Явное решение некоторых задач сопряжения аналитических, гармонических и обобщенных аналитических функций в особых случаях
Норов К. Особые случаи краевой задачи типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа.- Сб. «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения», Душанбе, вып. 7, 1998, с.36−39. Михайлов Л. Г., Усманов Н. Особые случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в честных производных. -Тезисы докладов Расширенных заседаний семинара института… Читать ещё >
Содержание
- С О Д1 ВЖ1Ж Ш Ж
- Введение.,."
- 1. Случай явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения для аналитических и гармонических функций в круге
- 1. 1. 0. случаях явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения аналитических функций
- 1. 2. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций
- 2. О задачах сопряжения гармошческих функций, разрешаемых в зашщутой форме
- 2. 1. Задача сопряжения гармонических фрщщй и её особый случай
- 2. 2. Случай разрывных коэффициентов в задаче сопряжения гармонических функций
- Задача соЕршшш^^ функций для полуплоскости
- 4. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с сингулярным граничным условием
- 5. Случай, когда коэффициенты задачи (А0) имеют особенности различных типов
- 6. Особые случай краевой задачи сопряжения для одаого случая обобщенных аналитических функций
- Цитжрованная
- литература
- ВВЩЩШ
- 0. 1. ОБОЗШЧШШ ш ошштшшш
- Будут рассматриваться комплекснозначные функции точек плоскости (х, у) или z=x+ly, обозначаемые не только как f (x, y), но и как i (z)
- Пусть D* - односвязная ограниченная область (в частности это круг) с границей Ляпунова L, D~ - внешняя по отноffWB" «Т. nrt^or»"""!. «р, а Д^ттолнение TIO TJroft TTimnKOCIfPi.'
- * * у '
- 2. ф^ (t) — предельные значения на I» аналитических в Б*-: функций, причем для ф~(г) требуется, чтобы <�р~(оо) =
- 3. 1. — число линейнонезависимых надполемвещественных чисел решений однородной задачи, р — число условий разрешимости неодаородней
- 4. — класс функций удовлетворяющих условию Гель-дера: [id,) — f (t2)| < Kf|t1-t2|^, для всех/Ц, t? € Ь, причем О < X < 1-у
- 5. Sp (SH) — норма в Ь^Н^Ь)) сингулярного оператора: Г p.(t)
- SM- J t — 2 dt, t €
- Отметим, что для окружности S2 =
- 6. А (В) — класс функций, аналитических по комплексной перемерюй в области D
0.2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ Новый расцвет теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений получила лишь в середине тридцатых годов. В течение короткого промежутка времени, и особенно в последные годы, вышло большое количество работ, посвященных краевым задачам аналитических функций. Большую роль, здесь сыграли работы Н. И. Мусхелишвили ?183 по теории упругости и задачи теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного переменного, а последние при помощи интегралов типа Коши к сингулярным интегральным уравнениям.
От вышеуказанных краевых задач естественно надо было перейти к постановке и решению общего случая основной краевой задачи, что и сделано в работах Ф. Д. Гахова С53.
Наряду с работаш по теории упругости большую роль сыграли также работы Лаврентьева М. А., Келдыша М. В., Седова ж др. да щщюдиншшке^
При решении практических задач здесь попутно ставились и решались частншш методами некоторые краевие задачи и сингулярные интегральные уравнения специального вида.
Труда перечислить все работы опубликованные за послед-ныв года* связанные так или иначе с нашей тематикой. Такая подробная библиография имеется в монографиях Н.И.Мусхелиш-Вши Г181 и Ф. Д. Гахова Е5Ь
За последные десятилетия широкое распространение получили общие линейные краевые задачи сопряжения аналитических функций, центральное место среди которых занимает задача: (А0) = m реже в односвязной области в замкнутой форме впервые было найдено ф.Д.Гаховым в 1936 году, а для многосвязной Б. В. Хведелидзе в 1941 г. Затем последовало много различных обобщений, разработок и применений, особенно в школах Ф. Д. Гахова [53 и Н. Й. Мусхелишвили [183. Одним из таких направлений, начатых самим Ф. Д. Гаховым, является исследование особых (или сингулярных) случаев, когда для G (t) на контуре допускаются нули или полюсы целого порядка.
Общим методом исследования задачи типа (AQ), а также ряда других, является метод сингулярных интегральных уравнений, теория которых разработана втрудах H.И.Myсхелишвили ?183, й.Н.Векуа [33, Н. П. Векуа ?43 и др.
Далее стало ясным, что более общей линейной задачей сопряжения аналитических функций является задача: (A)
После постановки задачи (А) в статье А.й.Маркушевича за 1946 г. Н. П. Векуа 133 в 1952 г. привёл её к системе СИУ и получил теоремы типа Штера. Первые точные результаты для задачи (А) при условии |а (t)| > {Ъ (t)| и с (t)sQ для односвязной области были найдены Б. В. Боярским С13 в 1959 г.
Гораздо более полное исследование задачи (А) при. випол-нения неравенство Ja (t)j>{b (t)| (эллиптический случай) и при самых широких предположениях относительно коэффициентов: a 1 и при Ja (t)J s |b (t)| (параболический случай) -вообще первое исследование принадлежит Л.'Г. Михайлову [133 -им задача изучена для любой многосвязной области. И. X. Сабитов [203 исследовал задачу (А) на единичной окружности, без требования условия эллиптичности и параболичности, но требуя, чтобы коэффициенты a (t), b (t), c (t) удовлетворяли условию Гельдера и ait)? О, получил теорему о разрешимости.
Особые случаи задачи (А) при некоторых предположениях относительно коэффициентов рассматривались в работах Н.Н.Юха-нонова и Н.Усманова.
Что касается задач сопряжения для уравнений в частнщ производных, отличающихся от системы Коши-Ршана, то работ здесь гораздо меньше.
В замечательных работах И. Н. Векуа [2], разработан ряд методов исследования краевых задач типа Гильберта для систем уравнений в частных производных первого порядка и для уравнений второго порядка эллиптического типа.
В 1956 г. Л. Г. Михайловым была дана постановка и решение задачи (А0) в классе обобщенных аналитических функций, а затем в связи с этим и задачи (А), что позволило рассмотреть задачи сопряжения для некоторых тшов уравнений в частных производных второго порядка.
В монографии Л. Г. Михайлова ?133 дано обобщение краевой задачи (А) на случай, когда в краевом условии допускаются члены, содержащие производные, а также их комплексные сопряжения.
А именно, рассматриваются следующие краевые задачи сопряжения с производной от искомой функции для аналитических и гармонических фуншдай:
А1) 4 ЬШ-Ц-+ р (1-)ф~(1-) + q
А3) аки^ + + 7ки+ = УА +у + и + к=1″ 2где все а{г), Ь (г), с (г), р (г), д (г), ак, рк. заданные фуишк, точек контура.
Явное решение некоторых задач сопряжения аналитических, гармонических и обобщенных аналитических функций в особых случаях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Цель работы. В диссертации делается попытка исследования и поиска тех случаев задач (А1), (А^, (А^), когда решение может быть найдено в явном виде. тоды теории краевых задач сопряшния для аналитических, гарисследования. В работе использованы общие ме моничееких и обобщенных аналитических фрпатий.
Научная новизна. В круге единичного радиуса впервые найдено в явном виде решение общей задачи линейного сопряжения аналитических функций для некоторых частных случаеви в явном виде дано также решение одной задачи сопряжения гармонических функций. Путем сведения к задаче сопряжения аналитических фушсций впервые получены в явном виде решение одной задачи сопряжения гармонических функций, а также для некоторых особых случаев и для случая разрывных коэффициентов. Для указанных некоторых случаев краевой задачи сопряжения гармонических функций в полуплоскости получено решение в квадратурах.
Для одной задачи сопряжения аналитических функций с производной и с сингулярностью в краевом условии получена формула точного решения.
Для одного случая обобщенной системы Коши-Римана получено решение задачи сопряжения (типа задачи (А0)) в особом случае.
Практическая и теоретическая значимость. Полуденные в работе результаты могут быть использованы при исследовании краевых задач теории функций (аналитических, гармонических и обобщенных аналитических), а также интегральных уравненийИз математической физики, гидродинамики, теории упругости, геофизики и т. п. известно, что аналитические функции — и тем более гармонические имеют многочисленные применения. В этом плане особую важность имеет задача (А).
Апробация работы. Материалы диссертации неоднократно обсуждались на семинаре кафедры математического анализа Таджикского государственного педуниверситета им. К. Ш. Джураева (1995;1999 гг.), научной конференции «Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения» (Курган-тю-бинский госуниверситет им. Н. Хусрава, 18−20 ноября 1997 г.), на постоянно действующем научном семинаре отдела уравнений математической физики Института математики АН Республики Таджикистан, возглавляемом академиком Л-Г.Михайлощм (октябрьноябрь 1998 г.), на совместном семинаре кафедр математического анализа и теории функций, дифференциальных уравнений и функционального анализа и высшей математики Таджикского. государственного национального университета (апрель 1999 г.), на научном семинаре кафедры высшей математики Института Предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан под ру~. • -. ./. .. V,. .. :. •,. ководством профессоров М. Мсматова и Ф. Комилова (апрель 1999г).
Публикации. По теме диссертации опубликованы пять научных статьей.
Личный вклад. Основные результаты включенные в диссертацию, получены соискателем самостоятельно, а постановка задач и некоторые идеи доказательств принадлежат научным, руко-. водителям.
На защиту выносятся.
1) явное решение общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в круге единичного радиуса, когда один из коэффициентов имеет полюс, и в явном виде дано. ческихфункщй* 2) явнные-решениязадачи сопряжения гармошческих функций одной задачи сопряжения гармонисведенные к задаче сопряжения аналитических функций в особом случае и с разрывными коэффициентами;
3) явная формула для решении краевой задачи сопряжения ,. мозаических функций в полуплоскости;
4) формула, для точного решения одной задачи сопряжения аналитических функций с производной и с сингулщюсз’ьюх.
5) точные результаты для задачи сопряжения ашалщщ&тщ. А функций, когда коэффициенты задачи имеют, особенности. различных типов;
6) решение задачи сопряжения (типа задачи, (А0)) в особом случае для одной неоднородной обобщенной, системы. Коши-Римана.
Объём и структура работы. Диссертационная работа изложена на 75 страницах машинописного текста, состоит из введения* шести параграфов, и списка цитированной литературы, включающего 42. наименований.
1. Боярский Б. В. — Об обобщенной граничной задаче Гильберта. — Сообш. АН Груз. СОР, 1960, т.25, $ 4. с. 385−390.
2. Векуа И. Н. ~ Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек. -Матем. сборник, 1952, т.31, Л 2(73), с. 217−314.
3. Веку, а И. Н. Обобщенные аналитические функции. — М., Наука, 1988, 510с.
4. Векуа Н.П.- Об одной задаче теории функций комплексного переменного. ДАН СССР, 1952, т.86,Л 3, с.457−460.
5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М., Физматгиз, 1977, 640 с.
6. Гахов Ф. Д. Особые случаи краевой задачи Римана для систем п пар функций. — Известия АН СССР, серия матем., 1952, т.16, М2, с.147−156.
7. Гахов Ф. Д., Смагина В. И. Исключительные случаи интегральных уравнений типа свертки и уравнения первого рода. — Известия АН СССР, серия матем., 1962, т.26,т.
8. Гахов Ф. Д. 0 нелинейной краевой задаче с допустимыми нулями на контуре. — ДАН СССР, 1973, т.210, №, с.1269−1272.
9. Журавлева М. И. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов первого рода её коэффициента. — ДАН СССР, 1973, т.210, М, с.15−17.
10. Журавлева М. И. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством нулей и полюсов её коэффициента. — ДАН СССР, 1974, т.214, 14, с.755−757.
11. Литвшчук Г. С., Нечаев А. П. К теории обобщенной краевой задачи Карлемана.-ДАН СССР, 1969, т.189,ЛИ, с.38−41.
12. Михайлов Л. Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка, эллиптического типа-и некоторые интегральные уравнения. — Ученые записки Тадж. госуниверситета., Сталинабад, 1957, т.10, с.32−78.
13. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравненийи его применение к «дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. -Мзд-во АН Тадж.- ССР, Душанбе, 1963, 184 с.
14. Михайлов Л. Г. Точные теоремы о разрешимости задач сопряжения с производными. -Сб. «Исследования по краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений». -Изд-во АН Тадж. ССР, Душанбе, 1964, с.7−26.
15. Михайлов Л. Г. 0 'задачах сопряжения гармонических функций.-Докл. АН Тадж. ССР, Душанбе, 1980, т.23, М 4, с.171−174.
16. Михайлов Л. Г. 0 задаче сопряжения решений уравнения в частных производных второго порядка на плоскости. -ДАН СССР, 1981, т.256, Ш, с.276−281.
17. Михайлов Л. Г., Усманов Н. Особые случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в честных производных. -Тезисы докладов Расширенных заседаний семинара института прикладной математики им И. Н. Векуа, Тбилиси, 1985, т.1, Я1, с.150−154.
18. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. -М., Наука, 1968, 511. с.
19. Муминов А. Отдельные краевые задачи сопряжения для аналитических, обобщенных аналитических, гармонических Функций и некоторые приближенные способы их решенияАвтореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Душанбе, 1994, 15 с.
20. Раджабов H.P. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. — чч. 1−4, Душанбе, 1981;1985.
21. Сабитов И. Х. Об одной краевой задачи сопряжения на окружности. — Сиб. матем. журн., 1964, т. 5, $ 1, с. 124 — 129.
22. Сабитов И. Х. Об одной краевой задачи линейного сопряжения. -Матем. сборник, 1964, т.64, Ш, с. 262−274.
23. Тузик A.M. -К решению особых интегральных уравнений с ядром Коши в исключительном случае, — Известия АН БССР, серия физ.-мат. наук, 1970, Ш, с. 125−127.
24. Тузик А. И Об индексе особых интегральных уравнений с ядром Коши в исключительном случае. — Вестник АН БССР, сер.физ.-мат. наук, 1972, Ш.
25. Усманов З. Д. Об одном классе обобщенных систем Коши — Рймана с сингулярной точкой. — Сиб. матем. журнал, 1973, Т. 14, *б, с. 1076 — 1087.
26. Усманов Н. Об одной краевой задачи теории аналитических функций с производной в краевом условии.- Докл. АН Тадж. ССР, 1968, т.11, Л9, с. 7−10.
27. Усманов Н. Особые случаи краевой задачи с производной на окружности. — Докл. АН Тадж. ССР, 1974, т.17, М 5, с. 12−15.
28. Усманов Н. Особые случаи краевой задачи сопряжения аналитических функций с производными. Докл. АН Тадж. ССР, 1974, т.17, Ш, с. 7−11.
29. Усманов Н. Особые случаи некоторых задач сопряжения аналитических функций. — Автореф. дисс. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Душанбе, 1975, 15 с.
30. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций. -Докл. АН Тадж. ССР, 1991, т.34, М, с. 216−220.
31. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения с поизводными второго порядка, а также сингулярные случаи для гармонических функций нв плоскости, -Докл. АН Тадж. ССР, А гм~ .<�•" «, гч? г*.УУЛ, ').',. A. K ДШ>~©-, О. Ü-Ö-'<-¿-Чк).
32. Усманов Н. 0 задачах сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами.-Докл.АН Тадж. ССР, 1996, т.39,J89−10, с.69−74.
33. Усманов Н., Норов К. Особые случаи краевой задачи Римана для систем уравнений’эллиптического типа.Сборы. «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения», Душанбе, вып. 4, 1996, с.96−102.
34. Усманов П., Норов К. Об одной задаче сопряжения гармонических функций с разрывными коэффициентами.-Сборн. «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения», Душанбе, вып. 5, 1997, с.114−118.
35. Усманов Н., Норов К. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с сингулярным граничным условиям Вестник педуниверситета, серия естеств. наук, Душанбе, 1397, J&10, с. 2−6.
36. Норов К. Особые случаи краевой задачи типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа.- Сб. «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения», Душанбе, вып. 7, 1998, с.36−39.
37. Норов К. 0 случаях явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения аналитических функций" - Вестник педуниверситета, .серия естеств. наук, Душанбе, 1999, U1, с. 43−46.
38. Хведелидзе В. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций с сингулярными интегральными уравнениями и некоторые их приложения. — Труды Тбилисского Математич. института АН Грузин. ССР, 1956, т.23, с.3−158.
39. Чибрикова Л. И. К решению задачи Римана в особых случаях. -Известия ВУЗов, математика, 1971, т. 35, ЛЗ,.
40. Чибрикова Л. И. К решению задачи Римана в особых случаях. -Известия ВУЗов, математика, 1972, т. 36, 12,.
41. Юханонов H.H. Точные теоремы о разрешимости некоторых краевых задач теории аналитических функций и особых интегральных уравнений.-Автореф. диес. на соискание уч. степ. канд. физ.-мат. наук, .Душанбе, 1967, 15 с.
42. Юханонов H.H. Об общей краевой задаче с производными для круга. — Сб. «Диф. и инт. уравнения с сингулярными коэффициентами», Душанбе, 1969, с. 103−113.