О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа uxx{x, t) — q{x)u (x, t) = Utt{x, t) (х е Г, t > 0), (1) в котором Г — геометрический граф, а коэффициент q (x) есть конечная линейная комбинация S и 5' функций с носителями в точках из Г q (x) = ^^ ki5(x — Xi) + ^Г^ kj5'(x — ?j) i э здесь 8 это дельта функция Дирака).

Основная цель, которая преследовалась в работе, состоит в выделении классов геометрических графов и смешанных задач для уравнения указанного типа, решения которых могут быть выражены через начальные данные посредством конечного числа арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простых преобразований независимого аргумента (аддитивный сдвиг и умножение на —1), — подобно тому, как решение волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого рода выражается через начальные данные с помощью формулы Далам-бера.

Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.

Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах — пространственных сетях, одномерных клеточных комплексах, одномерных стратифицированных множествах) началось сравнительно недавно, около 25−30 лет назад. К таким уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [15, 79, 82]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [15, 82, 79, 46, 76, 81]), деформаций упругих сеток (см., например, [15, 82]) и струнно-стержневых систем [3, 54], диффузии в сетях [15, 82, 24], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [84, 78, 72], бифуркаций вихревых течений в жидкости [74], гемодинамики (см., например, [48]), колебаний сложных молекул (см., например, [49, 11, 15]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [14]), приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [50, 27, 81, 26]).

Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существования полугруппы) — построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов — см. [15] и цитированную там литературу.

Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как наличие в потенциале аддитивной составляющей в виде конечной линейной комбинации: 1) 5-функций с носителями во внутренних вершинах геометрического графа [15], 2) <5'-функций с носителями там же [60, 73, 1].

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона — см., например, [52, 51, 53, 8, 34, 15].

Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа — см., например, [24, 80].

На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрических графах остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе, то, помимо исследования структуры и ассимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [56, 75, 77, 5, 31, 29, 62]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичностьсм. [62, 28, 31, 32, 83, 57], 2) обосновать корректность задачи [30], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [64]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [58, 59]. Ещё одно направление исследований (пока мало разработанное) — это создание аналога метода Римана [37, 10, 9]. Предпринимаются и первые попытки исследования задач управления [61, 12] и задач управляемости [7] (последнее в духе работ [18]-[22], [69, 70]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [17, 16]) на волновые уравнения на геометрических графах.

Основная цель настоящей диссертации изначально состояла в получении формулы решения смешанной задачи с краевыми условиями третьего рода (которые адекватны наличию в потенциале односторонней ^-функции) для волнового уравнения на геометрическом графе с соизмеримыми рёбрами — формулы, аналогичной той, которая была получена ранее в работах [56, 62, 28, 31, 32, 29, 83, 57] для краевых условий первого и/или второго родов — с последующим созданием эффективной вычислительной схемы для решения таких задач. Однако, в полной мере этой цели достичь не удалось, поскольку быстро выяснилось, что в отличии от случая краевых условий первого и/или второго родов, такая задача не решена даже для отрезка — простейшего варианта геометрического графа. Поэтому часть настоящей диссертации служит выводу формулы для продолжения начальных данных в представлении решения (в форме Даламбера) смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке при наличии краевого условия третьего рода — формулы, содержащей конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение. Разработанный здесь подход позволил получить такого же типа описание для продолжения начальных данных и в задаче о колебаниях нагруженной струны. В заключительной части работы результаты «подготовительного» этапа применяются к волновому уравнению (1) на геометрическом графе с краевыми условиями третьего рода. При этом выяснилось, что результаты «подготовительной» части находят применение и для волновых уравнений на геометрических графах в случае, когда в потенциале (множитель при искомой функции) представляет собой линейную комбинацию (5-функций или их производных (в смысле [23]).

Перейдём к краткому описанию основных результатов данной диссертации.

Первая глава посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения с краевым условием третьего рода на отрезке или, что тоже самое, уравнению (1) при q{x) = кд-(х — ?), где.

1. Абдулмаджид М. Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка — спектральная теория: дисс.. канд. физ.-мат. наук / М. Абдулмаджид. — Воронеж, 1992. — 101 с.

2. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. М.: Мир, 1967. — 548 с.

3. Березин И. С. Методы вычислений: в 2-х т. / И. С. Березин, Н. П. Жидков. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. — Т. 2. — 620 с.

4. Боровских А. В. О распространении волн по сети / А. В. Боровских, А. В. Копытин // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. — С. 21−25.

5. Будак Б. М. Сборник задач по математической физике / Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. М.: Наука, 1972. — 688 с.

6. Бурлуцкая М. Ш. Граничное управление системой из трёх струн с одним закреплённым концом / М. Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 45−46.

7. Гаврилов А. А. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / А. А. Гаврилов, О. М. Пенкин // Диф. уравнения. 2000. — Т. 36, № 2. -С. 226−232.

8. Герасименко Н. И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н. И. Герасименко, B.C. Павлов // Теоретическая математ. физика. -1988. Т. 74, № 3. — С. 345−359.

9. Глотов Н. В. О колебаниях с трением на сети / Н. В. Глотов, B.JI. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIV»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2003. — С. 39−40.

10. Головатый Ю. Д. Асимптотика собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с сингулярным возмущениемплотности / Ю. Д. Головатый, С. А. Назаров, О. А. Олейник // Успехи мат. наук. 1988. — Т. 43, выпуск 5(263). — С. 189−190.

11. Гудзовский А. В. К расчёту гидравлических сетей / А. В. Гудзовский // Докл. АН. 1988. — Т. 358, № 6. — С. 765−767.

12. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный и др.]. М.: Физматлит, 2004. — 272 с.

13. Знаменская J1.H. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями / J1.H. Знаменская // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XV»: материалы Воронеж, весен, мат шк. — Воронеж, 2004. — С. 97.

14. Знаменская J1.H. Управление упругими колебаниями / JI.H. Знаменская. М.: Физматлит, 2004. — 176 с.

15. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. — Т. 35, № 11. — С. 1517−1534.

16. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В. А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. — Т. 35, № 12. — С. 1640−1659.

17. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В. А. Ильин // Диф. уравнения. 2000. — Т. 36, № И. -С. 1513−1528.

18. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В. А. Ильин // Докл. РАН. 2001. — Т. 376, № 3. — С. 295−299.

19. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В. А. Ильин, В. В. Тихомиров // Диф. уравнения. 1999. — Т. 35, № 5. — С. 692−704.

20. Кадиев Р. И. Изучение спектральных характеристик одного класса операторов Шредингера с потенциалами нулевого радиуса: автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук / Р. И. Кадиев. Махачкала, 1995. — 18 с.

21. Каменский М. И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М. И. Каменский, О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Докл. РАН. 1999. — Т. 368, № 2. — С. 157−159.

22. Канторович JI.B. Приближённые методы высшего анализа / J1.B. Канторович, В. И. Крылов. JI.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1949. — 695 с.

23. Комаров А. В. О приближении многомерных объектов одномерными: автореферат дис.. канд. физ.-мат. наук / А. В. Комаров. Воронеж, 2003. — 18 с.

24. Комаров А. В. О спектре равномерной сетки из струн / А. В. Комаров, О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Изв. вузов. 2000. — Т. 463, № 4. — С. 23−27.

25. Копытин А. В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми ребрами / А. В. Копытин, B.JI. Прядиев // Вест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2001. -№ 1. — С. 104−107.

26. Копытин А. В. Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях: дисс.. канд. физ.-мат. наук / А. В. Копытин. Воронеж, 2002. — 77 с.

27. Копытин А. В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А. В. Копытин // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIII»: материалы Воронеж. весен, мат. шк. — Воронеж, 2002. — С. 80−81.

28. Копытин А. В. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети / А. В. Копытин, B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк., (дополнит, вып.). Воронеж, 2001. — С. 307.

29. Копытин А. В. Решение волнового уравнения на пространственной сети / А. В. Копытин, B.JI. Прядиев // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2000. — С. 19−23.

30. Кошляков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1962. — 768 с.

31. Куляба В. В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах / В. В. Куляба, О. М. Пенкин // Докл. РАН. 2002. — Т. 386, № 4. — С. 453−456.

32. Микеладзе Ш. Е. Численные методы математического анализа / «Ш. Е. Микеладзе. М.: Гос. издат. технико-теоретич. лит., 1953.527 с.

33. Найдюк Ф. О. Исследование формулы Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. НайдюкВоронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. — Деп. В ВИНИТИ 07.07.03, 23 с. — № 1288-В2003.

34. Найдюк Ф. О. Об аналоге метода Римана для негладких гиперболических уравнений / Ф. О. Найдюк // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 163.

35. Найдюк Ф. О. О методе Даламбера в случае упруго закреплённой струны / Ф. О. Найдюк // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. — С. 41−46.

36. Найдюк Ф. О. О решении волнового уравнения с краевым условием третьего рода /Ф.О. Найдюк // Современные методы в теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. Воронеж, 2002. -С. 106.

37. Найдюк Ф. О. Решение волнового уравнения для нагруженной струны / Ф. О. Найдюк // Международной конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. — С. 149−150.

38. Найдюк Ф. О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе / Ф. О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIV»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2003. — С. 96−97.

39. Найдюк Ф. О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф. О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. — № 1. — С. 115−122.

40. О собственных колебаниях струны с присоединённой массой / Ю. Д. Головатый и др.] // Сиб. мат. журн. 1988. — Т. 29, № 5. — С. 71−91.

41. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А. В. Боровских и др.] // Докл. РАН. -1995. Т. 345, № 6. — С. 730−732.

42. Олейник О. А. О собственных колебаниях неоднородной струны с конечным числом присоединённых масс / О. А. Олейник, Т. С. Соболева // Успехи мат. наук. 1988. — Т. 43, № 6. — С. 185−186.

43. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов / А. Я. Буничева и др.] // Диф. уравнения. 2001. — Т. 37, № 7. -С. 905−912.

44. Павлов Б. С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б. С. Павлов, М. Д. Фадеев // Теоретическая математ. физика. -1983. Т. 55, № 2. — С. 257−269.

45. Пенкин О. М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах: дисс.. канд. физ.-мат. наук / О. М. Пенкин. Воронеж, 1988. — 89 с.

46. Пенкин О. М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О. М. Пенкин // Диф. уравнения. 1998. — Т. 34, № 10. — С. 1433−1434.

47. Пенкин О. М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О. М. Пенкин // Диф. уравнения. 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1404−1409.

48. Пенкин О. М. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах / О. М. Пенкин, Ю. В. Покорный // Диф. уравнения. 1998. — Т. 34, № 8. — С. 1107−1113.

49. Перловская Т. В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка /Т.В. Перловская // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIV»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2003. — С. 110.

50. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения / Э. Пинни. М.: Изд. иностр. лит., 1961. — 248 с.

51. Покорный Ю. В. Волновое уравнение на пространственной сети / «Ю. В. Покорный, B.JI. Прядиев, А. В. Боровских // Докл. РАН.2003. Т. 388, № 1. — С. 16−18.

52. Прядиев B. J1. О непериодических колебаниях упругих сеток / B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: «Понтря-гинские чтения XI»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2000. — С. 158.

53. Прядиев B.JI. Свойства фундаментального решения смешанной задачи для волнового уравнения на графе / B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 202−203.

54. Прядиев B.JI. Теоремы Штурма для разрывных уравнений на графе / B.JI. Прядиев, М. АбдульмаджидВоронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. — Деп. В ВИНИТИ 15.04.92, 20 с. — № 1288-В92.

55. Прядиев B.JI. Об управлении колебаниями сети / B.JI. Прядиев, Н. В. Глотов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 203 204.л.

56. Прядиев B.JI. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток / t B.JI. Прядиев, А. В. Копытин, А. В. Боровских // Современные методы в теории краевых задач: «Понтрягинские чтения X»: материалы Воронеж, весен, мат шк. — Воронеж, 1999. — С. 198.

57. Прядиев B.JI. О суммировании рядов из синусов некратных дуг / B.JI. Прядиев, Ф. О. Найдюк // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. -Воронеж, 2003. С. 205.

58. Прядиев B.JI. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений / B.JI. Прядиев, С. С. Шаталов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003 — С. 206−207.

59. Рябенький B.C. Об устойчивости разностных уравнений / B.C. Рябенький, А. Ф. Филиппов. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1956. — 171 с.

60. Самарский А. А.

Введение

в теорию разностных схем / А. А. Самарский. М.: Наука, 1971. — 552 с.

61. Самарский А. А. Численные методы математической физики / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М.: Научный мир, 2003. — 316 с.

62. Соболев C.JI. Уравнения математической физики / C.JI. Соболев. -М.- Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1950. 424 с.

63. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I / В. В. Тихомиров // Диф. уравнения. -2002. Т. 38, № 3. — С. 393−403.

64. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II / В. В. Тихомиров // Диф. уравнения. -2002. Т. 38, № 4. — С. 529−537.

65. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1953. -680 с.

66. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки / Ю. В. Покорный и др.] // Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998. -С. 147−148.

67. Функция Грина разрывной задачи Дирихле на графе /Ю.В. Покорный и др.]- Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. — Деп. В ВИНИТИ 03.06.92, 8 с. — № 1836-В92.

68. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research 1994. — V. 80. — 174 p.

69. Ali-Mehmeti F. Splitting of the energy of dispersive waves in a star-shaped network / F. Ali-Mehmeti, V. RegnierUniversity of Valenciennes. Preprint LMACS 99.7. — Valenci., — 2003. — 18 p.

70. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites / Yu.V. Pokorny etc.] // Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Synp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov’s 150-anniversary: Abstr. -St.Petersburg, 1999. P. 140.

71. Kuchment P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. — V. 12. — № 4, P. 1−24.

72. Nicaise S. Approche spectrale des problemes de diffusion sur les reseaux / S. Nicaise // Lecture Notes in Math. 1987. — V. 1235. — P. 120−140.

73. Nicaise S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams / S. Nicaise, O.M. Penkin // Math. Meth. Appl. Sci. 2000. — V. 23. — P. 1389−1399.

74. Pokorny Yu.V. Differential equationc on networks (geometric graphs) / Yu.V. Pokorny, A.V. Borovskikh // J. Mathematical sciences. 2004. -V. 119. — Ж 6, P. 691−718.

75. Pryadiev V.L. On the laplacian spectrum on a graph with commensurable edges / V.L. Pryadiev, A.V. Kopytin // Spectral and Evolutional problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol, 2001. — V. 11. — P. 167 172.

76. The problem of intracellular and extracellular potentials of dendritic trees / Yu.V. Pokorny etc.] // Electrical Activity of The Brain: Mathematical Models & Analytical Methods: Proc. of The 1-st International Symposium. Pushchino, 1997. — P. 22−24.