Математическое моделирование сетеподобных податливых систем на основе теории полуупорядоченных пространств

Актуальность исследования.

Диссертационная работа посвящена разработке новых методов математического моделирования упругих сетеподобных систем. Такие системы очень распространены в строительной практике. Примерами таких систем являются подвесные канатные мосты, системы ферм, балок, решеток и т. д.

Помимо упругих систем задачи о процессах на объектах сетеподобной структуры возникают в самых разных разделах естествознания. Это и процессы в нейронных сетях, в системах волноводов и трубопроводов, акустических труб и в электрических и компьютерных системах и многое другое. Поэтому тема исследования актуальна как с теоретической, так и с прикладной точек зрения.

Актуальность с теоретической точки зрения обусловлена тем, что в настоящее время реальные системы сетеподобной структуры изучены лишь в терминах недавно созданной теории краевых задач на графах. Исследование объекта в этом случае опирается на классические дифференциальные уравнения, описывающие отдельные фрагменты изучаемого объекта.

В данном диссертационном исследовании интегрирование названной разнопорядковой системы дифференциальных уравнений осуществляется с помошью нового предложенного метода функции влияния.

Предметом исследования данной работы являются сложные упругие сетеподобные системы строительной механики, описываемые дифференциальными уравнениями разных порядков.

Целью диссертационной работы является развитие метода функции влияния для исследования математической модели упругой сетеподобной системы, составленной из одномерных континуумов по типу простейшего канатного моста, на основе теории полуупорядоченных пространств.

Научная новизна исследуемого объекта и краткий литературный обзор

Научная новизна исследуемого объекта проявляется уже на уровне построения модели, требует создания новых подходов, которые порождают необходимость разработки новых математических методов для проверки корректности модели, ее качественной адекватности исходной системе, для получения новых знаний об изучаемом объекте.

Современная техническая цивилизация привела к конструкциям композиционного характера, когда объект проектируется и создается в виде системы достаточно простых фрагментов, так или иначе скрепленных в единое целое. При этом оказалось, что свойства всей системы в целом зависят от типа и характера соединений.

К первым математическим идеям анализа подобных задач следует отнести, по-видимому, книгу М. Крейна и Ф. Гантмахера об осцилляционных свойствах малых упругих колебаний стержней, где успешный анализ сопровождался введением новых математических методов и созданием новой теории — теории пространств с конусами.

Особенно актуальной проблема создания математических методов, пригодных для анализа такого рода сложных систем стала к середине XX века. К 80-м годам XX века стали создаваться математические подходы, открывающие пути развития новых средств и методов «синтезирующего анализа» разнообразных моделей, организованных сетеподобным образом (сетки, рамы, решетки, электрические сети, волноводы и прочее). Это новое, но бурно развивающееся направление, опирается на фундаментальные математические идеи, однако связано с пересмотром многих классических концепций.

В работе изучается математическая модель сетеподобно организованного объекта, составленного из одномерных упругих континуумов по типу простейшего канатного моста, где упругие элементы подобны тросам и стержням (балкам), а все сложности анализа порождаются нетривиальными, с математической точки зрения, взаимодействиями этих элементов. Прежде всего, нас интересуют такие математические свойства модели, как ее корректность, т. е. ее однозначная разрешимость при любых естественных значениях внешних параметров, ее устойчивость относительно малых возмущений. С физической точки зрения одним из важнейших свойств является податливость исходной системы, что адекватно построению функции влияния и доказательству ее знакоопределенности. Наличие последнего свойства позволяет использовать для анализа модели фундаментальные математические идеи, в том числе и методы теории полуупорядоченных пространств. Последнее, в свою очередь, дает возможность установить характеристические свойства малых упругих колебаний, показать простоту ведущей собственной частоты и перенести эти свойства на случай нелинейной задачи.

В описании любой задачи, в которой используются числовые параметры, решение, интересующее практику, как правило, должно быть неотрицательным. Если решение характеризуется несколькими параметрами, и каждый из них положителен, то будем называть положительным состояние всего объекта. Такого рода объекты впервые были рассмотрены при анализе разнообразных ситуаций экономического плана, что породило серьезный интерес к особенностям положительных матриц. Появились первые теоремы о спектральных свойствах таких матриц, которые через спектральные свойства положительных интегральных операторов привели к абстрактному свойству положительных объектов и к созданию теории абстрактной положительности, абстрактной полуупорядоченности и абстрактных положительных операторов. Эта теория связана с именами Перрона, Енча, JT.B. Канторовича [20], М. Г. Крейна [35] и М. А. Красносельского [32], [33], [34].

Свойство положительности широко используется и при изучении различных физических объектов. Так, например, гармонические свойства колебаний струны являются, как показал О. Келлог, следствием особой квалифицированной положительности функции влияния.

Положительность функции влияния означает, что при внешнем воздействии на струну во всех точках в одну сторону струна прогибается в ту же сторону. Это естественное свойство называют податливостью. В свою очередь его наличие у объекта означает, что если данный объект соответствующим образом описать в математических терминах и выразить состояние деформированной системы через возмущающее усилие с помощью интегрального оператора, то этот оператор будет обладать свойством положительности: он будет определять положительную реакцию системы на положительное внешнее воздействие.

Для спектральных свойств струны О. Келлогом было показано, что свойство положительности является ключевым для доказательства нетривиальных осцилляционных спектральных свойств. В дальнейшем эта идея была развита М. Г. Крейном. Она позволила установить аналогичные свойства для спектра собственных частот стержня и многоопорной балки. Соответствующие методы, развитые для доказательства этих свойств, явились обобщением идеи О. Келлога и привели Крейна М. Г. к созданию теории положительных операторов в полуупорядоченных пространствах.

Дальнейшее развитие этой теории происходило при активном участии воронежских математиков (школа М. А. Красносельского и его учеников).

В настоящей работе широко используется свойство положительности с опорой на теорию положительных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах. Кроме того, в работе используется понятие графа.

Понятие графа применялось для описания сложных конечных моделей. Первоначально была развита «алгебраическая» теория графов, в которой при анализе процессов характер взаимодействий между элементами считался неизменным. При этом задачи, в которых объекты имели сетеподобную структуру, а соответствующие процессы были наиболее существенными на ребрах, а не в узлах сети, оказались вне поля зрения этой теории. Однако такого рода объекты являются актуальными, например, в инженерно-механической проблематике.

Проведенный нами анализ различных литературных источников не позволяет сказать, что уровень разработанности данной проблемы является достаточным и тем более исчерпывающим. Научного решения требуют такие задачи, где объекты имеют сетеподобную структуру, а соответствующие процессы наиболее существенны на ребрах сети, а не в узлах. Эти объекты оказались вне поля зрения этой теории, но именно они являются актуальными, например, в инженерно-механической проблематике. Решение этой проблемы и составило цель нашего исследования.

Помимо упругих систем задачи о процессах на объектах сетеобразной структуры возникают в самых разных областях естествознания. Это и анализ малых электронных колебаний сложных молекул, и процессы в нейронных сетях, в системах волноводов и трубопроводов, акустических труб и в электрических и компьютерных системах, и многое другое.

Характерной особенностью таких задач является то, что их предметом стал набор дифференциальных уравнений, каждое из которых задано на соответствующем ребре графа.

Эти уравнения естественным образом взаимодействуют между собой. Такого рода объекты появились в публикациях ученых из Воронежа, Санкт-Петербурга, Западной Европы, затем начали появляться работы в японских и корейских журналах. Интерес к изучению данной проблемы возник независимо друг от друга.

На первом этапе на такой объект смотрели как на набор дифференциальных уравнений, решения которых были связаны в узлах. В этих связях основную роль играла матрица графа, именно она участвовала в описании этих условий, указывая, какое ребро с каким связано. Все условия связи считались краевыми условиями. Однако при таком подходе задача оказывалась достаточно трудной для описания, не говоря уже о первичных шагах анализа, потому что первые результаты получались в основном средствами, которые проходили «сквозь» любые краевые условия. Полученные таким образом первые результаты были физически мало ощутимы. Например, при таком подходе оказывалось чрезвычайно трудным установить свойство положительной обратимости, а доказательство податливости системы (положительности функции Грина) для подобных систем оказалось недосягаемым, хотя интуитивно ясно, что объект этим свойством обладает. В самом деле, сетка из упругих струн при воздействии на нее в одну сторону деформируется в ту же сторону, куда направлена внешняя сила. Эта очевидная податливость оказалась в рамках средств, о которых мы упоминали, недостижимой с точки зрения существующих на тот момент математических средств.

Позднее в творческом коллективе Покорного Ю. В. и его учеников были разработаны методы, позволяющие синтетически и достаточно эффективно смотреть на такого рода объекты, как на задачи на графе, результативно изучить аналог задачи Штурма-Лиувилля, рассмотреть свойства упругой сетки из струн. Предложенный подход существенно опирается на идею положительности и теорию полуупорядоченных пространств. Основные результаты работы коллектива под руководством Ю. В Покорного были опубликованы в монографии [60].

Корректность предложенной математической модели обусловлена использованием вариационного принципа, согласно которого реальное состояние системы дает минимум потенциальной энергии относительно всех виртуальных состояний. Такой подход позволяет получить четкое описание деформации каждого фрагмента и строгое обоснование условий взаимодействия отдельных фрагментов. Такие условия мы называем условиями трансмиссии.

В работе показано, что построенная математическая модель является корректной, т. е. однозначно разрешимой при любом внешнем воздействии, при малых усилиях внешних возмущений форма меняется мало. Обсуждается свойство податливости модели, связанная с положительностью соответствующей функции влияния, представляющей аналог функции Грина.

Классическое определение функции Грина напрямую на изучаемую задачу не переносится. Однако, если обозначить через f (x) интенсивность внешней силы, действующей на рассматриваемую систему Г, то форму отклонения и (х) системы от положения равновесия удается описать с помощью интегрального представления в виде и (х)= G{x, s) f (s)ds, г где интеграл по Г понимается как сумма интегралов по всем ребрам. Так как полученное решение задачи представлено через интеграл с помощью функции G (x, s), то по аналогии с математической физикой эту функцию можно тоже назвать функцией Грина, точнее, функцией влияния. В работе доказано существование такой функции. Кроме того, удается доказать непрерывность и положительность функции влияния, благодаря чему найдены важные физические свойства задачи. К ним относится простота ведущего собственного значения, что соответствует простоте частоты главного собственного колебания системы, для которого ведущая амплитудная функция не имеет внутренних точек покоя. При этом для доказательства наличия свойства ведущей собственной частоты и ведущего собственного колебания приходится весьма детально изучать функцию влияния. В частности, доказывать, что соответствующий интегральный оператор вполне непрерывен, м0-положителен, устанавливать оценки функции влияния.

В случае нелинейной задачи при условии, что соответствующая функция f (x, u) монотонна и вогнута по и, имеем интегральный оператор

Gu)(x) — G{x, s) f (s, u (s))ds, г который будет и 0 -вогнутым в терминах М. А. Красносельского [32].

Последнее означает, что проблему собственных функций и собственных значений нелинейной спектральной задачи.

Lu = Xf (x, u) (0−4) можно обсуждать методами глубокой топологической теории. В (0.4) через L обозначен комплекс связей, позволяющих рассматривать зависимость между решением и (х) и внешним воздействием f (x).

Для дальнейшего развития подхода [60] к математическому моделированию сетеподобных упругих систем автором были поставлены и решены следующие частные задачи:

1) построена и изучена математическая модель сетеподобно организованного объекта, составленного из одномерных упругих континуумов (например, по типу простейшего канатного моста);

2) построена и изучена функция влияния для уравнения, описывающего формы упругих систем типа канатных мостов;

3) исследованы свойства математических моделей систем типа простейших канатных мостов.

Методы исследования. Методы исследования математических моделей сетеподобных податливых систем базируются на современном математическом аппарате. А именно: широко применяются вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений в пространствах с конусами, теория нормированных функциональных пространств и теория графов.

Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается математической строгостью проведенных исследований. Все основные результаты, полученные в диссертационной работе, изложены в виде теорем, снабжены точными, подробными доказательствами.

Обоснование математической модели проведено реализацией классических вариационных идей на нестандартном для математики объекте.

Построение и изучение функции влияния осуществлены современными методами анализа, существенно модифицированными для преодоления трудностей, порождаемых особенностями объекта.

Ключевые результаты о податливости модели в форме знакорегулярных оценок функции влияния позволяют использовать методы абстрактной теории уравнений в пространствах с конусами, что приводит к обоснованию физически значимых свойств модели.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес при изучении любого нового класса краевых задач физической природы, поскольку они интересны и значимы с физической и инженерной позиций, а также могут быть использованы при чтении курсов «Инженерные сооружения в транспортном строительстве», «Строительная механика» и при выполнении проектирования инженерных сооружений дорожного строительства для студентов специальности 291 000 «Автомобильные дороги и аэродромы».

Полученные в работе результаты представляют научный и методологический интерес.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на VII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука — региону» (2003г.), на VI Международной конференции «Циклы» (2004г.), на заседании кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета, на заседании кафедры естественно-научных дисциплин Северо-Кавказского гуманитарно-технического института, на зимней и весенней Воронежских математических школах (2005г.).

Результаты исследования нашли отражение в публикациях автора, научно-методических рекомендациях, которые внедрены в образовательный процесс Северо-Кавказского гуманитарно-технического института.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений, списка литературы из 70 наименований и занимает 100 страниц.

Выводы:

В данной главе изучены свойства ведущей собственной частоты для спектральной задачи, представляющей математическую модель малых упругих колебаний простейшего канатного моста. Показано, что эта частота является простой, а соответствующая ей амплитудная функция не имеет узлов внутри Г. Аналогичные свойства, установлены для задачи с вогнутой нелинейностью.

Заключение

.

В диссертационной работе проведены исследования математической модели упругой сетеподобной системы методом функции влияния.

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие основные научные и практические результаты:

1) Построена и изучена модель сетеподобно организованного объекта, составленного из одномерных упругих континуумов по типу простейшего канатного моста.

2) Для этой модели:

• дано вариационное обоснование, мотивирующее адекватность математической модели относительно исходного физического объекта. Показана корректность модели, т. е. однозначная разрешимость математической задачи при любых допустимых значениях параметров и устойчивость решения относительно малых возмущений внешних параметров;

• построена и изучена функция влияния, играющая роль функции Грина. Показано, что однозначно определенная функция влияния G (x, s) позволяет выписать деформацию всей системы в интегральной форме z (x)= $G (x, s) f (s)ds, г где f (s) — интенсивность внешней силы;

• установлены знакорегулярные оценки функции * влияния, обеспечивающие позитивную обратимость исходной задачи в конусе неотрицательных на Г непрерывных функций, в том числе и 0 -положительность (по Красносельскому М.А.) сооветствующего интегрального оператора в пространстве непрерывных на Г функций;

• изучены свойства ведущей собственной частоты для спектральной задачи, соответствующей малым упругим колебаниям исходной системы. Показано, что эта частота является простой, а соответствующая ей амплитудная функция не имеет узлов внутри Г. Аналогичные свойства установлены для задачи с вогнутой нелинейностью.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю кандидату физ.-мат. наук, профессору Галкиной Валентине Андреевне за постановку задач и общие рекомендации к их выполнению, обсуждение полученных результатов, оказанную помощь и поддержку при работе над диссертацией.