Оптимизация траекторий космических аппаратов с электроракетными двигательными установками методом продолжения

Актуальность применения электроракетных двигательных установок (ЭРДУ) для обеспечения космических транспортных операций с течением времени только возрастает. В самом деле, идея использования электрических ракетных двигателей (ЭРД) и их основного преимущества — высокого удельного импульса тяги — появилась еще в начале 20-го столетия [164, 165, 104]. Исследования возможности применения ЭРДУ для межорбитальных и межпланетных перелетов активно проводятся с начала 1950;х годов по настоящее время (хорошая библиография работ, опубликованных до середины 1970;х годов, приведена в [8]). Собственно электроракетные двигатели начали применяться на космических аппаратах (КА) начиная с 1960;х годов в экспериментальном режиме, а начиная с 1980;х — в составе штатных корректирующих двигательных установок геостационарных КА.

Однако, только с 1990;х годов ЭРДУ стали применяться собственно для межорбитальных и межпланетных перелетов. Первыми КА, использовавшими ЭРД для межорбитального перелета с некоторой промежуточной орбиты на ГСО стали КА на основе космической платформы HS-702 (BS-702), Artemis, AEHF-1, AEHF-2 [144, 116]. Первыми межпланетными КА с маршевой ЭРДУ стали КА Deep Space 1 (пролет астероида и 2 комет), Smart-1 (выведение на окололунную орбиту), Hayabusa (возврат грунта с астероида Итокава), Dawn (последовательный перелет на орбиты вокруг астероидов Веста и Церера) [87, 109, 145, 146]. В настоящее время на завершающей стадии разработки находятся КА с маршевой ЭРДУ BepiColombo (перелет на орбиту искусственного спутника Меркурия), Hayabusa-2 (возврат грунта с астероида), ведутся проектные работы по КА с маршевой ЭРДУ TS SM (перелет к Сатурну), «Интергелио-Зонд» (исследование Солнца с близкого расстояния и из внеэклиптических районов) и по другим КА [86, 156, 18].

Как с точки зрения приложений, так и с точки зрения используемых математических моделей можно выделить 3 существенно различных вида космических транспортных операций КА с ЭРДУ: межорбитальные перелеты, перелеты в условиях действия больших внешних возмущений (включая, в первую очередь, перелеты к Луне, к точкам либрации и другие задачи о перелете КА с малой тягой в задаче трех и более тел) и межпланетные перелеты. Все эти типы задач в той или иной степени рассмотрены в данной работе.

Типичные межорбитальные перелеты КА с ЭРДУ характеризуются крайне малым отношением реактивного ускорения к гравитационному ускорению притягивающего центра 9.

— обычно на уровне 10~5−10″ 4. В этих условиях траектории перелета содержат большое количество витков и решения задачи межорбитального перелета близки к асимптотическим (осредненным) решениям. В связи с этим, большинство задач межорбитального перелета КА с маршевой ЭРДУ вполне можно характеризовать как задачи перелета с малой тягой.

Задачи перелета к Луне и точкам либрации (как и другие сильновозмущенные задачи) характеризуются тем, что возмущающие ускорения соизмеримы, а часто и существенно превосходят управляющее реактивное ускорение. Наличие сильных возмущений приводит к специфическим особенностям траекторий перелета КА с ЭРДУ, что совместно с отсутствием (в отличие от случая движения в центральном ньютоновском поле) аналитического решения для пассивного движения КА, приводит к необходимости использования специфических методов для решения таких задач.

На межпланетных траекториях отношение уровня реактивного ускорения ЭРДУ к ускорению от притяжения Солнца в типичных задачах имеет порядок 0.01−0.2, поэтому следует говорить о задаче перелета не с малой, а с конечной тягой. На большой части траектории перелета возмущения слабы, поэтому для расчета межпланетных траекторий КА с ЭРДУ может эффективно применяться метод сфер действия, включая метод точечных сфер действия. Во многих случаях требуется рассмотрение задач перелетов по сложным маршрутам — либо для выполнения целевых задач КА (исследование нескольких небесных тел одним КА с пролетной траектории или с орбиты искусственного спутника, замкнутые перелеты) или для обеспечения возможности реализации транспортной задачи в условиях ограниченности ресурсов КА (гравитационные маневры). Следует отметить, что возможность использования гравитационных маневров рассматривается при анализе большинства современных проектов межпланетных КА с маршевой ЭРДУ [18, 86, 87, 97, 121,124,129−132, 145, 156, 158, 162, 163].

Прикладное значение задач расчета траекторий КА с малой тягой заключается в обеспечении проектно-баллистического анализа КА с ЭРДУ, подготовке исходных данных для проектирования систем КА (бортового комплекса управления, командно-измерительной системы, системы электроснабжения, ЭРДУ, системы обеспечения теплового режима и др.), разработки бортового и наземного программно-математического обеспечения для управления полетом, подготовки полетного задания, сопровождения полета КА с ЭРДУ и анализа телеметрической и целевой информации, полученной с КА.

Целью проектно-баллистического анализа является выбор основных проектных и траекторных параметров КА. Для достижения этой цели необходимо создание соответствующего методического и программного обеспечения. Основой этого обеспечения являются:

• математическая модель движения КА, обеспечивающая вычисление траекторий КА с необходимой точностью при заданных начальных условиях, программе управления и значениях основных проектных параметров КА;

• проектная модель КА, позволяющая рассчитывать основные проектные параметры по ограниченному набору исходных данных, включающих характеристики средств выведения, тягу, удельный импульс и ресурс двигательной установки и т. д.;

• методы оптимизации траекторий КА.

На этапе проектно-баллистического анализа задачи оптимизации траекторий играют особую роль, что связано не только с естественным требованием достижения наилучших характеристик КА, но и с необходимостью достоверно оценивать влияние вариации различных проектных параметров КА на основные характеристики проекта. В самом деле, корректную оценку влияния вариации какого-либо проектного параметра на показатели качества проекта (масса полезной нагрузки, длительность перелета и т. д.) можно получить только при условии оптимальности вариантов траектории КА со сравниваемыми проектными параметрами. В противном случае разница в показателях качества может быть вызвана не изменением проектных параметров, а различной степенью неоптимальности траекторий в сравниваемых вариантах.

Задачи оптимизации траектории и основных проектных параметров во многих случаях не могут быть разделены, что приводит к необходимости решения задачи совместной оптимизации траектории и основных проектных параметров при проведении проектно-баллистического анализа. Траектории перелета КА по условиям движения, составу КА и применяемым для описания движения КА математическим моделям могут разделяться на участки. В этом случае необходимо проведение сквозной оптимизации траектории. Обычно существует множество траекторий, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, поэтому необходимо разработка методического и программного обеспечения для локальной и глобальной оптимизации траекторий.

Традиционно методы решения задачи оптимизации траекторий подразделяются на прямые и непрямые методы. При использовании прямых методов проводится некоторая параметризация управления или разбиение траектории на малые участки с заданным видом программы управления на каждом участке. В результате задача оптимизации траектории сводится к задаче условной минимизации функционала в пространстве большой размерности.

11 при наличии значительного числа ограничений, то есть к задаче нелинейного программирования большой размерности. Эта задача, в свою очередь, может решаться различными методами, наиболее распространенным из которых в настоящее время являются методы последовательного квадратичного программирования (SQP) и дифференциального динамического программирования (DDP) и их модификации: статическо-динамическое программирование (SDC), гибридное динамическое программирование (HDDP) и другие. Этот класс методов с успехом применяется к решению многих задач оптимизации траекторий КА с ЭРДУ [59, 60, 110, 111, 127, 159, 160]. Методы дифференциального динамического программирования и их модификации используют некоторые идеи принципа оптимальности Беллмана, поэтому, в ряде случаев, их можно отнести к классу гибридных методов. Другое большое семейство прямых методов использует различные модификации градиентного метода [8, 17, 123, 124]. Прямые методы обычно слабочувствительны к выбору начального приближения и, во многих вариантах, позволяют достаточно легко вводить в математическую модель движения ограничения на управление и фазовые координаты, а также менять состав самой модели движения включением в нее дополнительных возмущающих ускорений. Типичными недостатками прямых методов являются чрезвычайно большие требования к вычислительной производительности, невысокая скорость сходимости и, во многих случаях, невысокая точность, связанная с упрощенным моделированием динамики движения КА на отдельных участках траектории (во многих методах фактически используется схема интегрирования Эйлера, в некоторых других тяга ЭРДУ моделируется импульсным приращением скорости на малом участке траектории и т. д.).

В непрямых методах используются необходимые и/или достаточные условия оптимальности в классической вариационной форме, форме принципа максимума Понтрягина, условий оптимальности Беллмана или Кротова [1, 4, 7, 11, 22, 25, 30−38, 45−52, 58, 77−81, 91, 98, 102, 106−108, 133−135, 139, 147, 154]. При использовании непрямых методов в типичном случае задача оптимизации траектории сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта краевая задача решается либо каким-либо специфическим методом для решения краевых задач (например, методом стрельбы или квазилинеаризации), либо общими методами решения систем нелинейных уравнений (например, модификациями метода Ньютона-Рафсона или метода продолжения), либо методами минимизации взвешенной суммы невязок краевой задачи (например, вариантами градиентных методов). Непрямые методы обладают высоким быстродействием, хорошей (в типичном случае — квадратичной) скоростью сходимости и обеспечивают высокую точность вычислений. Однако, типичные непрямые методы имеют ограниченную область сходимости и в связи с этим для их успешной работы требуется, как правило, выбор хорошего начального приближения для неизвестных параметров краевой задачи.

Наконец, разработано множество гибридных методов, сочетающих особенности прямых и непрямых методов, например [92, 126, 143], в которых необходимые условия оптимальности используются для параметризации управления через сопряженные переменные, но затем проводится прямая минимизация функционала методами нелинейного программирования. Основным стимулом для разработки гибридных методов является стремление совместить преимущества прямых и непрямых методов и избавиться от их недостатков.

Следует также отметить существование ряда специфических методов, основанных на линеаризации уравнений движения К, А с ЭРДУ. Это широко известный метод транспортирующей траектории [4], его развитие для задач с произвольной угловой дальностью [50, 51], известное решение для линеаризованных в окрестности круговой орбиты уравнений движения КА с идеально-регулируемым двигателем [80], метод выбора управления на основе решения задачи линейного программирования [53]. Другим интересным направлением является использование обратных задач динамики с целью определения траекторий начального приближения [85, 128−132] и использование различных эвристических методов (генное программирование и т. д.) [158, 162, 163]. С помощью таких подходов в ряде задач удается построить эффективные эвристические алгоритмы глобальной оптимизации.

В настоящей работе рассматриваются задачи оптимизации траекторий КА с малой и конечной тягой с использованием непрямого метода, основанного на принципе максимума J1.C. Понтрягина [43]. Следует отметить, что всюду в дальнейшем в этой работе оптимальными называются траектории, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности принципа максимума, то есть экстремали Понтрягина. Принцип максимума позволяет свести бесконечномерную задачу определения оптимальных программ управления вектором тяги ЭРДУ КА к конечномерной краевой задаче небольшой размерности для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, принцип максимума обеспечивает методическую основу для построения быстродействующих (по сравнению с прямыми методами) численных методов решения задач оптимального управления.

Однако, численным методам, основанным на применении принципа максимума свойственен и ряд существенных недостатков, к числу которых следует отнести:

— ограниченность области сходимости решения, что приводит к необходимости поиска хорошего начального приближения перед решением задачи оптимизации;

— высокую чувствительность траекторий к вариациям неизвестных параметров краевой задачи принципа максимума;

— отсутствие (в подавляющем большинстве случаев) информации о существовании и количестве экстремальных решений перед началом решения задачи;

— скачки в матрице частных производных от невязок краевой задачи по неизвестным параметрам краевой задачи при смене структуры программы управления на траектории (последовательности пассивных и активных участков в задачах оптимизации траектории с переключениями тяги), которые могут приводить к отказам численных методов решения задачи;

— сложность математической модели оптимального движения КА (совместной системы дифференциальных уравнений для фазовых и сопряженных переменных) для возмущенных задач оптимального управления, так как требуется вычисление частных производных от возмущающих ускорений по фазовым переменным в то время, как сами возмущающие ускорения часто необходимо вычислять не по конечным формулам, а с помощью некоторых итерационных алгоритмов.

Перечисленные недостатки до настоящего времени являются основными причинами, по которым многие авторы предпочитают использовать прямые методы оптимизации траекторий КА с малой тягой. Как правило, при использовании прямых методов достаточно легко вводить в рассмотрение произвольные возмущающие факторы и проще обеспечить сходимость решения. Однако эти преимущества достигаются за счет значительного увеличения объема вычислений (а, следовательно, и времени вычисления — оно обычно на порядки больше, чем при решении непрямыми методами) и снижения точности решения задачи. При проведении проектно-баллистического анализа часто приходится вычислять сотни и тысячи оптимальных траекторий, поэтому вычислительная производительность применяемого метода является одной из важнейших его характеристик.

Последние достижения в прикладной вычислительной математике позволяют по-новому подойти к непрямым методам решения задач оптимального управления на основе принципа максимума и, в значительной степени исправить перечисленные выше недостатки построенных на их основе численных методов, сохраняя высокую вычислительную производительность и точность вычислений.

Например, для расширения области сходимости численного метода решения краевой задачи принципа максимума предлагается использовать метод непрерывного продолжения (или метод ньютоновской гомотопии), позволяющий формально редуцировать краевую задачу к задаче Коши. Различные варианты реализации такого метода, разработанные автором [30, 32−37, 133−135], являются основой настоящей работы. На основе этих методов разработаны методики, позволяющие оптимизировать отдельные типы задач без выбора начального приближения (точнее, при использовании тривиальных начальных приближений) для неизвестных параметров краевой задачи.

Как отмечалось выше, при решении задачи оптимизации траектории КА с малой тягой во многих случаях отсутствует априорная информация о существовании оптимального решения. Однако решение задачи о перелете КА с ЭРДУ ограниченной мощности (ОМ), которое существует для любых несингулярных краевых условий, во многих случаях дает достаточно информации о существовании решения аналогичной задачи для КА с ЭРДУ ограниченной тяги (ОТ). Поэтому предлагаемый в работе метод продолжения ОМ-решения в ОТ-решение во многих случаях позволяет решить вопрос о существовании ОТ-решения после вычисления ОМ-решения перед началом следующего этапа продолжения. В этой работе ОМ-задачей называется задача о перелете КА с идеально-регулируемым двигателем, когда ограничена только реактивная мощность струи ЭРДУ, а ОТ-задачей — задача о перелете КА с ЭРДУ, регулировочные характеристики которого зависят от потребляемой мощности (частным случаем ОТ-задачи является задача о перелете КА с ЭРДУ с нерегулируемой тягой и скоростью истечения).

Для снижения чувствительности траекторий к вариациям неизвестных параметров краевой задачи принципа максимума в ряде задач используется разбиение траектории на участки (например, между гравитационными маневрами) и предлагается специальная схема выбора состава неизвестных параметров краевой задачи.

Условия оптимальности траектории могут удовлетворяться на некотором множестве неизвестных параметров краевой задачи, причем каждому набору неизвестных параметров из этого множества будет соответствовать локально-оптимальная траектория, характеризующаяся определенным показателем качества (длительностью перелета, конечной массой КА и т. д.). Например, для многовитковых перелетов КА с постоянной тягой существует множество локальных экстремумов, соответствующих разной угловой дальности перелета. В работе предлагается метод продолжения по угловой дальности, позволяющий определять оптимальную угловую дальность для многовиткового перелета за минимальное время, а следовательно, и глобальный экстремум.

Скачки в элементах матрицы чувствительности (частных производных от граничных условий по параметрам краевой задачи) из-за появления или исчезновения активных или пассивных участков являются одной из фундаментальных причин отказов традиционных численных методов при решении задачи оптимизации траектории с переключением тяги. В работе предлагается метод «естественного» сглаживания релейной функции тяги, основанной на свойствах функции переключения, обеспечивающий сглаживание скачков в элементах матрицы чувствительности и позволяющий, таким образом, надежно определять оптимальную структуру траектории.

Решение проблемы сложности вывода дифференциальных уравнений оптимального движения в возмущенных задачах уже было найдено в работе [71], где для определения правых частей дифференциальных уравнений для сопряженных переменных предложено использовать метод комплексного шага [113, 114, 152], который используется для высокоточного вычисления частных производных от гамильтониана по фазовым переменным. Таким образом, при использовании предложенного метода, для разработки математической модели оптимального управления в возмущенной задаче дополнительно требуется только создание алгоритмов для вычисления возмущающих ускорений, как и при использовании прямых методов. В работах автора [32, 133] представлен новый метод продолжения для решения задач оптимизации ОТ-траекторий с использованием метода комплексного шага для высокоточного вычисления матрицы частных производных от невязок краевой задачи принципа максимума по ее неизвестным параметрам.

Совокупность перечисленных новых разработок позволила существенно расширить область использования непрямых методов оптимизации и преодолеть типичные для них недостатки.

В настоящей работе основной акцент сделан на последовательном применении методов численного продолжения по параметру для решения разнообразных задач механики полета КА с ЭРДУ. К числу рассматриваемых задач относятся задачи оптимизации прямых межпланетных перелетов КА с двигателями ограниченной мощности или ограниченной тяги, межпланетных перелетов таких КА при использовании гравитационных маневров, многовитковых межорбитальных перелетов КА с ЭРДУ ограниченной тяги.

В результате работы удалось разработать комплекс методов численного продолжения для решения широкого спектра задач оптимизации траекторий КА с ЭРДУ с улучшенными характеристиками в части сходимости и быстродействия. В некоторых из этих методов используется тривиальное начальное приближение для неизвестных параметров краевой задачи принципа максимума, то есть достигнута практическая автоматизация процесса определения решения.

Актуальность представляемой работы определяется:

• расширением области применения электроракетных двигательных установок (ЭРДУ) в современных и перспективных космических проектах,.

• необходимостью дальнейшего развития механики космического полета с малой тягой как раздела механики,.

• необходимостью разработки быстродействующих и устойчивых методов оптимизации и проектирования траекторий КА с ЭРДУ, которые могли бы быть использованы в практической работе проектных и баллистических подразделений предприятий-разработчиков КА и эксплуатирующих организаций.

Основными целями диссертационной работы является является повышение эффективности выполнения космических транспортных операций с использованием ЭРДУ, а также разработка и совершенствование теоретических и методических основ механики полета КА с ЭРДУ.

Достижение сформулированных целей потребовало решения следующих научно-технических задач:

— разработки математических моделей оптимального движения КА с ЭРДУ;

— разработки комплекса методов продолжения для решения задач оптимизации межпланетных и межорбитальных траекторий КА с ЭРДУ;

— исследования фундаментальных закономерностей оптимальных траекторий и оптимальных программ управления КА с ЭРДУ, включая проведение анализа зависимости основных характеристик оптимальных траекторий и программ управления вектором тяги ЭРДУ от граничных условий и основных проектных параметров КА;

— разработки на основе анализа свойств оптимальных траекторий устойчивого, близкого к оптимальному управления КА с ЭРДУ с обратной связью;

— разработки метода оптимизации комбинированных схем выведения КА с ЭРДУ на рабочие орбиты;

— разработки метода для расчета квазиоптимальных траекторий перелета КА с ЭРДУ к Луне и точкам либрации.

Метод проведения исследования — расчетно-теоретический. Для редукции задачи оптимизации траектории КА с ЭРДУ к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений используется принцип максимума Л. С. Понтрягина. Полученная краевая задача с помощью метода продолжения по параметру, основанного на ньютоновской гомотопии, сводится к задаче Коши, решение которой находится численным интегрированием вложенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (внутренняя система — дифференциальные уравнения оптимального движения КА, внешняя система — дифференциальные уравнения метода продолжения). Для решения ряда задач оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов используется метод осреднения. Для исследование свойств оптимальных траекторий и программ управления используется численное моделирование. Для синтеза квазиоптимального управления с обратной связью и метода оптимизации комбинированных схем перелета КА с ЭРДУ используются асимптотические свойства, симметрии и свойства подобия невозмущенных оптимальных траекторий. Для моделирования возмущенных траекторий используются методы численного интегрирования уравнений возмущенного движения и статистическое моделирование. При расчете межпланетных траекторий используется метод точечных сфер действия.

Объектом исследования являются траектории КА с ЭРДУ.

Предметом исследования являются математические модели оптимального движения КА с ЭРДУ.

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующем:

1 Развита научная и методическая база для оптимизации межпланетных и межорбитальных перелетов КА с ЭРДУ. В частности, разработана серия новых вариантов метода продолжения, предназначенных для решения типовых задач оптимизации траекторий КА с ЭРДУ, включая.

1.1 Метод продолжения по краевым условиям для решения задачи оптимизации траекторий КА с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности;

1.2 Метод продолжения по гравитационному параметру для решения задачи оптимизации траекторий КА с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности с заданной угловой дальностью;

1.3 Метод продолжения оптимальной траектории КА с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности в оптимальную траекторию КА с двигателем ограниченной тяги;

1.4 Метод продолжения решения задачи Ламберта в оптимальную траекторию КА с двигателем ограниченной тяги;

1.5 Метод оптимизации траекторий КА с двигателем ограниченной тяги с гравитационными маневрами;

1.6 Метод продолжения для оптимизации осредненных многовитковых траекторий КА с двигателем ограниченной тяги;

1.7 Метод продолжения для оптимизации неосредненных многовитковых траекторий КА с двигателем ограниченной тяги с возможностью оптимизации угловой дальности перелета;

2 Проведен качественный анализ свойств экстремалей Понтрягина в задачах оптимизации многовитковых траекторий КА с двигателем ограниченной тяги, включая задачи минимизации времени перелета и минимизации затрат рабочего тела.

3 Разработан устойчивый, близкий к оптимальному метод управления с обратной связью, обеспечивающий перелет КА с двигателем ограниченной тяги по многовитковой траектории между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами;

4 Разработан метод расчета квазиоптимальных траекторий перелета КА с двигателем ограниченной тяги к Луне и к точкам либрации.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

1 Разработана научно-методическая основа для решения задач проектно-баллистического анализа КА с ЭРДУ, включая математические модели оптимального движения КА с ЭРДУ, численные методы оптимизации межпланетных и межорбитальных траекторий и результаты анализа свойств оптимальных траекторий КА с ЭРДУ.

2 На основе разработанных математических моделей и численных методов разработан комплекс программно-математического обеспечения для оптимизации межпланетных и межорбитальных траекторий.

3 На основе анализа свойств решений многовитковых траекторий КА с ЭРДУ и с использованием заранее рассчитанных массивов оптимальных решений, разработан новый, простой в применении метод для быстрой оптимизации основных параметров комбинированных схем выведения КА с ЭРДУ, в которых последовательно используются двигательные установки большой тяги для выведения КА на некоторую эллиптическую промежуточную орбиту, а затем ЭРДУ для довыведения КА с этой орбиты на целевую круговую орбиту, например, на ГСО.

4 Разработан новый, близкий к оптимальному, метод управления с обратной связью, устойчивый к внешним возмущениям, к ошибкам в реализации вектора тяги ЭРДУ и к.

19 ошибкам в определении текущих орбитальных параметров. Этот алгоритм содержит только простые регулярные вычисления, связанные с интерполяцией и тригонометрическими преобразованиями и может быть реализован в составе функционального программного обеспечения бортового комплекса управления КА.

5 Разработана новая инженерная методика для расчета перелетов КА с ЭРДУ к точкам либрации Ы и Ь2 системы Земля-Солнца, к точке либрации Ы системы Земля-Луна и на окололунную орбиту.

6 С использованием разработанных методов и программно-математического обеспечения проведен проектно-баллистический анализ ряда перспективных КА с маршевыми ЭРДУ («Диалог-Э», «Двина-ТМ», «Енисей-А1», «Интергелио-Зонд», «Лаплас», перспективные КА для лунной и марсианской пилотируемых программ и другие).

Достоверность полученных результатов подтверждается:

— использованием строгих математических методов при выводе уравнений разработанных методов оптимизации;

— сравнением решений, полученных в диссертации, с решениями, полученными другими методами и другими авторами;

— численным моделированием с использованием различных математических моделей движения.

Реализация результатов работы. Полученные теоретические, методические и практические результаты использовались при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ, в частности, в ОАО «ИСС им. акад. М.Ф. Решетнева», ФГУП «НПО им. С.А. Лавочкина», ФГУП «ГКНПЦ им. М.В. Хруничева», ФГУП «ОКБ Факел», в НИИ ПМЭ МАИ, ФГУП «ЦНИИмаш», МАИ.

Апробация работы проведена на множестве международных и российских конференций, включая 45−48,51,52,56,57,60−63 конгрессы Международной астронавтической федерации, 3 и 4 Российско-Германскую конференцию по электрическим ракетным двигателям и их применению (Штутгарт, Германия, 1994; Москва, 2012), 4 Международный симпозиум по программному обеспечению и методам астродинамики (1САТТ-4, Мадрид, Испания, 2010), 3 Европейскую аэрокосмическую конференцию по аэрокосмическим наукам (Е11СА88−2009, Версаль, Франция, 2009), 5 Международный аэрокосмический конгресс (Москва, 2006), 11 и 12 Международные научные конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2006; 2007),.

Международный симпозиум по глобальной оптимизации траекторий (Нордвик, Нидерланды, 2006), 24 Международную конференцию по элетроракетным двигателям (1ЕРС-95, Москва, 1995), Научные чтения посвященные разработке творческого наследия К. Э. Циолковского (Калуга, 2006), Объединенные Научные Чтения по космонавтике (Москва, 1994; 1995; 2009), Международный симпозиум по оптимизации траекторий с малой тягой (ЬОТ118−2, Тулуза, Франция, 2002), 17 Международный симпозиум по динамике космического полета (КЭРБ-17, Москва, 2003), Глобальная конференция по использованию Луны (ОШС-2010, Пекин, КНР, 2010) и на других. Результаты работы представлялись на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, ИКИ РАН и кафедры 601 МАИ, на НТС НИИ ПМЭ МАИ, ЦНИИмаш и НПО им. С. А. Лавочкина.

Личный вклад и публикации. Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором. Основные результаты опубликованы в 50 работах [13, 14, 18−21, 23,26, 28,30−42, 44, 74, 75,77, 96−98, 100, 102, 103, 106−108, 115, 118, 119, 121, 133−142, 166], из которых 12 [18−20, 23, 26, 31, 32, 34−36, 41, 42] - в изданиях из списка ВАК Минобрнауки России и 7 [21, 97, 98, 106, 115, 139, 166] - в иностранных рецензируемых изданиях.

На защиту выносятся:

1) Комплекс методов продолжения для оптимизации траекторий КА с ЭРДУ ограниченной мощности и ограниченной тяги, включая методы продолжения по конечным условиям, продолжения по гравитационному параметру, продолжения оптимальной ОМ-траектории в оптимальную ОТ-траекторию, продолжения решения задачи Ламберта в оптимальную ОМили ОТ-траекторию, метод продолжения для оптимизации траекторий КА с ЭРДУ с гравитационными маневрами, метод продолжения для оптимизации многовитковых траекторий межорбитального перелета.

2) Результаты качественного анализа свойств экстремалей Понтрягина в задачах оптимизации многовитковых траекторий КА с двигателем ограниченной тяги, включая задачи минимизации времени перелета и минимизации затрат рабочего тела.

3) Метод для быстрой оптимизации основных параметров комбинированных схем выведения КА с ЭРДУ.

4) Квазиоптимальный метод управления вектором тяги ЭРДУ на многовитковых межорбитальных перелетах.

5) Метод расчета квазиоптимальных перелетов КА с ЭРДУ к точкам либрации Ы и Ь2 системы Земля-Солнца, к точке либрации Ы системы Земля-Луна и на окололунную орбиту.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка использованных источников. Диссертация содержит 223 страницы, 111 рисунков, 14 таблиц.

Список использованных источников

содержит 166 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В результате проведенных исследований решена научная проблема разработки эффективных методов оптимизации траекторий КА с ЭРДУ, имеющая важное значение для космической техники.

В диссертации разработана математическая модель, описывающая оптимальное движение КА с ЭРДУ и основанная на использовании необходимых условиях оптимальности принципа максимума. Эта математическая модель позволяет анализировать и проектировать траектории КА с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности и КА с двигательной установкой ограниченной тяги. Введена математическая модель регулировочных характеристик двигателей ограниченной тяги и источника мощности идеально-регулируемого двигателя. Получены уравнения оптимального движения и приведены типовые краевые условия для задач оптимизации траекторий КА с малой тягой.

Развит численный метод продолжения по параметру, основанный на ньютоновской гомотопии между системой нелинейных уравнений краевой задачи принципа максимума и системой нелинейных уравнений с известным решением. Метод позволяет формально редуцировать краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений к задаче Коши, при этом требуется интегрирование вложенных систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрены два варианта метода продолжения: с продолжением только по невязкам краевой задачи и с дополнительным погружением рассматриваемой динамической системы в однопараметрическое семейство, зависящее от параметра продолжения.

Проанализированы различные варианты вычисления матрицы частных производных от невязок краевой задачи по ее неизвестным параметрам. Проведен сравнительный анализ эффективности трех различных методов вычисления этих производных: конечно-разностного метода, метода совместного интегрирования дифференциальных уравнений для элементов матрицы чувствительности с уравнениями оптимальной системы и метода комплексного шага. Показаны преимущества метода комплексного шага.

В работе рассмотрены задачи оптимизации и проектирования межпланетных, межорбитальных траекторий и траекторий перелета к Луне и к точкам либрации.

Межпланетные перелеты.

Разработаны варианты метода продолжения по параметру, которые продемонстрировали свою эффективность для оптимизации траекторий КА с идеально регулируемыми двигателями ограниченной мощности. Метод продолжения по краевым условиям и метод продолжения по гравитационному параметру взаимно дополняют друг друга, позволяя, с одной стороны, варьировать основные проектно-баллистические параметры (дату старта, величину начального гиперболического избытка скорости, продолжительность и угловую дальность перелета), а с другой — использовать тривиальные начальные приближения (например, пассивное движение вдоль орбиты планеты отправления).

Разработанные численные методы непрерывного продолжения были реализованы в ряде программных средств, которые поддерживают оптимизацию ОМ-траекторий в задачах сопровождения и пролета больших планет Солнечной системы, астероидов, комет и небесных тел, определенных пользователем. Типичная оптимизация траектории при использовании разработанных программных средств включает, во-первых, применение метода продолжения по гравитационному параметру для оптимизации траекторий в широком диапазоне по датам старта, времени перелета и угловой дальности. Затем наиболее интересные траектории анализируются с использованием метода продолжения по краевым условиям для анализа зависимости характеристик траектории от начального гиперболического избытка скорости, времени старта и длительности перелета. Одной из основных задач разработанного программно-математического обеспечения является подготовка данных для продолжения ОМ-задачи в ОТ-задачу.

Разработанные методы и программные средства с успехом использовались для оптимизации траекторий КА с постоянной (ЯЭРДУ) и переменной (СЭРДУ) реактивной мощностью, для задач пролета и сопровождения, для центрального гравитационного поля и для задачи трех тел. Реализованные в программных средствах методы продолжения использовались для оптимизации как относительно простых перелетов с малой угловой дальностью, так и многовитковых перелетовдля определения оптимальных траекторий с изменением направления орбитального движения и траекторий с гравитационными маневрамидля оптимизации траекторий между небесными телами с большими эксцентриситетами и наклонениями.

Разработанные методы и программно-математическое обеспечение позволяют оптимизировать практически любые представляющие интерес межпланетные траектории КА с ИР-двигателем ограниченной мощности.

Разработан эффективный численный метод продолжения для оптимизации ОТ-траекторий. В качестве начального приближения для этого метода используется оптимальная.

ОМ-траектория. При использовании разработанных методов для последовательного решения задач оптимизации ОМи ОТ-траекторий, типичные гелиоцентрические траектории с ограниченной тягой могут быть оптимизированы без выбора начального приближения для неизвестных параметров краевой задачи (начальных значений сопряженных переменных).

Разработанные методы были реализованы в виде численных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения, что позволило провести практическую оценку их вычислительной устойчивости и эффективности. По результатам решения серии типичных задач межпланетного перелета было выявлено, что вариант метода продолжения ОМ-траекторий в ОТ-траектории с вычислением матрицы чувствительности методом комплексного шага устойчиво работает, если уровень реактивного ускорения в ОТ-задаче превышает уровень реактивного ускорения в ОМ-задаче не более, чем в 3−5 раз. Максимальная угловая дальность перелета, для которой удалось получить решение, составила около 50 витков. Разработанный метод продемонстрировал свою работоспособность на «околокритических» траекториях, которые характеризуются наличием очень малых активных или пассивных участков, появляющихся или исчезающих при малом изменении краевых условий или параметров КА.

Разработан метод продолжения решения задачи Ламберта в оптимальную ОТ-траекторию.

Разработан метод оптимизации гелиоцентрической ОТ-траектории КА с малой тягой с использованием гравитационных маневров.

На основе разработанных методов создано программно-математическое обеспечение, позволяющее оптимизировать межпланетные траектории КА с ЭРДУ, содержащие несколько гравитационных маневров.

Межорбитальные перелеты.

Разработаны методы оптимизации многовитковых перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами. Для решения задачи оптимального быстродействия используется метод продолжения по параметру. При необходимости, решение этой задачи используется в качестве начального приближения для вычисления траектории с минимальными затратами рабочего тела при заданном времени перелета модифицированным методом Ньютона.

Выявлено существование двух типов экстремалей в задаче перелета за минимальное время между некомпланарными круговыми орбитами. Показано существование критического значения величины угла между плоскостями граничных орбит, разбивающего параметрическое пространство задачи оптимального управления на две области, в одной из которых существует единственный тип оптимального решения, а в другой — оба.

Показано, что при перелете между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами также существует два типа оптимальных по быстродействию траекторий, порожденных соответствующими типами траекторий задачи перелета между некомпланарными круговыми орбитами. Проанализирована структура управления на оптимальной по быстродействию траектории и ее эволюция при изменении начальных условий.

Рассмотрена задача оптимального многовиткового перелета с минимальными затратами рабочего тела. Проанализирована зависимость эволюции структуры оптимальной траектории (расположения активных и пассивных участках на отдельных фазах движения и чередование этих фаз) в зависимости от времени перелета.

Рассмотрена задача оптимизации многовитковых траекторий выведения КА с ЭРДУ на ВЭО. Решена серия задач минимизации времени перелета и массы рабочего тела. Полученные результаты, в силу применения метода осреднения, носят асимптотический характер, и применимы в достаточно большом диапазоне изменения величины начального реактивного ускорения (вплоть до единиц мм/с).

В работе введены понятия фазы траектории и характеристики фазы траектории для облегчения описания структуры многовитковых оптимальных траекторий и их эволюции с изменением продолжительности перелета и граничных условий. Введены два варианта нотаций — «симметричная» и «несимметричная» — для обозначения характеристик фаз траекторий и структуры траектории, рассматриваемой как последовательность фаз. Проведен анализ эволюции структуры оптимальных многовитковых траекторий с низкой круговой орбиты на ВЭО в зависимости от длительности перелета и анализ эволюции структуры перелета с эллиптической орбиты на ВЭО в зависимости от высоты апогея начальной орбиты и продолжительности перелета.

Обнаружен ряд новых эффектов, например, «отрыв» и «дрейф» области апогейных активных участков при перелете с низкой круговой орбиты на ВЭО, двойное изменение знака производной от радиуса перигея по времени в этой же задаче. Проанализированы условия существования несимметричных активных участков и витков с тремя активными участками.

Проведено сравнение полученных численных результатов с оптимальными решениями, полученными другими авторамипоказана близость полученных результатов и относительная малость ошибки, обусловленной применением метода осреднения.

Разработан численный метод для оптимизации неосредненной невозмущенной многовитковой траектории, включающий возможность продолжения решения по угловой дальности и определения глобально-оптимальной угловой дальности перелета.

Получено устойчивое квазиоптимальное управление с обратной связью для перелета между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами, которое может использоваться как в качестве бортового алгоритма для обеспечения автономности КА так и при проведении проектно-баллистического анализа. Для использования такого управления в составе бортовых алгоритмов управления движением КА необходимо иметь бортовой орбитальный прогноз, периодически обновляемый либо средствами автономной навигации, либо с помощью определения траекторных параметров с привлечением наземных средств.

Показано, что предлагаемый алгоритм является устойчивым, то есть обеспечивает наведение КА в окрестность целевой круговой орбиты по квазиоптимальной траектории при действии типовых возмущающих ускорений, при больших отклонениях начальных условий от номинальных значений и при наличии ошибок в реализации вектора тяги. Использование рассмотренного алгоритма приводит к незначительному увеличению времени выведения с начальной орбиты на ГСО по сравнению с оптимальной траекторией. Алгоритм достаточно прост в реализации, основан только на регулярных неитерационных методах вычислений, обладает высоким быстродействием и не требует большого объема памяти.

Разработана методика статистического моделирования траекторий перелета КА с ЭРДУ при использовании квазиоптимального управления с обратной связью с учетом воздействия основных внешних возмущающих факторов, ошибок бортового орбитального прогноза и ошибок реализации вектора тяги ЭРДУ.

Разработан метод быстрого проектно-баллистического анализа комбинированных схем выведения КА с ЭРДУ на круговые орбиты с использованием универсальных таблиц характеристической скорости.

Перелеты к Луне и точкам либрации.

Разработана методики расчета квазиоптимального перелета КА с ЭРДУ между круговыми околоземной и окололунной орбитами, а также между точкой либрации Ы системы Земля-Луна и круговой околоземной или окололунной орбитой. Аналогичная методика применима для расчета квазиоптимальных траекторий перелета между круговой околоземной орбитой и точками либрации Ы или Ь2 системы Земля-Солнце.

Разработана методика проектно-баллистического анализа перелета КА с ЭРДУ между орбитами ИСЗ и ИСЛ.

Разработанные методы и полученные в работе результаты использовались при проектно-баллистическом анализе перспективных КА с ЭРДУ, в частности, в рамках проектов «Диалог-Э», «Двина-ТМ», «Енисей-А1», «Интергелио-Зонд», «Лаплас», перспективных КА для лунной и марсианской пилотируемых программ и других.