Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов

Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для вырождающихся уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории электронного рассеивания и других областях.

Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф. И. Франкля, К. И. Бабенко, А. В. Бицадзе, Т. Д. Джураева, В.Ф. Волко-давова, С. П. Пулькина, М. М. Смирнова, М. С. Салахитдинова, В. И. Жегалова,.

A.M. Нахушева, Е. И. Моисеева, К. Б. Сабитова, А. П. Солдатова и других математиков.

Существенное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи ввиду их теоретической и прикладной значимости. Для различных классов уравнений нелокальные задачи рассматривались А. А. Самарским и А. В. Бицадзе [7], А. В. Бицадзе [8],.

B.А. Ильиным и Е. И. Моисеевым [17, 18], А. А. Дезиным [12], A.M. Нахуше-вым [30, 32], АЛ. Скубачевским [52], О. А. Репиным и М. Е. Лернером [24] -[27], О. А. Репиным [40], А. И. Кожановым [21, 22], JI.C. Пулькиной [35] - [38],.

Е.И. Моисеевым [28, 29], Н. И. Ионкиным [19, 20] и другими авторами.

В трансзвуковой газовой динамике Ф. И. Франкль [67] для уравнения Чаплыгина.

К (у)ихх + иуу = 0, где if (0) = 0, К'(у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия («скачка уплотнения») и (0,у) — и (0,—у) = f (y), 0 < У < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции и{х, у).

В работе [24] М. Е. Лернера, О. А. Репина для эллиптического уравнения.

Утихх + иуу = 0, т> -1, в полуполосе D = {(х, у) 0 < х < 1, у > 0} исследована задача с одним нелокальным условием и (0,у) — и (1,у) = 0 и локальными граничными данными: аДО, у) = ip2(у), у > 0 и и (х, 0) = т (х), 0 < х < 1, lim и (х, у) = 0, у->+оо.

О < х < 1. Методом экстремума доказана единственность решения поставленной задачи, а разрешимость установлена с помощью метода разделения переменных, преобразования Фурье и теории специальных функций. Аналогичные результаты получены в работе [25] для уравнения.

2 р ихх + ичч Н—uvb2u = 0, р£ R, b > о, У в полуполосе D при <�р{у) = 0, <^2(у) = 0.

Е.И.Моисеев в [28] исследовал в полуполосе D аналогичную нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения: утихх + иуу = 0, т > -2, 0 < х < 1, у > 0, и (0, у) = и (1,у), их (0,у) = 0, у > 0, и (х, 0) = f (x), 0 < х < 1, в классе функций и G C (D)f]C2(D), в предположении, что и (х, у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.

М.Е. Лернером, О. А. Репиным в работах [26, 27] для уравнения смешанного типа sgn у ¦ утихх + иуу — 0, т> О, в области, где эллиптическая часть является полу полосой D, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и (0,у) — и (1,у) = (р (у), их (0,у) — их (1,у) = (f2(у), у > 0. Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование — методами интегральных преобразований и уравнений.

Нахушев A.M. [31] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области.

В работах Сабитова К. Б. [42, 43, 48] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа sgn t • tmuxx + utt — 62sgn t • tmu = 0, m > 0, b > 0, в прямоугольной области и в полуполосе. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и существование решения задачи Дирихле.

В данной работе предложенный в работах Е. И. Моисеева, К. Б. Сабитова спектральный метод применен для решения краевых задач с двумя нелокальными условиями для вырождающихся уравнений различных типов.

Целью работы является доказательство единственности и существования решений краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа.

Lu = K (t)uxx + utt ~ b2K (t)u = 0, (0.1) где K (t) = sgn t • tm, m = const > 0, b — const > 0, в прямоугольной области D = {(x, t)| 0 < x < 1 ,—a < t < /?}, a, {3 > 0, с двумя нелокальными условиями u (0, t) = u (1, t), ux{ 0, t) = ux{ 1, t), -a.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 для вырождающегося уравнения гиперболического типа методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений задач с двумя нелокальными условиями в сочетании с различными граничными данными.

Для вырождающегося уравнения гиперболического типа.

Lu = {-t)muxx — utt — b2(—t)mu = 0, (0.2) где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D- = {(ж, 0 < х < 1, —а < t < 0}, а — заданное положительное число, поставлены и исследованы следующие нелокальные задачи.

ЗАДАЧА 1.1. Найти в области D функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям и{х, t) 6 C (DZ) П CDU {x = 0} U {x = 1}) П C2(?L) — (0.3).

Lu (x, t) = 0, (x, t) eD- (0.4) u{Q, t) = u (l, t), ux{0,t) = ux (l, t), -a.

U (X, 0) = T{X), 0 < x < 1] (0.6) ut (x, 0) = u (x), 0<ж<1, (0.7) где т и v — заданные достаточно гладкие функции, причем т (0) = т (1), r-(O) = /(1).

ЗАДАЧА 1.2. Найти в области Dфункцию u (x, t), удовлетворяющую условиям (0.3) — (0.6) и и (х,-а) = <�р (х), 0 < ж < 1, (0.8) где г и ср — заданные достаточно гладкие функции, причем т (0) = т (1), т'(0) = т'(1), <р (0) = <р (1), <р'(0) = ^'(1).

ЗАДАЧА 1.3. Найти в области функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям (0.3) — (0.5), (0.7) и щ (х, -а) = ф{х), 0 < ж < 1, (0.9) где v (x) и ф (х) — заданные достаточно гладкие функции.

ЗАДАЧА 1.4. Найти в области D функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям (0.3) — (0.5), (0.7) и (0.8), где ip и v — заданные достаточно гладкие функции, причем <р (0) = ^(1), <р'(0) = ф’Щ.

ЗАДАЧА 1.5. Найти в области D функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям (0.3) — (0.6) и (0.9), где тифзаданные достаточно гладкие функции, причем т (0) = т (1), т'(0) = т'(1).

Методом разделения переменных построено множество частных решений уравнения (0.2), удовлетворяющих нелокальным условиям (0.5). Решения уравнения (0.2) имеют вид: uk (x, t) = Xk (x)Tk (t), где.

Xk (x): 1, /2cos (27rb), у/2 sm (2wkx), k = 0,1,2,., (0.10) Tk (t) = JjL (pjfc (-t)') + dky/^Y±(pk{-t)"), (0.11).

2q 2 q.

Ck и dk — произвольные постоянные, Jv{z) и Y"(z) — функции Бесселя первого и второго рода соответственно.

Используя частные решения уравнения (0.2), построены решения всех поставленных задач в виде суммы ряда Фурье, например, решение задачи 1.1 построено в виде суммы ряда.

00 +00 u (x, t) = щ (£) + ^ Uk{t) cos (2irkx) + sm (2irkx), (0.12) k=1 k=1 где функции uk (t), vk{t) и uo (t) имеют вид.

Uk (t) = ^jyTk%V=iJlq (pk (-ty) — (0.13).

Vk (t) = о *, x Jk%V^iJi (pk{-ty) — Hy/ZiJifal-ty), (0.14).

2gsin (i) lk.

Я" Г-Гт / / аяч.

2?

— roTo^J-f (poH)') — b > 0- о (0 = { 2.

0.15) где 7A- =^ттт (^)2?, Рй = v^+T^Trfcp/g, q = (m + 2)/2, тк и — коэффи.

1 Щ 4 2 7 циенты разложения функций г (ж) и г/(:г) соответственно по системе (/2cos (27rft?)}^, то и vq по системе {1}, а, тк и щ — коэффициенты ряда Фурье функций т (х) и и (х) по системе Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 0.1. Если существует решение u (x, t) задачи (0.3) — (0.7), то оно единственно.

При доказательстве этого утверждения используется полнота системы функций Хк (х), к = 0,1,2,., в пространстве 0,1].

Утверждение 0.2. Пусть т (х) € С3[0,1], т (0) = r (l), г'(0) = т'(1), т" (0) = т" (1) — i/(a?) € C2+< 5 < 1, i/(0) = v (), i/(0) = i/'(l). Тогда существует решение задачи (0.3) — (0.7). Это решение определяется рядом (0.12).

Доказательство основывается на асимптотических оценках поведения функций Бесселя в нуле и на бесконечности и скорости убывания коэффициентов Ч, Щ, Ч, Vk по тригонометрической системе Хк (х).

Аналогично построено решение нелокальной задачи 1.2 с граничными условиями первого рода, обоснованы единственность и существование построенного решения. Результаты сформулированы в виде следующих утверждений.

Утверждение 0.3. Если существует решение u (x, t) задачи (0.3) — (0.6) и (0.8), то оно единственно только тогда, когда Д&(а) = Jj (pkaq) ф 0 при.

2 q всех к.

Если нарушено условие Д&(аг) ф 0 при некоторых к — I G N, то построены нетривиальные решения однородной задачи (0.3) — (0.6) и (0.8) (где т{х) = ср (х) = 0), которые имеют вид ui (x, t) = + C2cos (2tt/x) + C3sin (27r^)), где Ci — произвольные постоянные, i = 1,3.

Утверждение 0.4. Существуют, а и постоянная Со > 0 такие, что при больших к справедлива оценка inf|V^Afc (a)| >О)>0. (0.16) к.

При выполнении условий Ак (а) ф 0 и (0.16) решение задачи 1.2 определяется в виде суммы ряда (0.12), где y/=iJh (pk (-t)")^iAk (-t, a).

W) = 4>к-г-д, ,-+ Тк———г-:—(0.17) л/аАк (а) 2 q Ак (а).

Ak (-t, с) — Ух (р*а*) Jf (Pk (-ty)Vf (Р*"®-).

Zq 2q lq 2q.

Тк и ipk ~ коэффициенты разложения (функций т{х) и ср (х) по системе {/2cos (27rФункция U (j{t) в случае b > 0 определяется по формуле.

0.17) при к = 0, а в случае 6 = 0 имеет вид uo (t) = ———t + то, Vkit) задается по формуле (0.17) с заменой коэффициентов <рк и соответственно на Тк и (рк — коэффициенты ряда Фурье функций т{х) и ip (x) по системе {/2sin (27rb)}g?.

Если Afc (а) = 0 при некоторых, а и к = ni, n2,., nm, то задача (0.3) -(0.6) и (0.8) при выполнении условия (0.16) разрешима только тогда, когда выполнены условия.

2 q.

TklkV®Y±(pkaq) + —ifk = 0, к = nh п2,., nm, (0.18).

2</ 7 Г.

П1-Х 712−1 +00 i (M) = «ОЙ + (? + XI +•••+ ^) uk (t) соз{2пкх)+ и решение в этом случае определяется в виде суммы.

П1−1 712 — 1 +00 к=1 &=7ll + l fc=71m+l.

П1 —1 712 — 1 +00 (J2+? Л) и*Мвш (2тгЬ)+ (0.19) где в последней сумме I принимает значения n, n2,., nm, функции ui (x, t) определяются по формуле: пу/^УфН)9).

Ui (x, t) =.

2 q у/аУфю?) CirmV^tHt).

2 Я cos (2ttIx)+.

2? sin (27r Ix), где Ci — произвольные постоянные.

Утверждение 0.5. Пусть <�р (х), т (х) G С3[0,1] и у>(0) = <р (1), 0) = </(0) = ip" { 1), r (0) = т (1), т'(0) = /(1), т" (0) = т" (1). 7Ьг.

Если Ajfc (a) = 0 при некоторых, а и k = щ, П2,., пт, то задача (0.3) -(0.6) и (0.8) при условии (0.16) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.18) и решение определяется в виде суммы (0.19).

Аналогично построены решения задач 1.3 — 1.5 в виде суммы ряда, доказаны теоремы единственности и существования полученных решений. В случае.

6 = 0 решение задачи 1.3 определяется с точностью до постоянного слагае1 мого и возникает дополнительное необходимое-условие / у (х) — ф{х)'йх = 0. о.

Глава 2 посвящена изучению нелокальных задач для эллиптического уравнения.

Lu = tmuxx + utt — b2tmu = 0, (0.20) где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D+ = {(х, i)| 0 < х < 1,0 < t < (3}, (3 — заданное положительное число, и в полуполосе (/3 = +оо). Методом спектрального анализа получены решения нелокальных задач с различными граничными условиями.

Для уравнения (0.20) поставлены следующие нелокальные задачи. ЗАДАЧА 2.1. Найти в области D+ функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям u (x, t) Е С{Щ П С1^ и {х = 0} и {х = 1}) П C2{D+) — (0.21).

Lu{x, t) = 0, (x, t) eD+] (0.22) u (0,f) = u (l, t), ux{0,t) = ux (l, t), о < ж < 1- (0.24) u (x,(3)=i>{x), 0 < a? < 1, (0.25) где Lp и ф — заданные достаточно гладкие функции, причем (0) = (1), ф (0) = ф (1),<�р>(0)=<�р>(1), ф'(0) = <ф'(1).

ЗАДАЧА 2.2. Найти в области D+ функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям (0.21) — (0.23) и щ (х, 0) = ф), 0 < х < 1- (0.26) щ (х, (3) = ф (х), 0 < х < 1, (0.27) где и и ф — заданные достаточно гладкие функции.

ЗАДАЧА 2.3. Найти в области D+ (где (3 = +ooj ограниченную функцию и (х, t), удовлетворяющую условиям (0.21) — (0.24), где — заданная достаточно гладкая функция, причем </?(0) = ^'(0) = ^'(l).

Предварительно построены частные решения уравнения (0.20), удовлетворяющие условиям (0.23): Uk (x, t) = Xk (x)Tk (t), где Xk (t) определяются по формуле (0.10), a Tk (t) имеют вид.

Tk (t) = akV~tI±{pktq) + ЬкуДК±(рн1*), (0.28).

2 q 2 q где и bk — произвольные постоянные, Iv{z) и Ku (z) — модифицированные функции Бесселя.

Используя частные решения уравнения (0.20), построены решения всех поставленных задач в виде суммы ряда Фурье. Доказаны теоремы единственности и существования полученных решений. Остановимся на рассмотрении задачи 2.1. Используя спектральный метод и асимптотическое поведение функций Бесселя Iv{z) и Kv{z) в нуле и на бесконечности доказаны следующие утверждения.

Утверждение 0.6. Если существует решение u (x, t) задачи (0.21) — (0.25), то оно единственно.

Доказательство проводится с использованием свойства полноты системы функций (0.10).

Решение задачи 2.1 построено в виде суммы ряда (0.12), где.

2 q 2q азо).

2 q 2 q l TTTii^M + т" ?клоШ ь > 0;

0(0 =? ^^ (0.31).

Фо" ^ + еть ь = 0, р где т^тт (тг)2?' Рк = + fak)2/q, q = (m + 2)/2, <рк н фк — коэффици-1Ж ^ Кг (рк1*)1г (ркр1) — Кфк (31)1М),.

2q 2q 2q 2 q.

2q (Pkh lk=** енты разложения функций </?(ж) и ^(ж) соответственно по системе у/2cos (2nkx)}^v (ро и фо по системе {1}, а <рк и фк — коэффициенты ряда.

Фурье функций <�р (х) и ф (х) по системе {y/2sm (2iткх)}^.

Утверждение 0.7. Ilijcmb (р (х), ф (х)? С3[0,1], у?(0) = <р (1), <р'(0) = <р'(1), (р" {0) = </(1), ф (0) — ф (1), ф) = 1/(1), ф" (0) = ф" (1). ТЫа существует решение задачи (0.21) — (0.25). Это решение определяется рядом (0.12), где функции uk (t), vk (t) и uo (t) определяются по формулам (0.29), (0.30) и (0.31) соответственно.

В главе 3 доказаны критерий единственности и теоремы существования решений краевых задач с двумя нелокальными условиями для уравнения смешанного типа (0.1) в прямоугольной области D = {(z, t)| 0 < х < 1, —a 0, 0 </3< +оо.

ЗАДАЧА 3.1. Найти в области D функцию и (х, t), удовлетворяющую условиям: и (х, t) <Е C{D) П CD U {х = 0} U {х = 1}) П C2(D+ U ?>) — (0.32).

Lu (x, t) = 0, (x, t)? D+UD;

0.33) u (0,t) = «(1,0, ux (0,t) = ux (l, t), -a< x < 1;

0.35) u (x, —a) = ф (х)1 0 < x < 1,.

0.36) где срифзаданные достаточно гладкие функции, причем <р (0) = '/'(I),.

0) = ф (1), <р'(0) — ц>'{1), 1/(0) = ф'(1), D+ = Dn{t> 0}, ?> = Dn{t < 0}.

ЗАДАЧА 3.2. Найти в области D (где (3 = +оо) ограниченную функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям (0.32) — (0.34), (0.36), где ф — заданная достаточно гладкая функция, причем ф (0) = Ф{1), Ф'{0) =.

ЗАДАЧА 3.3. Найти в области D функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям (0.32) — (0.34) и где (р иф — заданные достаточно гладкие функции.

ЗАДАЧА 3.4. Найти в области D функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям (0.32) — (0.35) и (0.38), где (риф — заданные достаточно гладкие функции, причем р (0) = <р (1), у'(0) — ^'(1).

ЗАДАЧА 3.5. Найти в области D (где Р = +оо) ограниченную функцию u (x, t), удовлетворяющую условиям (0.32) — (0.34) и (0.38), где ф — заданная достаточно гладкая функция.

При решении нелокальных задач для уравнения смешанного типа были использованы частные решения уравнений (0.2) и (0.20), полученные в главах щ (х,/3) = (р (х), 0 < х < 1;

0.37) щ (х, —а) = ф (х), 0 < х < 1,.

0.38).

1,2, то есть щ (х, t) = Xk{x)Tk (t), где Tk{t) определяются по формуле T+(t) = akVtIi (pktq) + ЪкуДКфкУ), t > О,.

2 q.

Tk{t) = <

Tk (t) = Ck^tJ^PkHY) + dkV=iY±{pk{-t)q), t < 0. Постоянные bk, Ск и dk с учетом (0.32) выбраны так, чтобы выполнялись равенства.

Г*(0 + 0) = Т*(0−0), Тк (0 + 0) = тк (о — 0).

Это возможно при ск = irbkCtg (-^)/2 — йк и dk = —irbk/2. Тогда функции Tk (t) примут вид:

Tk (t) =.

T+(t) = akyftU (pktq) + ЬкуДК±(ркР), t > 0,.

2q 2q.

Tk (t) = -ak^tJ±(pk (-t)q) + ^yy/^t Yh[pk (-t)% t < 0, где.

УфкПУ) = 1.

2 q.

0.39).

2 q.

ЫркПУ) + J-dPk (-t)q).

2 q.

2 q.

В задаче 3.1 для нахождения постоянных ак и Ьк воспользовались гранич1 ными условиями (0.35), (0.36) и формулой uk (t) = у/2 fu (x, t) соъ{2-ккх) dx, о к = 1,2,., так как дважды дифференцируя функцию и используя уравнение (0.1), получим что функция Uk (t) удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что и функция Tk (t), поэтому uk (t) = Tk (t) при t? [—а,/3]. Значит она имеет вид (0.39) и удовлетворяет граничным условиям:

1 1 ик (/3) = J и (х,(3) cos (2irkx)dx = J ip (x) cos (2itkx)dx = (pk, о о.

Uk (-a) = J u (x, —a) cos (2Trkx)dx = J ф (х) cos (27rkx)dx = фк. о о.

Исходя из этих условий найдем ак и Ьк и ykVaiAk (a, t) + фкУЩЛк (t,/3) t>Q uu (t) — >Ак{<�х, Р) у/а@ ' ' fn 40).

2A к{а,(3)^ф где.

Д*(а, 0) = Ji (pkaq)Kj (pkf3q) + f Yj (Pkaq)UPk (3q),.

Zq 2 q u 2 q 2 q.

Ak{a, t) = J±(Pkaq)K±(Pktq) + I±(pk (3q)KApktq) — Ырк1Ч) К±(рк (3<1),.

Zq zq Zq Zq.

Bk (a, -t) = Y±(pk (-t)q)Ji (pkaq) — Y i (pkaq)J±(pk (-t)q),.

2 q 2 q 2 q 2 q.

Ak (-t,/3) = J±(Pk (-t)q)Ki (Pk (3q) + |Ff (Pk (-t)q)I, (Pkf3q),.

Zq Zq u Zq Zq uo (t) в случае b > 0 определяется по формуле (0.40) при /г = 0, а в случае 6 = 0 ч Ро-Фо,. а (ро + (Зфо, имеет вид wo© =-^-сН—^—, аналогично построены функции vk[t) а + р, а + р с коэффициентами фк и фк функций <�р (х) и ф (х) по системе {y/2s'm (2irkx)}^v Утверждение 0.8. Если существует решение u (x, t) задачи (0.32) — (0.36), то оно единственно только тогда, когда Ак (а,(3) ф 0 при всех к.

Если при некоторых а, (3 и к = 1 € N нарушено условие Ак (а, (3) ф 0. Тогда однородная задача (0.32) — (0.36) (где ср (х) = ф (х) = 0) имеет нетривиальное решение г.

Ai (a, t) Vi (Ci + C2cos (27t/z) + C3sin (27r/a-)), t > 0, ui (x, t) = <

Ai (-t, ($)yf=t (Ci + C2cos (2trlx) + C3sin (27r/x)), t < 0, где Ci — произвольные постоянные, г = 1,3.

Утверждение 0.9. Существуют, а и постоянная Cq > 0 такие, что при всех (3 > 0 и больших к справедлива оценка.

MVkSk{a, p)>C0>0, (0.41) к где.

Кффч) йМ) = JApkofl) T2 ПпЛ + -Уф**).

2 q.

I^PkPi) 2.

2 q.

При выполнении условий Ak (a, fi) ф 0 и (0.41) решение задачи 3.1 определяется в виде суммы ряда (0.12), где Uk (t), Vk (t) и wo (i) имеют вид (0.40).

Если Afc (a, /3) = 0 при некоторых а, (5 и к = щ, П2,., пт, то задача (0.32) — (0.36) при условии (0.41) разрешима только тогда, когда выполнены условия piyfaJi (piaq) + ihy/pi^toF) = 0, I = щ, n2, • • •, fhn, (0−42).

2 9.

2 q и решение в этом случае определяется рядом (0.19), где f wVil±(pit4) $iVili (pit4).

4 cos (2-kIx) H—m 4——— sin (27r/x)+.

VPh-(piPq) zq.

2 q.

Ci + C2 cos (2tt/x) + C3 sin (27r/®)), t > 0,.

J±[Piaq) ui (x, t) = <

• cos (2txlx) ±?=~1-г— sin (27r/a-)+ faJi (piofl).

2 q aJ±{piai).

2 q.

CiM-t, p).

C + C2 cos (2tt/z) + C3 sin (27rfo)), t < 0,.

Ырф").

2 q где Q — произвольные постоянные.

Утверждение 0.10. Пусть ip{x) 6 C3[0,1], y>(0) =.

</(0) = */'(l) — G c3+'[o, < S < 1, V (0) = ф (1), ПО) = ¦0″ (O) = ^" (l). Тогда задача (0.32) -(0.36) однозначно разрешима тогда, когда выполнены условия Ak (a, j3) ф 0 и (0.41). Это решение определяется рядом (0.12), у которого функции Vk{t) и щ (£) задаются формулой (0.40) с соответствующими коэффициентами.

Если Ак (а,(3) = 0 при некоторых а, /3 и к = щ, пг, • • •, пт, то задача (0.32) — (0.36) при условии (0.41) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.42) и решение определяется рядом (0.19).

Утверждение 0.11. Построенное решение u (x, t) задачи (0.32) — (0.36) принадлежит классу C2(D) и функция u (x, t) всюду в D является решением уравнения (0.1). Следовательно, линия изменения типа t = 0 уравнения (0.1) как особая линия устраняется.

Используя аналогичные рассуждения обоснованы единственность и существование решений задач 3.2 — 3.5.

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:

1) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями в сочетании с другими локальными граничными данными для вырождающегося уравнения гиперболического типа в прямоугольной области.

2) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями для вырождающегося уравнения эллиптического типа с различными граничными данными в прямоугольной области и в полуполосе.

3) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями для вырождающегося уравнения смешанного типа с различными граничными данными в прямоугольной области и полуполосе. При этом установлен критерий единственности. Решение нелокальных задач построено в виде суммы ряда Фурье и доказано, что линия изменения типа, как особая линия, устраняется.

Основные результаты опубликованы в работах [44] - [47], [53] - [57]. В работах [44] - [47] постановка задач и идея доказательства принадлежат научному руководителю К. Б. Сабитову.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители — профессора К. Б. Сабитов, Ф. Х. Мукминов, И. А. Калиев, 2003 — 2007 гг.), кафедры теоретической физики (научный руководитель — профессор А. И. Филиппов, 2007 г.) Стерлитамакской государственной педагогической академии, на научном семинаре отдела вычислительной математики Института математики с ВЦ УНЦ РАН (научный руководитель — профессор Р. С. Сакс, г. Уфа, 2007 г.), а также на следующих научных конференциях: «Студенческая наука — в действии» (г. Стерлитамак, 2003 г.), «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак, 2004 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2004 г.), «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы «(г. Москва, 2004 г.), «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г. Нальчик, 2006 г.), «Современные проблемы дифференциальных уравнений, теории операторов и космических технологий» (Казахстан, г. Алматы, 2006 г.).

1. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции / В. Я. Арсенин. — М.: Наука, 1984. — 384 с.

2. Бабепко, К. И. К теории уравнений смешанного типа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. 1953. — Т. 8. № 2. — С. 160.

3. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн.- М.: Наука, 1966. Т. 2. 267 с.

4. Берс, JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ, 1961. — 208 с.

5. Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. М.: Изд-во АН СССР, 1959. — 164 с.

6. Бицадзе, А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / А. В. Бицадзе. М.: Наука, 1966. — 404 с.

7. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А. В. Бицадзе, А. А. Самарский //Докл. РАН. -1969. Т. 185. — № 4. — С. 739 — 740.

8. Бицадзе, А.В. К теории нелокальных краевых задач / А. В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1981. — Т. 277. — № 1. — С. 17 — 19.

9. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций / Г. Н. Ватсон. М.: ИЛ, 1949. Т. 1. 798 с.

10. Бахания, Н.Н. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны / Н. Н. Бахания // Сообщения академии наук Грузинской ССР. 1958. — Т. XXI. — № 2. — С. 131 — 138.

11. Двайт, Г. В. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт. М.: Наука, 1983. — 176 с.

12. Дезин, А. А. Операторы с первой производной по «времени» и нелокальные граничные условия / А. А. Дезин // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1967. — № 31. — С. 61 — 86.

13. Джураев, Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т. Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979. — 239 с.

14. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В. И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та. 1962. — Т. 122. -кн. 3. — С. 3 — 16.

15. Жегалов, В. И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В. И. Жегалов // Неклассические уравнения матем. физики. -Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. — С. 168 — 172.

16. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965. -Т. 1. — 616 с.

17. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1986. — Т. 291. — № 3. — С. 534 — 539.

18. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1987. — Т. 23. — № 8. — С. 1422 — 1431.

19. Ионкин, Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н. И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. 1977. — Т. 13. — № 2. — С. 294 — 304.

20. Ионкин, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н. И. Ионкин, Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1979. — Т. 15. — № 7. — С. 1284 — 1295.

21. Коэ/санов, А. И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А. И. Кожанов // Дифференциальные уравнения. 1989. — Т. 25. — № 25. — С. 2143 — 2153.

22. Коэюанов, А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений / А. И. Кожанов // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. 2004. — № 30. — С. 63 — 69.

23. Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения / Н. Н. Лебедев. М.: Мир, 1963. — 471 с.

24. Лернер, М.Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Дифференциальные уравнения. 1999. — Т. 35. — № 8. — С. 1087 — 1093.

25. Лернер, М. Е. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полу полосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Дифференциальные уравнения. 2001. — Т. 37. — № 11. — С. 1562 — 1564.

26. Лернер, М. Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М. Е. Лернер, О. А. Репин //Сиб. матем. журнал. 1999. — Т. 40. — № 6. — С. 1260 — 1275.

27. Jlepnep, M.E. Существенно нелокальная краевая задача для уравнения с частными производными / M.E. Jlepnep, О. А. Репин // Мат. заметки. -2000. Т. 67. — № 3. — С. 478 — 480.

28. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е. И. Моисеев //Дифференциальные уравнения. 1999. -Т. 35. — № 8. — С. 1094 — 1100.

29. Моисеев, Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи / Е. И. Моисеев //Дифференциальные уравнения. 2001. — Т. 37. — № 11. -С. 1565 — 1567.

30. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1969. — Т. 5. — № 1. — С. 44 — 59.

31. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1970. — Т. 6. — № 1. — С. 190 — 191.

32. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. -М.: Высшая школа, 1995. 304 с.

33. Нахушева, З. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных / З. А. Нахушева // Дифференциальные уравнения. 1986. -Т. 22. 1. — С. 171.

34. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. М.: Наука, 1983. — 752 с.

35. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Матем. заметки. 2001. — Т. 70. — № 1. — С. 88 — 95.

36. Пулькина, JI.C. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск.: ИМ СО РАН. — 2002. — С. 176 — 184.

37. Пулькина, JI.C. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений: дисс. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / JI.C. Пулькина. Москва. — 2003. — с. 257.

38. Пулькина, JI.C. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2004. — Т. 40. — № 7. — С. 887 — 892.

39. Репин, О. А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полу полоса / О. А. Репин / / Дифференциальные уравнения. — 1996. — Т. 32. — № 4. — С. 565 — 567.

40. Репин, О. А. Нелокальная задача A.M. Нахушева для уравнения смешанного типа / О. А. Репин // Вестник СамГТУ. 2001. — № 12. — С. 5 — 9.

41. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики. / К. Б. Сабитов. М.: Высшая школа. — 2003. — 255 с.

42. Сабитов, К. Б. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко // Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». Уфа: Гилем. — 2004. — Т. 1 — С. 80 — 86.

43. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К. Б. Сабитов // Докл. РАН. 2007. — Т. 413. № 1. С. 23 26.

44. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. / К. Б. Сабитов, Г. Г Биккулова, А. А. Гималтдинова. -Уфа.: Гилем, 2006. 150 с.

45. Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Сала-хитдинов. Ташкент: Фан, 1974. — 156 с.

46. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А. А. Самарский // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № И. — С. 1925 — 1935.

47. Скубачевский, А. Я. Нелокальные эллиптические задачи с параметром / АЛ. Скубачевский // Математический сборник. 1983. — Т. 121. — № 2. С. 201 210.

48. Сидоренко, О. Г. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа в прямоугольнике / О. Г. Сидоренко // Сборник трудов Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» Самара: «Универс-групп». — 2007. — С. 116 — 121.

49. Сидоренко, О. Г. Существенно нелокальная задача для уравнения смешанного типа в полуполосе / О. Г. Сидоренко // Известия вузов. Математика. 2007. — № 3. — С. 60 — 64.

50. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1966. — 292 с.

51. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.

52. Солдатов, А. П. Об одной задаче теории функций / А. П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. 1973. — Т. 9. — № 2. — С. 325 — 332.

53. Солдатов, А. П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А. П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. 1974. — Т. 10. — № 1. — С. 143 — 152.

54. Солдатов, А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе. I. Теоремы единственности / А. П. Солдатов // Докл. РАН. 1993. — Т. 332. — № 6. — С. 696 — 698.

55. Солдатов, А. П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А. П. Солдатов // Докл. РАН. -1993. Т. 333. 1. — С. 16−18.

56. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихинов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1977. — 735 с.

57. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. — 192 с.

58. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных дои сверхзвуковых течений / Ф. И. Франкль //Изв. АН СССР. Серия математическая. -1945. Т. 9. — № 2. — С. 121 — 142.

59. Франклъ, Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф. И. Франкль // ПММ. 1956. — Т. 20. — № 2. — С. 196 — 202.

60. Франклъ, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль. М.: Наука, 1973. — 711 с.

61. Хачев, М. М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике / М. М. Хачев // Дифференциальные уравнения. 1975. — Т. XI. — № 1. -С. 151 — 160.

62. Хачев, М. М. Задача Дирихле для одного уравнения смешанного типа / М. М. Хачев // Дифференциальные уравнения. Минск. 1976. — Т. 12. -№ 1. — С. 137 — 143.

63. Хачев, М. М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М. М. Хачев. Нальчик: Изд. «Эльбрус», 1998. — 168 с.

64. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. math, pura ed appl. 1963. -V. 62. — P. 371 — 377.

65. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat / S. Gellerstedt. Uppsala, 1935. — 92 p.