Исследование специальных однородных интегральных уравнений второго рода в пространстве счетно-аддитивных функций множества

Теория линейных интегральных уравнений в пространстве счетно-адцитивных функций множества разработана не так систематически, и детально, как, например, теория Фредгольма. Между тем такие уравнения возникают в приложениях, и тогда сказывается вышеупомянутое отсутствие систематичности и детальности теории. В частности, сказывается отсутствие готовых теорем существования и единственности решения. Такая ситуация, возможно, объясняется трудностью применения общих критериев компактности множества и компактности оператора в пространстве счетно-аддитивных функций множества. Эта трудность вызвана, главным образом, несепарабельностью указанного пространства и отсутствием для него удовлетворительного описания сопряженного пространства.

Таким образом, проблема расширения класса исследованных интегральных уравнений в пространстве счетно-адцитивных функций представляется актуальной.

В диссертации рассматриваются следующие интегральные уравнения.

Пусть J — топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, и пусть — борелевская hалгебра в пространстве Введем в рассмотрение пространство с.262] всех вещественных счетно-аддитивных функций множества, заданных на X и имеющих конечную полную вариацию. Обозначим через полную вариацию функции на множестве. Формулой Мог@72)вМ (7″) определим норму в пространстве С такой нормой caCp?) превращается в банахово пространство [i, с .178−17эЗ • Введем далее в рассмотрение пространство в всех ограниченных борелевских функций, заданных в пространстве •.

В настоящей работе рассматривается однородное уравнение второго рода.

9-U.

В отличие от уравнения Фредгольма второго рода [4, с.114] здесь (J является интегральным оператором, действующим в пространстве согласно определению:

Шч)(А) = jK (A, r)(dr), /2/ л Г.

Символ = означает «равно по оцределению». Правая часть равенства /2/ представляет собой обычный интеграл Лебега от функции К (/1?т) по счетно-адцитивной функции множества ^ ^ Функцию К (/?т) называем далее ядром’оператора U -.На ядро К (А)Т) презде всего накладываются следующие три условия:

I) при любом фиксированном Те J ядро является функцией множества, принадлежащей цространству оси ff^X) i {ii) при любом фиксированном ядро является функцией аргумента Ть^Г «принадлежащей пространству B^T^i.

Hi) sa/3 ilt{', tjll (ту) <00 т <ьТ ''.

Из условий (i) — (и с) следует, что интеграл в /2/ существует для всех qtaLfflZ), а оператор U является непрерывным линейным оператором, отображающим пространство ссь^Х) в себя.

Основной текст диссертации состоит из трех глав и заключения.

Основным результатом настоящей работы /глава I/ является теорема 1.5 существования и единственности неотрицательного нормированного /т.е. с нормой ?/ решения уравнения Д/, в котором интегральный оператор U вида /2/имеет ядро К (А}г) вида.

MA,*) ?р (А, Г, а>)Р (с (Ш). /3/.

Здесь Р — нормированная мера, заданная на множествах & -алгебры JD в цространстве Q, а само пространство Р) есть произведение счетного множества «экземпляров» произвольного пространства (SiyO, Р) с нормированной мерой Р. В теореме 1.5 на функцию наложены такие ограничения, из которых следует прежде всего существование интеграла /3/ и справедливость условий (с)-(ССI), а также одномерность линейного многообразия.

Sy ={<* |u?eccb (.

Случай одномерного многообразия /4/ изучался в [2, с.50], где оператор U являлся унитарным оператором в гильбертовом пространстве с конечной мерой ju. Этот оператор порождался некоторым сохраняющим меру ja эргодическим взаимно однозначным преобразованием согласно определению: 9~Uf эквивалентно равенству д (г) -i (H) для ипочти всех.

TtrT. /5/.

Для оператора U вида /5/ из эргодичности преобразования Т следует одномерность многообразия /4/ [i, c.7lo]. В связи с этим несмотря на то, что оператор {] вида /2/ сначала не связан у нас с каким-либо преобразованием, мы называем оператор U вида /2/ эргодическим, если он имеет одномерное собственное подпространство, соответствующее собственному значению! Доказательство теоремы 1.5 опирается на устанавливаемый теоремой 1.2 общий достаточный признак эргодичности оператора U вида /2/ с ядром, которое удовлетворяет условиям (с)-(СсС) но необязательно стеснено ограничением /3//. Доказательство теоремы 1.2 опирается на лемму 1.2.2, связывающую многообразие /4/ с пределами средних yi U ф,^е ссь (7TZ) при п-*со г г в топологии пространства ох (]!Г}?), которую мы назовем 6 ц2)-то-пологией. Эта топология вводится следующим образом. Пусть G (%~I) —подпространство заданных на Z) непрерывных линейных функционалов вида.

J^crjc^ccftr-, «t В /6/.

Поскольку является тотальным подпространством пространства всех заданных на caOTJS) непрерывных линейных функционалов, то можно рассматривать GZ)-топологию простран-: ства 2″) [I, с.453−455], которая оказывается слабее слабой топологии пространства со./заметим, что, по-видимощу, не известно никакого вполне удовлетворительного описания всего пространства ca*(^Z) [I, с.408] /.

В условиях теоремы 1.2 участвуют повторные ядра rW)= JKCAdK^fasc), Г /7/ V.

К г, /в/ которые цри условиях (J-— (ач^ являются ядрами соответствующих П, степеней U, /г= 0Д-. интегрального оператора U вида /2/. Точнее говоря, среди условий теоремы 1.2 участвует сходимость средних TiYLK (s) при любом фиксированном T^f в G (T.Z)-е=о.

— топологии пространства При фигурирующем в теореме 1.2 условии.

Sysm^Y^K' '{• jtJIIccifrZ) <0° ограниченности средних указанная сходимость средних п К vfi) эквивалентна некоторой сходимости средних п U к оператору / проектирования на многообразие /4/. Эта последняя сходимость является сходимостью в топологии пространства непрерывных линейных операторов V’ca (J^Z)—заданной базисом окрестностей вида.

Заметим, что общий’вид условий, которые являются необходимыми и достаточными для такой сходимости, но не имеют прямого отношения к рассматриваемым в настоящей работе вопросам, был установлен^. работе £з 3. Точнее говоря, в работе [3 ]рассматривался оператор Т' С действующий в банаховом пространстве C (S%сех вещественных непрерывных функций, заданных в компактном хаусдор-фовом пространстве % а также сопряженный оператор Т*:CO.)~*са (ZTZ.). Оператор Тназывался в [3] слабо*эр-годическим / wafc* теоцгь engocfLc. /, если имела место сходимость среднихя 2 Г (') в операторной топологии, заданной базисом е=о окрестностей /9/. Основным результатом работы [3 J является Теорема. Для того, чтобы оператор был слабо*" эргодическим, необходимо и достаточно, чтобы для всякого ХеС^У) функционал С^.? вида.

П-4.

СО/ пЦ J (TxXrMck), че cclCZZX о у если предел существует да всех ytcag^Z) / разделял элементы многообразия /4/. п ± Отметим, что сильная сходимость средних Ti иг ЭСпри исследовалась в работах [4−13]и обобщена °в этих работах на произвольные линейные непрерывные операторы в банаховом пространствесходимость же средних в пространстве L с конечной мерой^с исследовалась в работах [14−17]. Нам не удалось, однако, использовать результаты перечисленных работ в настоящей диссертации.

Поскольку б-^ГД^-топология слабее слабой топологии пространства, то операторная топология с базисом окрестностей /9/ слабее слабой операторной топологии [I, с.513] и тем более слабее сильной операторной топологш [I, с.512−513], фигурирующей в эргодической тео]эии [I, V]IJ.5] цри выполняемом там изучении сходимости средних pi к оператору проектирования на многообразие /4/. Наш выбор операторной топологии с базисом окрестностей.

9/ обусловлен тем обстоятельством, что именно в такой оператор/ С*? ной топологии удается вывести сходимость средних к 2Z U из ориентированных на приложения [18−22] условий основной теоремы 1.5. Точнее говоря, условия теоремы 1.5 ориентированы на тот класс интегральных уравнений /I/, к которым сводятся специальные системы однородных интегральных уравнений, возникающие в результате применения интегральных методов теории массового обслуживания [18−22]. Такие системы уравнений рассмотрены в общем виде в главе 2 настоящей работы.

Для иллюстрации использования теоретического материала глав 1−2 в главе 3 дается вывод и анализ системы интегральных уравнений, возникающей в теории массового обслуживания. Приводится несколько примеров расчета системы обслуживания с очередью. Результаты этих расчетов сравниваются с известными.

Заключение

содержит краткую сводку основных полученных результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23−2б| и доложены на расширенных заседаниях отдела математического анализа Института математики и механики УНЦ АН СССР /1983;1984 г. г./- на республиканском научном семинаре «Моделирование и оптимизация систем управления» в Киевском государственном университете им. Т. Г. Шевченко /1983 г./- на научном семинаре кафедры математической теории систем в Харьковском государственном университете им. A.M. Горького /1983 г./- на научном семинаре «Адаптивные системы управления» в Институте кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР /Киев, 1983 г./- на научном семинаре по прикладной теории интегральных уравнений в Институте проблем управления /Москва, 1983 г./- на научном семинаре кафедры вычислительной математики Уральского государственного университета им. A.M. Горького /1984 г./.

В работе принята сквозная нумерация всех лемм, теорем, следствий и определений в пределах каждого параграфа и сквозная нумерация всех формул в пределах каждой главы. Символ Н обозначает конец доказательства.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Ю. И. Алимову за научное руководство, постоянное внимание и всестороннюю помощь в работе, а также доценту Р. М. Эйдинову за многочисленные ценные замечания.

U9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Перечислим основные результаты работы.

1. Введены в рассмотрение эргодические линейные интегральные операторы в пространстве счетно-адцитивных функций множества и доказан достаточный признак эргодичности /теорема 1.2/.

На основе этого признака доказана основная теорема 1.5 существования и единственности неотрицательного нормированного решения специального однородного интегрального уравнения второго рода.

2. Введена в рассмотрение специальная счетная система интегральных уравнений относительно счетно-аддитивных функций множества, эквивалентная рассмотренному в главе I однородному интегральному уравнению второго рода. Доказана теорема 2.2.2 существования и единственности неотрицательного нормированного решения такой системы уравнений.

3. Для иллюстрации использования перечисленных результатов работы построена счетная система интегральных уравнений, описывающая функционирование системы массового обслуживания с очередью /п. 3.1/, и доказаны существование и единственность решения этой системы уравнений /теорема 3.2/. Рассмотрены примеры 3.4.I—3.4.3, в которых удалось найти решение построенной в п. 3.1 системы уравнений в явном виде. В первом примере получены формулы для вероятностей состояния, выведенные ранее в другом стиле Такачем [32]. Во втором примере получена, по-видимому, новая формула, частный случай которой, относящийся к иной математической модели, известен под названием формулы Поллачека-Хинчияа [33, с.252]. В третьем примере получена новая формула.

В п. 3.5 выведены общие выражения для величин типа временных средних. Они применены к первому и третьему примеру. Второй пример здесь попадает в сферу приложения известных косвенных методов вычисления временных средних. В первом примере получены аналоги известных выражений [32], но без требования нерешетча-тости распределения времен между моментами прихода соседних заявок. В третьем примере получена новая формула при нерешетчатом /эрланговском/ распределении времен между моментами прихода соседних заявок.

Hi.