механических свойств солей используются корректно построенные уравнения состояния нелинейной вязкоупругости, применимость которых теоретически и экспериментально обоснована лабораторными опытами над соляными образцами в условиях одноосного сжатия и плоской деформации, а также в натурных экспериментах по наблюдению смещений точек поверхности горизонтальных соляных выработок.

2. Разработана новая методика вероятностной оценки зон возможного разрушения соляного массива вблизи осесимметричных пространственных полостей и их допустимых размеров, дополняющая известные методы оценки размеров горизонтальных соляных выработок. На ее основе определены зоны вероятного разрушения соляного массива вблизи хранилищ различной формы.

3. Создан подтвержденный свидетельством о государственной регистрации № 2 006 611 212 комплекс программ, реализующий алгоритмы методов конечных элементов, шагов по времени и упругих решений применительно к решению поставленной краевой задаче, позволяющий изучать особенности концентрации напряжений вблизи подземных полостей.

4. Проведено всестороннее исследование напряженного и деформированного состояний соляного массива в окрестности осесимметричных полостей и получены новые расчетные данные об изменении во времени полей напряжений и деформаций в окрестности возводимых на практике осесимметричных полостей. В отличие от известных результатов исследована концентрация напряжений вблизи поверхности хранилищ при различных горно-геологических условиях и в режиме эксплуатации хранилищ.

5. Показано, что геометрия полости существенно влияет на начальное упругое распределение напряжений, а с течением времени нелинейная вязкоупру-гость соли приводит к существенному снижению их исходной концентрации и сглаживанию влияния особенностей конфигурации полости на поле напряжений в соляном массиве, т. е. наибольшую опасность представляет начальная концентрация напряжений в окрестности образованной полости, определяемая упругими свойствами солей. Установлено, что перемещения, вызванные нелинейной вязкоупругостью, в 5−6 раз превосходят соответствующие упругие, однако в целом остаются малыми по сравнению с начальными размерами полостей, вызывая незначительное изменение исходного объема нефтегазохранилищ. В отличие от известных расчетов учитываются реальные свойства соляных пород и исследуются конфигурации хранилищ, получаемые современными способами их создания.

6. Разработаны основы нелинейной волновой динамики стержней, пластин и цилиндрических оболочек с учетом диссипации. В отличие от известных результатов исследования одномерных задач предложен общий теоретический подход к исследованию продольных волн в одномерных и неодномерных вяз-коупругих тонкостенных элементах конструкций.

7. Выведены новые уравнения движения нелинейных вязкоупругих' стержней, пластин и цилиндрических оболочек в рамках классических и неклассических гипотез о поперечных смещениях частиц, которые ассимптотиче-ским методом сведены к более простым для аналитического исследования нелинейным эволюционным уравнениям, моделирующим эволюцию возмущений в нелинейнои линейно-вязкоупругих диссипативных диспергирующих тонкостенных элементах конструкций. В отличие от известных одномерных физически линейных моделей построены нелинейные одномерные и двумерные математические модели волновых процессов в нелинейных вязкоупругих пластинах и цилиндрических оболочках.

8. Установлены зависимости между геометрическими, физическими и волновыми характеристиками тонкостенных элементов конструкций, при которых возможно получение уединенных волн в экспериментах с вязкоупругими стержнями, пластинами и цилиндрическими оболочками, и выведены формулы, связывающие скорость распространения уединенных волн в стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках с физико-механическими параметрами вязко-упругого материала. Полученные зависимости обобщают известные формулы для упругих материалов и позволяют проводить идентификацию физико-механических параметров нелинейных вязкоупругих материалов, а также диагностику скрытых дефектов в подобных материалах акустическими методами.

9. Показано, что компенсация эффектов нелинейности, дисперсии и диссипации приводит к образованию в стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках продольных уединенных волн, скорость которых увеличивается с ростом амплитуды волны, т. е. зависит от степени нелинейности процесса. Применяемые ранее линейные модели не позволяют даже качественно обнаружить этот эффект.

10. Построены новые точные решения эволюционных уравнений и сформулированы условия, при которых эти решения описывают уединенные ударно-волновые структуры. В отличие от известных результатов эти решения невозможно получить методом обратной задачи рассеяния.

Достоверность результатов. В ходе проведения исследований использовались труды отечественных и зарубежных ученых в области нелинейной механики, математического моделирования, математики (Бабешко В.А., Болотин В. В., Вольмир А. С., Ворович И. И., А. Н. Гузь, Галин М. П., Галлиев Ш. У., Гольденвейзер A. JL, Григолюк Э. И., Глушков Е. В., Ержанов Ж. С., Ерофеев В. В., Зенкевич О. С., Ильюшин А. А., Кадомцев И. Г., Кукуджанов В. Н., Лурье И. А., Моск-витин В.В., Нигул У. К., Новичков Ю. Н., Писаренко Г. С., Победря Б. Е., Потапов А. И., Работнов Ю. Н., Ржаницын А. Р., Селезнев М. Г., Тимошенко С. П., Шапиро Г. С., Ю. А. Устинов, Уизем Дж., Фельдштейн В. А. и др.). Исследования опирались на корректную постановку краевых задач квазистатики и задач волновой динамики, сформулированных для изучения влияния свойства нелинейной вяз-коупругости на квазистатические и динамические процессы деформирования конструкций и их элементов, имеющих большое практическое значение.

В основу исследования квазистатических процессов деформирования в окрестности осесимметричных полостей, сооружаемых в нелинейных вязкоупругих массивах, положена теоретически и экспериментально обоснованная математическая модель. Для численного анализа использовались широко и успешно применяемые в расчетах подземных горных выработок методы конечных элементов и упругих решений. Оценены условия сходимости метода упругих решений. Выбор расчетных конечно-элементных аппроксимаций массива с полостью оценивался сравнением численных результатов с точным решением задачи о концентрации напряжений в окрестности эллипсоидальной полости в упругом массиве. Используемые сетки вызывали отклонение численных результатов расчета от точных не более 1,5%.

Уравнения механического состояния, применяемые в математической модели, получили всестороннее обоснование обработкой данных одномерных испытаний призматических образцов, двумерных лабораторных испытаний в условиях плоской деформации цилиндрических трубчатых образцов и натурных наблюдений за перемещениями точек поверхности горизонтальных соляных выработок.

Уравнения движения нелинейных тонкостенных элементов конструкций получены классическим вариационным методом виртуальных работ, а их упрощение и сведение к эволюционным уравнениям осуществлялись широко и успешно применяемыми в механике сплошных сред асимптотическими методами, корректность которых обоснована в соответствующей литературе.

Из полученных новых соотношений для динамических параметров тонкостенных элементов конструкций, установленных с учетом свойства нелинейной вязкоупругости, как частные случаи вытекают известные формулы, определенные в рамках линейно-упругих моделей волновых процессов. Все положения, сформулированные в диссертации, обоснованы математически.

Практическая значимость. Практическая значимость проведенного исследования состоит в том, что разработанный теоретический и методологический аппарат позволяет:

— определить концентрацию напряжений в соляной толще вблизи подземных нефтегазохранилищ любой реальной формы, достигаемой современными способами размыва полостей в солях, при различных горно-геологических условиях залегания пород, установить зоны вероятного разрушения соляного массива в окрестности хранилищ, выявить и рекомендовать к сооружению формы полостей, приводящие к наименьшим концентрациям напряжений и зонам вероятного разрушения в окрестности хранилищ;

— дать рекомендации по допустимым размерам полостей, обеспечивающим длительную и безопасную эксплуатацию этих сооружений;

— определить и рекомендовать к возведению формы полостей, имеющих большие размеры при равной прочности по вероятности разрушения;

— исследовать влияние нелинейной вязкоупругости вмещающей среды на изменение во времени деформаций, концентрации напряжений вблизи свободных хранилищ и их объема;

— изучить совместное влияние внутреннего давления и нелинейной вязкоупругости соляной породы на поле перемещений и концентрацию напряжений вблизи эксплуатируемого хранилища;

— разработать рекомендации относительно соотношений между геометрическими, волновыми и физическими характеристиками нелинейных вязкоуп-ругих стержней, пластин и цилиндрических оболочек для проведения экспериментов по наблюдению уединенных волн;

— установить зависимости между скоростью распространения нелинейных уединенных волн в тонкостенных элементах конструкций и физико-механическими параметрами нелинейных вязкоупругих материалов, применяемые для идентификации параметров среды акустическими методами и выявления скрытых микроповреждений материала вязкоупругих стержней, пластин и цилиндрических оболочек методами нелинейной акустодиагностики;

— численно исследовать эволюцию волновых возмущений в нелинейно-вязкоупругих диспергирующих средах при заданных начальных условиях;

— разрабатывать способы передачи информации без искажения на большие расстояния в акустических волноводах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: 6-й Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1977 г.), Всесоюзной научной конференции «Проблемы механики подземных сооружений» (Ленинград, 1978 г.), научно-практической конференции молодых ученых и специалистов (Алма-Ата, 1982 г.), научных семинарах академика Ж. С. Ержанова в институте математики и механики АН Казахской ССР (Алма-Ата, 1976;1980 гг.), научных конференциях профессорско-преподавательского состава Алма-атинского энергетического института (Алма-Ата, 1982;1991 гг.), Саратовского государственного института механизации сельского хозяйства и Саратовского государственного аграрного университета (Саратов, 1993;2001 гг.), в Международной школе-симпозиуме «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000 г.), межвузовской научной конференции «Современные проблемы нелинейной механики конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами» (Саратов, 2000 г.), международном коллоквиуме EUROMECH Colloquium 439 Mathematical Modeling of Dinamic Behavior of Thin Elastic Structures (Саратов, июль 2002 г.), 17-й международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Кострома, 2004 г.), 9-й международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2005 г.).

На защиту выносятся следующие основные результаты:

— теоретически и экспериментально обоснованная математическая модель расчета полей напряжений и деформаций в окрестности осесимметричных полостей, возводимых в нелинейном вязкоупругом массиве, допускающем развитие нелинейных деформаций ползучести и релаксацию полей напряжений;

— методика построения зон вероятного разрушения и сравнительной вероятностной оценки допустимых размеров проектируемых полостей-хранилищ;

— новые расчетные данные об упругих полях напряжений и зонах вероятного разрушения в окрестности полостей-хранилищ, оценках их допустимых размеров, об изменении напряженно-деформированного состояния во времени в окрестности свободной и эксплуатируемой полости в условиях нелинейной ползучести вмещающей соляной толщи;

— рекомендации по выбору форм полостей, порождающих меньшие концентрацию напряжений и зоны вероятного разрушения в окрестности хранилищ, допустимых размеров хранилищ, обеспечивающих длительную и безопасную эксплуатацию этих сооружений, по определению геометрии полостей, которой соответствуют большие размеры хранилищ при равной их прочности по вероятности разрушения;

— новые уравнения движения линейнои нелинейно-вязкоупругих стержней, пластин и цилиндрических оболочек, выведенные с учетом конечности деформаций в рамках классических и неклассических гипотез о поперечных перемещениях частиц;

— методика сведения уравнений движения к более простым для аналитического исследования эволюционным уравнениям, соответствующим различным уравнениям состояния материала;

— зависимости между геометрическими и физическими характеристиками стержней, пластин, цилиндрических оболочек и волновыми параметрами, обеспечивающие возникновение уединенных волн деформации;

— новые соотношения, связывающие скорость распространения уединенных волн с физико-механическими параметрами материала;

— точные решения неинтегрируемых методом обратной задачи рассеяния эволюционных уравнений, описывающие уединенные ударно-волновые структуры.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в трех монографиях, 41 научной статье и свидетельстве о регистрации программы для ЭВМ.

Диссертационная работа включает: введение, пять глав, выводы, список использованной литературы и приложение.

10. Результаты работы опубликованы в соавторстве в трех монографиях, одна из которых издана за рубежом, прошли апробацию на республиканских, всесоюзных, международных научных конференциях, переданы и используются в ООО «Химтехноресурс», ЗАО «Стройтэк», внедрены в учебный процесс Кубанского государственного аграрного университета и Кубанского института информационной защиты.