Траекторные методы в физике электронно-атомного рассеяния и корпускулярной оптике

§ 2. Фокусирующие свойства атома для электронного пучка. 155 Фокусировка на различных потенциалах. Фокусировка на цепочке атомов. 1. Кулоновский потенциал.

2. Потенциалы Томаса-Ферми.

3. Атомная линза для электронного пучка в форме колонки атомов в тонком кристалле.

§ 3. Атомная фокусировка ионов 167.

§ 4. Атомная линза для атомного пучка. 171.

1. Взаимодействие атомов с линзой.

2. Атомная линза в виде конца линейной цепочки атомов углерода.

3. Атомная линза в форме наноотверстия.

3.1 Дефокусирующее действие наноотверстий для атомного пучка. Классический траекторный расчет.

3.2 Дефокусирующая атомная линза в виде наноотверстия для атомного пучка. Квантовое рассмотрение.

3.3 Фокусировка атомных и молекулярных пучков в электрических полях некоторых конфигураций.

§ 5. Самофокусировка атомного пучка в поле световой 209 волны.

1. Общие уравнения для кинетики атома в электромагнитном поле.

2. Описание совместной эволюции светового и атомного пучков в квазиклассическом приближении по осевой координате.

3. Бипотенциальное движение.

4. Фокусировка атомного пучка в поле световой волны.

5. Приближение слабого поля.

6. Моделирование взаимной самофокусировки атомного и светового пучков.

Глава V. Варианты применения атомных линз.

§ 1. Возможности применения атомных линз в электронной 239 микроскопии.

1. Общее рассмотрение.

2. Возможности реконструкции образа при сканировании решёткой фокусов атомных линз от электронного пучка.

§ 2. Корпускулярная голография с фокусировкой источника 253 на атомной линзе.

1. Схема осевой корпускулярной голографии с освещением объекта от фокуса атомной линзы.

2. Моделирование осевой схемы корпускулярной голографии с атомно-линзовой фокусировкой источника.

2.1 Процедура реконструкции.

2.2 Моделирование для электронной голографии.

2.3 Моделирование для атомной голографии.

Заключение

266.

Приложения.

§ 1. Некоторые системы символов операторов 270.

1. Определение символов в методе обобщенных когерентных состояний.

2. до-символы.

§ 2. Представление траекторным интегралом функций 278 гамильтониана.

§ 3. Оценка фейнмановского интеграла методом 280 стационарной фазы. Связь с квазиклассическим приближением. Волновой пакет.

Траекторные методы, т. е. методы привлекающие понятие траектории в рассмотрении разного рода задач, давно и широко используются в физике. Наибольшее развитие получили различные варианты метода молекулярной динамики при рассмотрении задач классической механики и статистической физики. В квантовой физике траекторные методы получили меньшее развитие в силу, как самой ее природы, так и традиций. Наиболее часто используемым вариантом траекторных методов в квантовой физике является квазиклассическое приближение.

Весьма широко используются в физике методы, основанные на траекторных интегралах различного типа. Интегралы винеровского типа (фейнмановские интегралы для мнимого времени с вещественной экспонентой) применяются для решения задач статистической и квантовой физики. Траекторные методы, базирующиеся на фейнмановском принципе, часто используются в теоретических построениях, однако, применение фейнмановских траекторных интегралов с действительным временем для вычисления физических величин связано с определенной сложностью. Эта сложность во многом обусловлена осциллирующим характером подынтегрального выражения, содержащего комплексную экспоненту. В связи с этим, несмотря на потенциальные возможности, фейнмановские траекторные интегралы практически не используются для вычисления физических величин. К числу их достоинств следует отнести непертурбативность, гибкость и физическую наглядность постановки задачи, перспективность в исследовании нестационарных задач, особенно интенсивно изучаемых в последнее время в атомной физике.

В силу сказанного актуальной является задача построения способов оценки траекторных интегралов фейнмановского типа для решения задач атомной физики и, в частности, физики электронно-атомных столкновений.

Главы 1−3 диссертации в основном и посвящены вопросам формулировки и тестирования некоторых таких способов на простых задачах.

Существует ряд подходов к определению континуального интеграла фейнмановского типа. В нашей работе принят подход на основе предельных процедур для конечномерных аппроксимаций. Рассмотрение базируется на концепции символов операторов. Используются системы символов, возникающих в методе обобщенных когерентных состояний и так называемые до-символы. Вопросы сходимости предельных процедур рассматриваются на основе теории Чернова, касающейся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, которая обобщается на класс стабильных систем операторов [1.1.30].

Для фермионных систем обобщенные когерентные состояния, как известно, могут быть реализованы в грассмановом расширении пространства состояний. При этом возникает интеграл по траекториям в грассмановой алгебре. Ранее считалось, что такой интеграл по форме не отличается от обычного траекторного интеграла в комплексном фазовом пространстве в представлении Фока-Баргмана [1.1.5, А. 1.5, А.1.6]. Однако, в нашей работе [1.1.31] впервые было показано, что это не так и было получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре.

Для многих задач траекторные методы являются естественными методами рассмотрения. К их числу относятся задачи, рассмотренные в диссертации. Это задачи рассеяния электронов на атомах и родственные задачи расчета линз для корпускулярных пучков в классическом и квазиклассическом приближениях.

Методы, основанные на траекторных интегралах, образуют самостоятельную группу методов решения задач рассеяния. В них используется запись решения соответствующей задачи рассеяния в форме траекторного интеграла, который дает явное выражение вероятности, амплитуды или сечения рассеяния через гамильтониан взаимодействия. Тем самым, решение задач рассеяния этой группой методов сводится к интегрированию.

Возникает задача построения способов оценки соответствующих траекторных интегралов. Известно, что квазиклассическое приближение может быть получено из оценки фейнмановского траекторного интеграла методом стационарной фазы. Вместе с тем, другие способы оценки траекторных интегралов для задач рассеяния тоже могут представлять интерес. Как уже отмечалось, эти способы для задач электронно-атомных столкновений практически не развиты. В диссертации рассмотрен ряд вариантов решения задачи рассеяния, основанный на оценках траекторных интегралов.

Помимо чисто теоретического интереса развитие методов оценки сечений электронно-атомного рассеяния на основе фейнмановского подхода в квантовой механике имеет и практическое значение. Оно состоит в следующем.

Известно, что существует довольно много методов расчета сечений электронно-атомных столкновений. Однако, опыт нашей работы в этой области показал, что как бы ни был хорош тот или иной метод и какая бы ни заявлялась при этом точность результата, результаты разных работ отличаются друг от друга, причем иногда весьма значительно. Вместе с тем, методические ошибки разных методов и групп исследователей независимы и при большом числе работ компенсируют друг друга в совокупном результате, который может быть выявлен на основе регрессионного анализа данных по совокупности имеющихся информационных источников.

Накопление базы данных и соответствующий регрессионный анализ проводились нами для сечений электронного возбуждения ряда переходов атомов водорода, гелия и аргона [3.3.11−3.3.15]. Например, для основного перехода в атоме водорода разброс данных составляет два раза, однако выборочная относительная дисперсия по всей совокупности имеющихся результатов составляет порядка двадцати процентов. Это и есть реальная точность, с которой это сечение известно на настоящий момент.

Естественно, что важно пополнение базы результатами, полученными на основе работ, проведенных разными, независимыми методами, обладающими различными, свойственными им методическими ошибками. Методы, основанные на траекторных интегралах фейнмановского типа, методически сильно отличаются от других методов расчета сечений. В этом состоит одна из важных причин практического значения их развития и применения.

Практически важным вариантом задачи рассеяния является изучение свойств линз для корпускулярной оптики. Эти вопросы рассматриваются в Главе 4.

Корпускулярную оптику можно трактовать, как широкое обобщение обычной световой оптики в отношении расширения набора основных частиц с фотонов светового диапазона до всевозможных частиц и квазичастиц. В практическом отношении наибольшее распространение до недавнего времени имели системы, основанные на заряженных частицах, прежде всего системы электронной оптики. Однако, номенклатура реально используемых частиц все время расширяется. Сейчас находят применение системы, основанные, например, на фотонной оптике радиои рентгеновского диапазона, нейтронной, ¦ фононной (инфраи ультразвуковой), атомной оптике, и т. д., имеется проект по реализации нейтринной оптики [4.1.4].

Одним из основных методов изучения строения вещества на атомном уровне является электронная микроскопия. Вместе с тем, переход за субангстремный предел в разрешении электронных микроскопов представляет собой сложную проблему, решение которой имеет большое практическое значение. Немного продвинуться в разрешении позволяет коррекция аберраций объективной линзы и увеличение ускоряющего напряжения.

Атомная оптика в настоящее время является интенсивно развиваемым направлением исследований, результаты которых применяются в ряде областей, в том числе в микроскопии и нанотехнологиях. Для формирования тонких кроссоверов атомных пучков используется фокусировка атомов на различных системах [4.4.1]. Наибольшее разрешение (десятки нанометров) достигнуто при фокусировке на микролинзах, образованных стоячей световой волной [4.1.9]. Однако, разрешение существующих систем не позволяет приблизиться к величинам, порядка атомного размера.

В свете сказанного, большое значение имеет разработка методов, ориентированных на прогресс в корпускулярной микроскопии атомного разрешения. К их числу относятся методы, основанные на предложенной нами концепции атомной линзы в корпускулярной оптике.

Решение обычной задачи рассеяния на потенциале с точки зрения дифракционной теории линзы соответствует рассмотрению дальней (фраунгофферовой) зоны дифракции. В теории линзы больший интерес представляет ближняя и средняя (френелевская) зоны дифракции.

Для корпускулярных пучков типичной является длина волны меньше атомного размера. В этом случае размер линзовой системы может быть уменьшен вплоть до предельного — размера атома (в атомной физике). Ядро, в принципе, тоже может обладать фокусирующими свойствами по отношению к ядерным силам, но положение ядерной линзы не является контролируемым с ядерной точностью.

Отдельные атомы и небольшие атомные группы (наномасштаба), воздействующие на проходящие корпускулярные пучки, в наших работах мы называем атомными линзами.

Фокусирующие свойства атомов и групп атомов отмечались и рассматривались в физике твердого тела и, в частности, в связи с изучением явления каналирования в кристаллах [4.3.1−4.3.7]. Фокусирующие свойства некоторых модельных потенциалов рассматривались теоретически в [4.2.1, 4.2.2]. В наших работах впервые начато систематическое изучение фокусирующих свойств атомов для электронных пучков в более реалистичных атомных потенциалах и нахождение параметров пучков на выходе из тонкого слоя твердого тела при фокусировке в случае, когда еще не успевает наступить режим каналирования со стационарным распределением по поперечным координатам.

Нами изучались также некоторые конфигурации атомных линз для атомных, молекулярных и ионных пучков.

Взаимодействие частиц пучка с атомной линзой в наших работах рассматривалось в потенциальном приближении.

В последние годы интенсивно изучается и применяется манипулирование атомами в световом поле [4.1.3, 4.1.5−4.1.9]. В диссертации рассмотрена задача самофокусировки атомного пучка в поле световой волны. Это явление относится к эффектам нелинейной корпускулярной оптики и происходит, вообще говоря, одновременно с самофокусировкой световой волны. При самосогласованной эволюции атомного и светового пучков, динамически формируется пучковая атомно-линзовая система. В этой системе атомный пучок становится линзой для самого себя. Рассмотрение проводится в рамках двухуровневой модели атома при бипотенциальном описании движения.

Задача распространения частиц пучка через атомную линзу в диссертации решается в основном в классическом и квазиклассическом приближениях. Используется также слоевой метод СоуЛеу-МоосП, который широко применяется при моделировании распространения корпускулярных волн в кристаллах.

В диссертации приводится вывод слоевого метода на основе фейнмановского траекторного интеграла путем его оценки методом стационарной фазы по части переменных, соответствующих проекции траекторий на выделенное направление движения. Тем самым, устанавливается соответствие слоевого метода квазиклассическому описанию движения в выделенном направлении и квантовому в поперечном направлении, т. е. парциальному квазиклассическому приближению.

На основе траекторного интеграла в фазовом пространстве дается обобщение слоевого метода на гамильтонианы с неквадратичной зависимостью от импульсов. Важным примером служит релятивистский гамильтониан.

В Главе 5 диссертации теоретически рассмотрены вопросы, касающиеся возможности применения атомных линз в корпускулярной микроскопии атомного разрешения и корпускулярной голографии.

Предложено и изучено несколько схем электронной микроскопии с атомной линзой.

Приводятся результаты теоретического изучения корпускулярной голография с использованием малых кроссоверов пучков, формируемых атомными линзами, как источников корпускулярного освещения.

Заключение

.

Подводя итог, сформулируем основные результаты и выводы настоящей работы, полученные при теоретическом рассмотрении и компьютерном моделировании.

По траекторным методам.

1. Применяющаяся в доказательстве сходимости предельных процедур для фейнмановских траекторных интегралов теория Чернова, касающаяся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, обобщается на класс стабильных семейств операторов;

2. Приведено достаточное условие сходимости по норме аппроксимаций оператора эволюции.

3. Впервые получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре при произвольной грассмановой четности символа гамильтониана.

4. Проведены построение и апробация некоторых способов оценки траекторных интегралов фейнмановского типа, основанных на.

— методе Монте-Карло,.

— обрезании в окрестности оптимальной траектории,.

— аппроксимации гауссовыми интегралами.

4. На их основе предложены способы расчета сечений электронно-атомного рассеяния.

5. Результаты расчетов сечений рассеяния на основе предложенных способов сравниваются с результатами других методов, которые либо являются точными, либо получены в приближениях, которые принято считать достаточно хорошими. Это, прежде всего, метод clouse coupling convergent (ССС). Для сравнения также применяются результаты, полученные на основе предложенного в наших работах подхода, основанного на регрессионном анализе данных, содержащихся в имеющихся источниках информации по рассматриваемому вопросу и дающего совокупное представление данных.

• Метод Монте-Карло дает хорошее согласие с результатами метода ССС. Однако, он требует больших вычислений, связанных с заданием предпочтительной выборки, и не подходит для массовых вычислений.

• Оценка траекторного интеграла при обрезании дает хорошие результаты для не слишком сложной картины оптимальных траекторий. Как и предыдущий подход, он требует больших вычислений, связанных с построением оптимальных траекторий, и не подходит для массовых вычислений.

• Оценка траекторного интеграла, основанная на аппроксимации его гауссовыми интегралами, показала хорошие результаты при сравнительно небольших вычислительных затратах.

По атомным линзам в корпускулярной оптике.

1. Впервые изучены параметры электронного пучка, распространяющегося за одиночным атомом и за колонками атомов в тонком кристалле. Показано, что эти системы могут выступать в качестве линзы, способной сфокусировать пучок электронов в область с поперечным сечением, меньшим, чем 0.05 пш в диаметре.

2. Рассмотрена фокусировка ионов при каналировании в кристалле. Найдено, что для протонов с энергий пучка 10 — 1000 кеУ фокусное расстояние линейно по скоростью протонов растет от 13 А до 130 А, приблизительно сохраняется вид поперечного распределения интенсивности пучка в фокусе. Высота пика интенсивности в фокусе в 250 раз превосходит интенсивность пучка, падающего на кристалл.

Ширина пика порядка 3 пикометров.

3. Впервые изучены параметры атомного пучка, распространяющегося через наноотверстие в тонкой пленке, в отсутствии и в присутствии внешнего электростатического поля.

• Показано, что дефокусирующая атомная линза в виде наноотверстия в тонкой пленке для атомного пучка имеет самое высокое качество из исследованных нами атомных линз для атомных пучков. Для пучков тяжелых атомов тепловых энергий диаметр пучка в фокусе линзы определяется, в основном, геометрическими аберрациями и составляет величину порядка десятков пикометров. Усиление интенсивности в мнимом фокусе составляет порядка нескольких сотен раз.

• Для фокусирующих атомных линз в форме наноотверстий во внешнем электростатическом поле получена и проверена аппроксимационная формула для фокусного расстояния.

4. Рассмотрена фокусировка атомного пучка в световом поле.

• Выявлено наличие двух фокусов (действительного и мнимого) при фокусировке атомного пучка на световой линзе. Получены формулы для соответствующих фокусных расстояний. Расчет по этим формулам подтверждается численным моделированием.

• Рассмотрена совместная самофокусировка светового и атомного пучков. Вводится критерий, определяющий параметры системы, при которых, начинает проявляться эффект самофокусировки. Проведено численное моделирование, подтверждающее этот критерий.

5. Впервые предложены и теоретически обоснованы :

• Использование одиночных атомов в качестве линзовых систем электронной оптики.

Использование решеток атомов в кристалле в качестве линзовых систем электронной оптики. При этом были выявлены диапазоны параметров системы, которые позволяют с допустимым качеством реконструировать образ при сканировании решёткой фокусов атомных линз от пучка электронов.

Схемы корпускулярной голографии с фокусировкой источника на атомной линзе. Моделирование осевой схемы корпускулярной голографии с использованием атомной линзы для освещения объекта показало, что разрешение в реконструированном образе порядка диаметра кроссовера линзы. При этом сопряженные образы не создают существенных помех наблюдению реконструированных образов.