Экономичная трехмерная методика расчета критических параметров активной зоны быстрого реактора с естественной безопасностью

Математическое моделирование сложных устройств и явлений в настоящее время стало одним из мощных методов исследования. Оно не сводится к решению численными методами заранее сформулированной математической задачи. Важную роль играет нахождение математической модели, позволяющей качественно правильно с небольшой количественной погрешностью найти изучаемые физические величины. При построении такой модели нужно выделить подлежащие учету процессы и найти соответствующие коэффициенты.

Выбор модели всегда связан с пренебрежением рядом физических процессов и должен определяться с учетом целевой функции исследованияискомых физических величин. Изменение целевой функции ведет к изменению модели.

В такой постановке математическое моделирование является некорректной задачей. Ее решение требует создания новых методов. В настоящее время для ее решения применяются совместные математические и экспериментальные исследования.

Широкий класс физических явлений и устройств может быть изучен с помощью моделей, основанных на приближении многокомпонентной сплошной среды с неравновесным переносом. Во многих задачах математической физики, таких как математическое моделирование процессов, протекающих в звездах, в задачах управляемого термоядерного синтеза, при моделировании распространения излучения в атмосфере и многих других возникает необходимость численного решения многомерного уравнения переноса излучения. При проектировании активных зон реакторов и при расчетах защиты реакторов, а также систем управления, встает задача нахождения решения уравнения переноса нейтронов, во многом родственного уравнению переноса излучения [1−3]. Уравнение переноса является линейным интегро-дифференциальным уравнением первого порядка относительно функции распределения частиц (фотонов или нейтронов). Эти два типа уравнений переноса отличаются структурой правой части, отвечающей за источники возникновения частиц. Соответственно, могут отличаться и постановки задач для переноса излучения и нейтронов: если для переноса излучения ставится начально-краевая задача, то в задачах переноса нейтронов помимо начально-краевой задачи возможна постановка задачи на нахождение собственных значений (например, задача расчета критических параметров реактора или защитных экранов). Однако многие проблемы решения для обеих разновидностей уравнения переноса являются общими.

Учет переноса частиц приводит к увеличению размерности задачи (функция распределения частиц зависит от всех компонент фазового-пространства, времени и энергии) и числа коэффициентов. Учет процессов кинетики в задачах расчета атомных реакторов также приводит к увеличению числа коэффициентов. Сечения взаимодействия частиц и компонент среды, определяющие эти коэффициенты, изменяются в широких пределах в зависимости от энергии частиц и состояния среды. Точное определение всех сечений, а также точный учет известных сечений в рассматриваемых задачах пока нереальны.

Существенную роль в минимизации модели играет понижение размерности задачи. Так, например, замена уравнения переноса одногрупповым диффузионным уравнением приводит задачу к размерности задач газодинамики. Однако требование корректности модели затрудняет использование априорных приближений.

Первые численные методы решения уравнения переноса были созданы в ходе работы над советским и американским атомными проектами и касались, главным образом, решения уравнения переноса в одномерной сферической геометрии. Практически это был первый опыт численного решения уравнений в частных производных. Первые предложенные методы интегрирования уравнения переноса можно разделить на два больших класса: это методы, которые в дальнейшем стали называться методами Карлсона (в советском атомном проекте аналогом этого метода был КН метод В.Я.Гольдина) [4−6] и характеристические методы, самым знаменитым из которых является метод Владимирова [7−9]. Если в ?" методах производится разностная аппроксимация непосредственно уравнения в частных производных, то характеристические методы базируются на сведении уравнения переноса к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) вдоль некоторого набора характеристик или на представлении уравнения переноса в интегральной форме. Соответственно достоинства и недостатки у каждого из этих классов методов свои. К достоинствам метода нужно отнести консервативность (если разностной аппроксимация строилась для уравнения, записанного в дивергентной форме), возможность включения в расчет учета других физических процессов, легко достижимую аппроксимацию второго порядка точности. К его недостаткам следует отнести следующую из второго порядка аппроксимации по теореме Годунова.

10] теоретическую и практическую немонотонность метода [11], а во многих практически важных случаях и неположительность схемы. В свою очередь, методы характеристик тоже можно разделить на два больших подкласса: метод длинных характеристик и метод коротких характеристик. Метод длинных характеристик может обеспечить практически любую точность решения при использовании, во-первых, соответствующего метода решения ОДУ (на текущий момент существует огромное множество методов высокого порядка аппроксимации) и, во-вторых, тщательно подобранного набора характеристических направлений [12]. Метод Владимирова является примером блестящего сочетания метода длинных характеристик и относительной экономичности метода, достижимой в одномерных сферической и цилиндрической геометриях [7−8]. Однако в более сложных геометриях метод длинных характеристик, для которого решение в заданной точке пространства получается численным интегрированием ОДУ по всей длине характеристики, начиная от границы, является слишком затратным, поскольку в общей постановке множества характеристик для различных узлов не пересекаются. Это означает, что для каждого узла сетки нужно интегрировать уравнение переноса вдоль характеристики через всю сложную расчетную область, начиная от границы. Такие затраты расчетного времени себя не оправдывают. Кроме того, метод характеристик без дополнительных условий не обеспечивает консервативности, а неудачный выбор характеристических направлений может приводить к так называемому «эффекту луча» [13], при котором среди выбранных направлений в данной точке может отсутствовать направление «на источник», обеспечивающий главную часть, например, плотности частиц. Угловая неоднородность решения в заданной точке является неотъемлемым свойством решения уравнения переноса при пространственной неоднородности распределения источников. «Эффект луча» оказывается особенно неприятным при расчете потоков в удаленных от источника неоднородностях, что приводит к сильной чувствительности методов характеристик к выбору угловой сетки. В методах коротких характеристик решение в заданном узле разностной сетки ищется интегрированием не от границы всей расчетной области, а интегрированием вдоль отрезка характеристики, приходящей в узел с освещенной грани расчетной ячейки, т. е. только вдоль части характеристики, лежащей внутри заданной ячейки. Этот метод сталкивается с необходимостью многократных интерполяций на освещенных гранях для получения значения в точке входа характеристики, что ухудшает качество получаемого численного решения по сравнению с методом длинных характеристик. Также может возникнуть необходимость в сложных алгоритмах обхода расчетной области.

Примерно одновременно с ?" методом и методом характеристик был предложен метод прямого интегрирования Рихтмайера [14]. Несколько позже для случая сферической геометрии был предложен метод характеристических трубок В. Е. Трощиева. Он объединяет достоинства S" и характеристического методов, положителен и монотонен, имеет второй порядок точности и консервативен, однако тяжело распространяемый на случай учета других физических процессов и многомерных геометрий [15]. Тогда же был предложен дискретный S" метод (DSn метод) [5]. Этот метод в отличие от метода характеристических трубок легко обобщается на многомерные геометрии, но немонотонен.

Простота реализации S" метода в многомерных геометриях, второй порядок аппроксимации и консервативность сделали S" метод весьма привлекательным в глазах многих поколений вычислителей [16−18].

Следующим классом предложенных схем повышенного порядка аппроксимации для решения уравнения переноса стали моментная. Diamond Difference (DD) схема, использующая только основное уравнение баланса, и родственные ей нодальные схемы, увеличивающие порядок аппроксимации с увеличением числа используемых уравнений баланса [19].

Варьируя форму дополнительных соотношений DD схемы, удается улучшить качество сеточного решения, не отказываясь от второго порядка аппроксимации. При этом прибегают, например, к разбиению ячейки на части отрезками характеристик исходного уравнения [20] или отрезками, параллельными граням ячейки [21], к аппроксимации уравнения в интегральной форме [22]. Аналогичным образом удается улучшить качество нодальных схем с большим числом моментов. Однако эти улучшенные схемы не являются безусловно положительными и монотонными. Решение, полученное из неположительной схемы, может содержать отрицательные скалярные потоки, и сгущение сеток все равно может приводить к появлению у решения нефизических осцилляций большой амплитуды. Метод, соединяющий характеристический подход с сохранением консервативности, предложен в [23].

Во всех методах такого типа встает задача распределения выходящего потока по граням ячейки. Некорректность распределения потоков по граням ячейки приводит к большим ошибкам при расчете сингулярных решений (например, в задачах с сильно гетерогенными средами или сосредоточенными источниками).

Чтобы соединить в рамках единой сеточной схемы высокий порядок аппроксимации и свойства положительности и монотонности, переходят к нелинейным схемам, т. е. взвешенным схемам с весовыми параметрами, зависящими от сеточного решения. Первоначально расчет ячейки выполняется со значениями параметров, отвечающих наибольшему из возможных порядков аппроксимации. Если полученное решение не удовлетворяет условию положительности и/или монотонности, проводится коррекция сеточного решения: ячейка пересчитывается со значениями параметров, гарантирующих полное или частичное выполнение рассматриваемых условий. При коррекции порядок схемы снижается. Наиболее известными из нелинейных схем являются взвешенная алмазная схема \fDD [24], адаптивные А¥-00 [17,25], адаптивные нодальные схемы [26].

Расчет по нелинейным схемам тоже может вызывать ряд вычислительных неприятностей. Во-первых, в ситуации жесткой коррекции, когда параметры схемы меняются скачком, может приводить к отсутствию сходимости итераций по столкновениям из-за цикличности изменения решения на соседних итерациях. Однако даже в ситуации мягкой коррекции, когда параметры меняются плавно, сходимость в некоторых случаях ухудшается. Во-вторых, для схем высокого порядка аппроксимации условие положительности/монотонности может нарушаться в каждой ячейке, что влечет за собой либо ограничение области коррекции, и, следовательно, не полную монотонность, либо снижение порядка аппроксимации во всей области решения. В-третьих, в положительных и частично монотонных нелинейных схемах (например, AWDD) необходимость проведения коррекции и выбор ее параметров определяются априори заданными параметрами монотонизации. При этом сеточные решения с различными значениями параметров монотонизации при сгущении пространственной и угловой сеток могут сходиться к различным предельным функциям. И, наконец, в сильно гетерогенных областях с сильно меняющимся точным решением задачи коррекция может заметно исказить результат. Эти обстоятельства требуют тщательного подбора параметров коррекции, которые устанавливаются, как правило, эмпирическим путем. При этом информация о поведении решения, определяющая необходимость проведения коррекции и параметры коррекции, получается с помощью неположительной и немонотонной схемы, способной исказить решение качественно.

Еще один класс монотонных нелинейных методов высокого порядка точности носит название TVD схем (Total Variation Diminish) [27,28], основанных на введение ограничений на потоки. Другой подход к построению нелинейных схем высокого порядка аппроксимации с подсеточным разрешением разрывов предложен в [29]. Этот метод использует плавающий шаблон, что позволяет определить возможное положение разрыва решения внутри ячейки. Эти методы наиболее полно применяются для конструирования схем газовой динамики.

Все, что было сказано выше, относится к разностной аппроксимации дифференциального оператора в уравнении переноса. Исследование порядка аппроксимации уравнения переноса производится в предположении непрерывности и ограниченности частных производных функции распределения вплоть до некоторой степени я, отвечающей порядку главного члена погрешности аппроксимации. Однако решение задач для уравнения переноса, как правило, имеет особенности на внешних граничных поверхностях, в окрестности сосредоточенных источников, на характеристиках, касательных к поверхностям разрыва параметров среды. Это означает, что вблизи особенностей решение сингулярное, т. е. обладает большими по величине градиентами, или является недифференцируемым, или даже разрывным. Согласно Р. М. Шагалиеву [30], это приводит к тому, что в расчетах реальных гетерогенных задач порядок сходимости, оцениваемый по ошибке решения при сгущении сеток, в три раза меньше декларируемого порядка аппроксимации (в предположении гладкости функции и ее производных порядок сходимости и порядок аппроксимации для устойчивых разностных схем обязаны совпадать): для схем третьего порядка аппроксимации имеет место сходимость первого порядка, для схем второго порядка — сходимость порядка 0.7−0.6, а для схем первого — 0.3. При таком анализе становится ясно, что схемы первого порядка аппроксимации являются совершенно неудовлетворительными по порядку сходимости.

Для надежности проводимых расчетов необходимо использовать схему, не только обеспечивающую хорошую аппроксимацию в каждой ячейке, но и правильно передающую важные качественные свойства точного решения:

• положительность (неотрицательность решения при неотрицательных источниках и индикатрисе рассеяния);

• монотонность (сохранение в сеточном решении числа и расположения экстремумов точного решения);

• корректность распределения потоков по граням ячейки, т. е. консервативность схемы.

Трудности решения уравнения переноса не исчерпываются только разностной аппроксимацией уравнения в частных производных. В общем случае функция распределения частиц зависит от семи переменных: трех пространственных, двух угловых, энергии и времени. Развитие современных суперкомпьютеров и вычислительных кластеров позволяет во многом разрешить проблему ограничения по требуемой памяти для задач со многими измерениями. Однако многомерные динамические расчеты в многогрупповом приближении, обеспечивающем необходимую точность, даже сейчас возможны в единичных случаях на многопроцессорных вычислительных системах. Эффективные параллельные алгоритмы решения задач переноса разрабатываются во ВНИИЭФ и в ИПМ РАН им. М. В. Келдыша [31−33]. Предлагаемые в этих работах алгоритмы основываются на распараллеливании задачи по пространственным областям и/или распараллеливании конвейерного типа, когда несколько сегментов вычислительной системы выполняют каждый свои действия в последовательной вычислительной структуре. Поскольку при любом из этих двух методов распараллеливания обмены данными между сегментами вычислительной системы достаточно существенны, то обычно используют архитектуру MPI.

Спектральное описание решения задач переноса нейтронов (и переноса излучения) также представляет значительные трудности. Связаны они с двумя факторами. Общим местом уже является сложная зависимость коэффициентов уравнения переноса от энергии частиц. Эта сложная зависимость коэффициентов поглощения и других, входящих в уравнение, включающих как непрерывный, так и линейчатый спектры, приводит к необходимости либо использовать чрезвычайно подробную сетку по энергии (не менее 10 точек на каждую линию), либо применять некоторые приближения для описания и расчета задачи. На этом этапе введение иерархии вычислительных моделей является наиболее оправданным. Например, в наиболее точных методах 'line-by-line' при учете всех линий поглощения атмосферными газами в задаче теплового баланса атмосферы Земли получается система уравнений переноса, содержащая порядка нескольких миллионов энергетических точек. Если учесть необходимую пространственную и угловую дискретизацию задачи, то такой расчет даже для одномерной пространственной геометрии становится возможен в единичных случаях, особенно при наличии рассеяния. Более простой моделью спектрального представления задачи является многогрупповое приближение, при введении которого используется эффективное усреднение по отрезкам частот, соответствующим некоторому разбиению энергетической шкалы. Строгое введение групповых коэффициентов поглощения возможно в ограниченном числе случаев: для оптически тонкого тела, для непрерывного спектра, для излучения, близкого к локальному термодинамическому равновесию. Тем не менее, практика расчетов показывает, что для большого числа задач может быть использовано многогрупповое приближение при соответствующем выборе весовой функции. Аналогичная проблема усреднения возникает при расчете групповых микроконстант, требующихся1 для реакторных задач, т.к. при различных взаимодействиях нейтронов с ядрами также возникают резонансные области с изменением величины микросечений этих реакций на несколько порядков вблизи резонанса [1]. Выстраивание правильной иерархии моделей и правильный выбор модели для конкретной задачи также является предметом математического моделирования.

Еще одна проблема возникает в задачах с рассеянием: при наличии сильной анизотропии рассеяния и, что для нас более существенно, в реакторных задачах, при нахождении собственного значения. Достаточно хороший обзор большинства существующих методов ускорения численного решения в области итераций по правой части уравнения переноса присутствует в [34]. Там подробно разобрано развитие методов, присутствующих, как в отечественной, так и в зарубежной литературе. Основой всех этих методов является метод итераций источника (81). Среди используемых в современной литературе методов ускорения итераций источника, применительно к реакторным задачам, следует отметить метод пространственного ребаланса [35], заключающийся в нормализации решения на каждой итерации путем введения мультипликативных поправок для нулевого углового момента решения, чтобы удовлетворить уравнению нейтронного баланса в некоторой области (ячейка сетки или объединение ячеек) — КР-методы [36] или «синтетические методы» (SA), среди которых наиболее распространены DSA (diffusion) и P|SA, заключающиеся в разбиении итерации на два шага, причем на втором шаге считается поправка к решению первого шага из уравнения с оператором в левой части более простого вида (например, диффузионным) — метод квазидиффузии [37,38], который выбран за основу в данной работе и будет описан ниже, и различные моментные методыа также многосеточные методы.

И, наконец, последняя проблема заключается в том, что обычно уравнение переноса должно решаться не само по себе, а в совокупности с дополнительными уравнениями, например, уравнениями газовой динамики для переноса света, или с уравнениями выгорания и реакторной кинетики для расчета активных зон ядерных реакторов. Как правило, взаимодействие различных компонентов решения такой объединенной системы приводит к нелинейности задачи, что необходимо учитывать при разработке алгоритмов численного решения.

В предлагаемой работе основой численного решения задач переноса нейтронов является метод квазидиффузии, предложенный В. Я. Гольдиным в 1964 году [37,38]. Он также относится к классу нелинейных методов решения уравнения переноса, но не к классу методов коррекции скалярного потока. Метод квазидиффузии заключается в постепенном понижении размерности задачи введением ряда дробно-линейных функционалов, слабо зависящих от решения. Понижение размерности задачи проходит в два этапа. На первом этапе происходит усреднение уравнения переноса по угловым переменным, в результате которого получается многогрупповая система уравнений квазидиффузии. На втором — усреднение по энергии, что приводит к эффективной одногрупповой системе уравнений квазидиффузии для скалярного и векторного потока (излучения или частиц), которая уже может быть объединена с уравнениями, описывающими другие физические процессы, происходящие в системе. При внешнем усложнении подхода метод квазидиффузии позволяет разрешить ряд трудностей. Во-первых, метод квазидиффузии нелинеен, так как вводит дробно-линейные функционалы для вычисления компонент тензора квазидиффузии, замыкающих систему уравнений меньшей размерности. Во-вторых, уравнения квазидиффузии выражают собой законы сохранения, поэтому консервативность получается автоматически. В-третьих, при умеренной анизотропии рассеяния метод квазидиффузии позволяет выразить главную часть интеграларассеяния внутри группы через групповые скалярный и векторный потоки, которые вычисляются самостоятельно из системы уравнений квазидиффузии, что обеспечивает быструю сходимость итераций по рассеянию. Также быструю сходимость итераций по рассеянию и делению обеспечивает переноса некоторых членов и правой части (источник) налево. В-четвертых, введение интегральных по энергии уравнений квазидиффузии позволяет эффективно объединять эту систему с уравнениями выгорания и реакторной кинетики. Для задачи на нахождение собственных, значений и/или критических параметров, активной зоны реактора значительно сокращается общее число итераций. Схематично структура метода квазидиффузии приведена на рис. 1.

Работы группы под руководством В. Я. Гольдина и их коллег [39−41] развивали метод квазидиффузии в одномерной и двумерной геометриях. Работа по исследованию устойчивости квазидиффузионного метода и по созданию методик решения двумерного уравнения переноса в методе квазидиффузии ведется параллельно в США [42,43]. Как в отечественных, так и в зарубежных работах было показано, что при слабой анизотропии рассеяния метод квазидиффузии быстро сходится. В англоязычной литературе, как многогрупповые уравнения квазидиффузии, так и эффективная одногрупповая" система уравнений квазидиффузии называются решения полученных разностных уравнений и способов ускорения сходимости итераций. Проводится сопоставление численных решений с точными решениями, там, где они существуют, исследуется сеточная сходимость, а также проводится сравнение результатов математического моделирования с результатами, полученными для задач меньшей размерности.

Первая глава посвящена описанию физических аспектов саморегулируемых нейтронно-ядерных режимов в быстрых реакторах и характеристик безопасности таких режимов. Разобрана математическая модель многогруппового уравнения переноса и рассмотрена постановка задачи для моделирования активной зоны быстрого реактора в саморегулируемом нейтронно-ядерном режиме.

Во второй главе приведено построение консервативной модификации характеристической схемы решения уравнения переноса в собственных характеристических переменных. Изначально этот метод создавался для двумерной цилиндрической г-г геометрии. Здесь он показал высокую эффективность по сравнению с характеристическим. Помимо свойств консервативности схема этого метода стабильно дает второй порядок аппроксимации. Сравнение свойств исходного характеристического метода и его консервативной модификации проводилось на задачах, имеющих точное решение.

В третьей главе описано построение сетки для решения уравнения переноса в трехмерной х-у-г геометрии, основанной на геометрии реакторной сборки, и алгоритм нахождения его решения. Особенности геометрии трехмерной задачи позволили перенести сюда консервативно-характеристический метод за счет жесткой связи пространственной и угловой сеток. При этом не возникает необходимости переинтерполирования решения. При построении угловой сетки использованы особенности пространственной геометрии активной зоны быстрого реактора. Здесь же описан процесс получения компонент тензора квазидиффузии.

Четвертая глава посвящена вопросам построения схемы для систем уравнений квазидиффузии, как многогрупповых, так и усредненной одногрупповой. Для удобства работы в гексагональной геометрии горизонтального сечения ячеек произведен переход к локальным для узла сетки координатам. Построение разностной схемы проводится интегро-интерполяционным методом, чтобы в окончательной системе уравнений остался только скалярный поток нейтронов. В итоге получается система линейных уравнений относительно скалярного потока в узлах сетки, для решения которой применяется метод последовательной верхней релаксации.

В пятой главе на основании предложенных подходов к решению многогруппового уравнения переноса нейтронов в трехмерной геометрии" рассмотрена задача численного нахождения критических параметров активной зоны быстрого реактора, способного работать в саморегулируемом, нейтронно-ядерном режиме. Для поиска критических параметров построена система вложенных итерационных процессов, включающих помимо итераций метода квазидиффузии, внешние итерации нахождения собственного значения. Расчет производился для стандартного 26-группового приближения по энергии нейтронов с учетом 44 нуклидов. Приведено сравнение полученных ранее результатов расчета критических параметров в двумерной геометрии с результатами, полученными в данной работе для трехмерной геометрии. Результаты моделирования стационарного состояния представлены в виде диаграмм пространственного распределения скалярного потока нейтронов для плоских двумерных сечений реакторной сборки.

Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [44−50], были представлены и обсуждались на Всероссийских и Международных конференциях, семинарах института: • 48-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2005, Москва;

• XIII Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», январь 2006, Дубна;

• 49-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2006, Москва;

• The 20th International Conference on Transport Theory, July 2007, Obninsk, Russia;

• XV Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», январь 2008, Дубна;

• 52-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2009, Москва;

• 53-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2010, Москва;

• XVIII Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», январь 2011, Пущино;

• Семинары кафедры вычислительной математики Московского физико-технического института, научные семинары ФУПМ, 2009;2011, Москва.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложена консервативная модификация характеристического метода численного решения двумерного стационарного уравнения переноса в ячейке с точным перераспределением выходящих потоков по граням.

2. Разработан алгоритм решения стационарного уравнения переноса для трехмерной гексагональной геометрии на основе метода коротких характеристик и предложенного консервативно-характеристического метода решения уравнения переноса в ячейке.

3. Интегро-интерполяционным методом построена схема для численного решения системы уравнений квазидиффузиирешение полученной системы разностных уравнений ищется методом последовательной верхней релаксации.

4. На основе математической модели многогруппового уравнения переноса с квазидиффузией создана программа для расчета критических параметров сборки активной зоны реактора типа БН-800, способного работать в саморегулируемом нейтронно-ядерном режимес ее помощью получены численные результаты для параметров критической сборки.

1. Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. — М.: Изд-во Иностранной литературы, 1961. — 732 с.

2. Марчук Г. И. Численные методы расчета ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1958.-381 с.

3. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории уравнения переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1981. 454 с.

4. Голъдин В. Я. Методы расчета переноса нейтронов и горения в термоядерном изделии (1948;1960гг.) Международный симпозиум, Дубна, 14−17 мая 1996 г. В сб: «Наука и общество: история советского атомного проекта (49−50-е годы)», 1999. — Т.2. — С. 497−501.

5. Карлсон Б. Численное решение задач кинетической теории нейтронов. В сб.: «Теория ядерных реакторов». М.: Госатомиздат, 1963. — С. 243 258.

6. Карлсон Б. Г., Латроп КД. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: «Вычислительные методы в физике реакторов». / Под ред. X. Гринспена, К. Келбера, Д. Окрента. М.: Атомиздат, 1972. — С. 102 157.

7. Владимиров B.C. Численное решение кинетического уравнения для сферы // Вычислительная математика. 1958. — Т. З — С. 3−33.

8. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Тр. Матем. ин-та им. Стеклова АН СССР. 1961. -158 с.

9. Голъдин В. Я., Данилова Г. В., Калиткин H.H. Численное интегрирование многомерного уравнения переноса // В сб. «Численные методы решения задач математической физики». М., 1966.-С. 190−193.

10. Годунов С. К, Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). -М.: Наука, 1973.-440 с. распределенной памятью // Вопросы атомной науки и техники. Серия «Математическое моделирование физических процессов». 2000. -Вып. 1 — С. 21−26.

11. Adams M.L., Larsen Е. W. Fast iterative methods for discrete-ordinates particle transport calculations // Progress in Nuclear Energy. 2002. — V.40, Issue 1-P. 3−159.

12. Сычугова Е. П. Исследование устойчивости и эффективности метода пространственного ребаланса для ускорения сходимости итераций в задачах переноса частиц // Математическое моделирование. 2008. -Т.20, № 9 — С. 75−93.

13. Волощенко A.M. КР|-схема ускорения внутренних итераций для уравнения переноса в трехмерной геометрии, согласованная со взвешенной алмазной схемой // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. — Т.49, № 2 — С. 344−372.

14. Гольдин В. Я. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. — Т.4, № 6 — С. 10 781 087.

15. Гольдин В. Я. О математическом моделировании задач сплошной среды с неравновесным переносом // В сб. «Современные проблемы матем. физ. и вычисл. матем.» М.: Наука, 1982. — 340 с.

16. Голъдин В. Я., Данилова Г. В., Калиткин Н. Н. Численное интегрирование многомерного уравнения переноса // В сб. «Численные методы решения задач математической физики» М., 1966. — С. 190−193.

17. Голъдин В. Я., Голъдина Д. А., Колпаков А. В. О решении двумерной стационарной задачи квазидиффузии: Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша. М., 1982. — № 49 — 13 с.

18. Голъдин В. Я., Колпаков А. В. Нелинейный метод потоковой прогонки для решения многомерного диффузионного уравнения: Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша. М., 1982. — № 22 — 13 с.

19. Constantinescu A., Anistratov D.Y. Stability Analysis of the Quasidiffusion Method for ID Periodic Heterogeneous Problems // Trans. Am. Nucl. Soc. -2006.-V.95-P. 565−567.

20. Wieselquist W.A., Anistratov D.Yu. The Quasidiffusion Method forTransport Problems in 2D Cartesian Geometry on Grids Composed of Arbitrary Quadrilaterals // Trans. Am. Nucl. Soc. 2007. — V.97 — P. 475−478.

21. Аристова Е. Н., Байдин Д. Ф., Голъдин В. Я. Два варианта экономичного метода решения уравнения переноса в r-z геометрии на основе переходак переменным Владимирова // Математическое моделирование. 2006. — Т.18, № 7 — С. 43−52.

22. Baydin D.F., Aristova E.N., Gol’din V.Ya. Comparison of the efficiency of the transport equation calculation methods in characteristics variables // Transport Theory and Statistical Physics. 2008. — V.37, № 2 — P. 286−306.

23. Аристова Е. Н., Байдин Д. Ф. Экономичный метод решения уравнения переноса в 2D цилиндрической и 3D гексагональной геометриях для метода квазидиффузии // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. — Т. З, № 3 — С. 279−286.

24. Феоктистов Л. П. Анализ одной концепции физически безопасного реактора: Препринт / ИАЭ. M., 1988. — № 4605/4.

25. Феоктистов Л. П. Безопасность ключевой момент возрождения ядерной энергетики//Успехи физ. наук. — 1993. — Т. 163, № 8 — С. 89−102.

26. Голъдин В. Я., Анистратов Д. Ю. Реактор на быстрых нейтронах в саморегулируемом нейтронно-ядерном режиме // Мат. моделирование -1995. -Т.7, № 10 С. 12−32.

27. Гольдин В. Я., Пестрякова Г. А., Трощиев Ю. В. Усовершенствование математической модели саморегулируемого реактора // Мат. моделирование. 2002. — Т. 14, № 12 — с. 39−47.

28. Гольдин В. Я., Трощиев Ю. В. Управление мощностью быстрого реактора в саморегулируемом режиме и его пуск // Атомная энергия. 2005. -Т.98, вып.1 — С. 18−24.

29. Гольдин В. Я., Пестрякова Г. А., Трощиев Ю. В., Аристова E.H. Быстрый реактор на оксидном уран-плутониевом топливе в саморегулируемом режиме // Атомная энергия. 2003. — Т.94, вып. З — С. 184−190.

30. Гольдин В. Я., Пестрякова Г. А., Трощиев Ю. В., Аристова E.H. Саморегулируемый нейтронно-ядерный режим в реакторе с жестким спектром и карбидным топливом // Математическое моделирование. -2002. Т. 14, № 1 — С. 27−40.

31. Гольдин В. Я., Аристова E.H., Пестрякова Г. А., Стойнов М. И. Проект активной зоны реактора типа БН-800, работающего без запаса реактивности с минимальным управлением в течение длительного времени // Мат. моделирование. 2009. — Т.21, № 10 — С. 76−84.

32. Николаев М. Н., Цибуля A.M., Цикунов А. Г. и др. Комплекс программ CONSYST/ABBN подготовка констант БНАБ к расчетам реакторов и защиты: Отчет ГНЦ РФ ФЭИ. — 1998. — № 9865.

33. Четверушкин Б. Н. Построение тестов и некоторые вопросы численного решения уравнения переноса нейтронов // В сб.: Вычислительные методы в теории переноса под. ред. Г. И. Марчука. М.: Атомиздат, 1969. — С. 189−201.

34. Калиткин H.H., Кузьмина JI.B. Об естественных интерполяционных сплайнах // Мат. моделирование. 1994. — Т.6, № 4 — С. 77−1 10.

35. Бакирова М. И., Карпов В. Я., Мухина М. И. Характеристико-интерполяционный метод решения уравнения переноса // Дифференциальные уравнения. 1986. -Т.22, № 7 — С. 1141−1148.