О применении конформных отображений к неравенствам в некоторых классах многолистных аналитических функций

В настоящей работе развивается новый подход к изучению свойств многолистных аналитических функций с помощью теории однолистных конформных отображений. Мы получаем новые неравенства для мажорантных аналитических функций, для рациональных функций и полиномов, и для целых функций конечной степени, усиливающие и обобщающие классические и современные результаты такого рода.

В 1889 году, отвечая на вопрос поставленный химиком Д. И. Менделеевым, А. А. Марков [33], [34, с. 51−57] доказал, что если Pn (z) — алгебраический полином степени п, то max Р'(х)<�п2 max Рп (х).

— 1<х<1 1 ~ -1<х<1.

Равенство в этом неравенстве достигается для полинома Чебышёва.

Тп (х) = cosnarccosx, х? [—1, 1].

В 1912 г. С. Н. Бернштейном [3] было получено неравенство для производной от тригонометрического полинома рп (х) пго порядка: max р’п (х)<�п max рп (х). 7Г<�Ж<7Г —7Г<�Ж<7Г.

Данное неравенство легло в основу доказательств обратных теорем С. Н. Бернштейна в теории аппроксимации, т. е. играет основную роль при решении вопросов, касающихся связи между дифференциальными свойствами функции /(ж) и быстротой, с которой стремится к нулю ее наилучшие приближения En (f) при помощи тригонометрических полиномов порядка п. Им пользуются также при изучении сходимости рядов Фурье и рядов, сопряженных с ним.

О роли неравенств Маркова и Бернштейна С. А. Теляковский пишет: «Экстремальные проблемы связанные с неравенствами для производных многочленов, среди основных в теории аппроксимации.. Применение неравенств такого рода — основной метод доказательства обратных теорем в теории аппроксимации. Зачастую дальнейшее развитие обратных теорем зависело от предварительного получения соответствующих обобщений или аналогов неравенств Маркова и Бернштейна» [126].

Экстремальным проблемам для полиномов посвящена обширная литература (см. статьи и монографии [60, 80, 82, 90, 108, 144, 146, 148, 151], а также ссылки в них).

Неравенства А. А. Маркова и С. Н. Бернштейна неоднократно передоказывались и обобщались в различных направлениях. Обобщения касались различных классов алгебраических и тригонометрических полиномов, алгебраических дробей и рационально-тригонометрических функций, целых функций конечной степени и аналитических функций с изолированными особыми точками.

Вместе с дифференциальными неравенствами, важную роль в теории аппроксимации и в ряде смежных областей математики, играют оценки значений функции через значения аргумента и другие параметры (например, теоремы Фрагмена и Линделефа для целых функций).

Примеры эффективных приложений такого рода можно найти в монографиях Н. И. Ахиезера [2], С. Н. Бернштейна [4], Р. П. Боаса [77], И. К. Даугавета [12], В. К. Дзядыка [15], А. Зигмунда [21], И. И. Ибрагимова [22, 23, 24], Б. Я. Левина [30], С. М. Никольского [40], В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева [58]. Оценки такого плана для целых функций находят применение также в теоретической физике [31, 63]. О роли неравенств и экстремальных проблем в математическом анализе говорится в статье С. Н. Бернштейна [5]: «Наиболее плодотворное развитие за последние десятилетия получили те разделы теории функций комплексной переменной, в которых, как в теории целых и мероморфных функций, руководящее место заняли неравенства и связанные с ними различные экстремальные проблемы.. экстремальные неравенства и функции или классы функций, характеризуемые простыми экстремальными свойствами, служат путеводной нитью, направляющей плодотворное развитие анализа.» .

Значимый вклад в изучение экстремальных свойств полиномов, целых функций и их обобщений внесли В. В. Арестов, Н. И. Ахиезер, Н. К. Бари, С. Н. Бернштейн, Р. Боас, В. С. Виденский, Т. Г. Генчев, Н. К. Говил,.

Р. Даффин, В. К. Дзядык, И. И. Ибрагимов, Б. Я. Левин, Н. Н. Мейман, С. М. Никольский, К. И. Рахман, Т. Дж. Ривлин, В. Н. Русак, Г. Сеге, С. Б. Стечкин, А. Шеффер и другие математики. Актуальность исследований такого рода подтверждает большое количество работ выполненных в последнее время. Отметим работы А. Азиза, П. Борвейна, А. К. Вармы, Р. Б. Гарднера, К. К. Девана, В. К. Джайна, Ксина Ли, М. А. Малика, Г. В. Миловановича, К. Мохаммада, Р. Н. Мохапатры, А. А. Пекарского, С. Рушевая, К. Фраппайра, В. М. Шаха, Г. Шмейсера, Т. Эрдейи.

В. Н. Дубинин в работах [16, 17, 18] предложил новый способ получения неравенств для полиномов и рациональных функций, содержание которого, в общих чертах, сводится к следующему. По заданному полиному или рациональной функции строится конформное и однолистное отображение, а затем к этому отображению применяются результаты геометрической теории функций комплексного переменного. Представление о современной теории однолистных функций можно получить из обзорных статей и монографий [25, 91, 136, 137, 157]. Таким образом, открываются новые возможности для изучения экстремальных свойств многолистных функций. В настоящей работе показано, что развивая упомянутую выше технику В. Н. Дубинина и используя хорошо известные результаты теории однолистных функций, можно получить усиления классических и современных неравенств для полиномов, целых функций и их обобщений.

В первой главе настоящей диссертации изучаются аналитические функции, обобщающие известные классы целых функций. Целой функцией конечной степени, а называют целую функцию f (z), для которой In f{z) lim л = а < оо. js|—>оо z.

Величину hm := к ь 1/(^)1 г—оо Т называют индикатором роста функции f (z).

Целую функцию uj (z) конечной степени будем называть функцией класса V, если: a) lu (z) не имеет нулей в открытой нижней полуплоскостиб) Нш{-тг/2)-К{тт/2)>0.

Класс V подробно изучен в книге Б. Я. Левина [30].

Вещественнозначную на вещественной оси функцию в дальнейшем мы будем называть вещественной.

С. Н. Бернштейном было открыто [4, 74] следующее замечательное свойство целых функций конечной степени.

Если целая функция конечной степени, а ограничена на вещественной оси, т. е. f (x) < М, —оо < х < оо, то f'{x) < Ma, -оо < х < оо.

Эта теорема, играющая большую роль в теории аппроксимации (см. [5, с. 132]), вызвала значительный интерес, много раз передоказывалась и обобщалась в различных направлениях. Неравенства в формулировке этой теоремы могут быть записаны в форме х)| < Meiax, f'(x) < (Ме&trade-)', т. е. теорема С. Н. Бернштейна состоит в том, что при указанных условиях неравенство между некоторыми функциями влечет за собой неравенство между их производными. С. П. Бернштейн [4] обобщил свою теорему, заменив функцию eiaz более общими функциями w (z) = eiaztp{z где ip (z) -целая функция нулевого рода, не имеющая нулей в одной из полуплоскостей 5sz <0, 5sz > 0. Н. И. Ахиезер [1] сделал дальнейшее обобщение, заменив функцию.

< |о-(ж)|, -оо < х < оо, следует неравенство ж)| < uj'(x), —ОО < x < оо.

При доказательстве этой теоремы существенно был использован тот факт, что в условиях теоремы выполняется также неравенство в полуплоскости: f (z) <М*)|, ^<0.

Н. Н. Мейман [37, 38] предложил прямо определять соотношение ма-жорантности с помощью неравенств f (z) < w (z), №<Ш, %z< 0, (0.1) и доказал, что если и){z) и f (z)~ аналитические во всей конечной плоскости функции с изолированными особыми точками и uj (z) < oj{z), Qz< 0, (0.2) то из этих неравенств следует неравенство на вещественной оси f'(x) < |о/(ж)|, -00 < х < 00. (0.3).

В этом случае в противоположность предыдущему соотношение ма-жорантности, имевшее место для функций, не возобновляется для их производных, поэтому в формулировке этой теоремы нельзя операцию дифференцирования заменить кратным дифференцированием.

В работе Меймана [38, с. 15] доказывается, что неравенства (0.1) и.

0.2) влекут на интервалах вещественной оси, не содержащих особых точек функций co (z) и f (z), неравенство.

2 2 (1-H2sin27)<(l-I^|2)^, (0.4) где Ж, в (х) = argw (z), ф) = arg.

Будем называть допустимыми однозначные во всей конечной плоскости аналитические функции с изолированными особыми точками. Для допустимой функции f (z) будем полагать по определению f (z) = f (z). В первой главе настоящей диссертации рассматриваются допустимые функции u (z) и f (z) удовлетворяющие условиям.

Ш<�Ш1 f (z) <|сф)|, f (z) 0. (0.5) dx.

В § 1.1 этой главы вводится ряд вспомогательных функций, среди которых конформное и однолистное отображение w = </(?), строящееся по заданным функциям oj (z) и f (z). В §§ 1.2−1.3 приводятся основные результаты, полученные путём применения к указанному конформному отображению геометрической теории функций комплексного переменного. В § 1.2 доказана теорема покрытия следующего характера. В случае вещественной функции /(ж), при > 0 указывается область в единичном круге, содержащая значение f (z)/ui (z) и ограниченная эллипсами с фокусами в точках dz^/uj (z)/w (z), причем устанавливаются все экстремальные функции (теорема 1.1). Теорема 1.1 усиливает неравенство Н. И. Ахиезера [2, с. 343]:.

2f{z).

Данное неравенство уточняется теоремой 1.5, в которой, в частности, для точек, а являющихся кратными нулями дроби oJ (z)/oj (z): доказывается неравенство d{a) + |d'(a)|Sa < 1, где d{z) = 2f (z)/u (z), с выявлением всех экстремальных функций..

Если lo (z) = el (rz, а f (z) — вещественная целая функция степени < и, то согласно теореме 1.1 имеет место неравенство f (z) — 1| + |f (z) + 1| < eicrz + |е-г^|, z Е С..

Это равносильно следующей теореме Р. Боаса [78]..

Теорема А. Пусть f (z) — целая функция степени < сг, удовлетворяющая условию f (x) < 1? — 00 < Ж < оо. Тогда при х, у ЕШ справедливо неравенство eilpf (x + iy) + e~ilpf (x-iy) < 2^/ch2 aysin2 ip, -ir < ip < тт..

Теорема, А была обобщена Т. Генчевым [98, с. 185, 187]:.

Теорема В. Пусть f (z), lo (z) — линейно независимые целые функции конечной степени а, причем lu (z) EV. Тогда условие f (x) < — ОО < X < 00, влечет неравенство f (z — г А) — rf (z + iji) < | uj (z — г’Л) — tu (z + i/i) |, Qz < 0, при любых 0 < /i < A, A > 0, |т| < 1..

В случае [r| = 1, ц = A, = 0 данная теорема усиливается теоремой 1.2, где рассматриваются допустимые функции f (z) и lo (z) удовлетворяющие условиям (0.5). В § 1.3 для таких функций доказывается ряд точных дифференциальных неравенств. В теореме 1.3 для вещественной функции f (x) устанавливаются двусторонние оценки производной f'{x). Неравенство (0.3) улучшается как в случае вещественной функции (следствие 1.1), так и в общем случае (следствие 1.2). Теорема 1.4 и следствие 1.3 улучшают результат Н. Н. Меймана (0.4) в случае, когда функция f (x) вещественна. Полученные неравенства зависят от значения модуля f (z)/u)(z) в нулях дроби uJ (z)/tu (z), причем чем меньше эта величина, тем точнее неравенства по сравнению с результатами Меймана. Отметим следующий результат вытекающий из следствия 1.1..

Пусть f (z) и u (z) — допустимые функции, удовлетворяющие условиям (0.5), причем функция f (z) вещественна. Положим s (x) = t (x) = 5б<-(ж). Тогда при х? Ж, со (х) ф 0, за исключением особых точек функций f (z) и co (z), и любом a G М имеем f{x) + af{x)| < max+ as{x)} + B[t'(x) + at (x)] < u'(x) + аш (х)|, где максимум, для каждого фиксированного х, берется по всевозможным парам вещественных чисел, А и В, удовлетворяющих равенствам.

А2 + В2 = 1, As (x) + Bt (x) = f (x)..

Во второй главе, путем применения результатов главы 1 к специально строящимся мажорантным функциям, получены новые неравенства для полиномов и рациональных функций разных классов..

Для ограниченных на периоде рационально-тригонометрических функций, т. е. являющихся частным двух тригонометрических полиномов, в § 2.1 даются три теоремы: теорема покрытия (теорема 2.1), оценка производной на вещественной оси (теорема 2.2), поведение в полюсах (теорема 2.3), неравенство для коэффициентов (теорема 2.4). Аналогичные результаты для тригонометрических полиномов приводятся в следующем параграфе..

Теорема 2.8 усиливает теорему, А в том случае, когда целая функция является тригонометрическим полиномом, причем устанавливаются все экстремальные функции. Отметим, что для тригонометрических полиномов теорема, А была доказана независимо К. Дочевым [13]. Из данной теоремы он вывел следующий результат:.

Теорема С. Если алгебраический полином pn{z) = cnzn + cn-iz71'1 + • • • + с0, cj е 1, сп ф 0, удовлетворяет условию.

Рп (ж)|<1, -1 < ж < 1, то при отображении w = Pn{z): образ каждого эллипса.

Er = {z: |2−1| + |2 + 1| =R+1/R], R> 1, лежит внутри эллипса Ецп. Экстремальным является случай, когда Pn (z) совпадает с полиномом Чебышёва Tn (z)..

Этот результат усиливается и дополняется следствием 2.3, где в зависимости от коэффициента сп указывается кольцо, ограниченное эллипсами и содержащее указанный в теореме С образ, причем доказывается единственность экстремального полинома..

Отметим, что теорема С и следствие 2.3 при комплексных коэффициентах полинома Pn{z) неверны. В этом случае справедливо неравенство max Pn (z) < Rn, z&ER установленное С. Н. Бернштейном на основании принципа максимума [4, с. 74]. Известно, что эта оценка не точна. В работе Фраппайра и Рахмана [95, теоремы 2, 3] доказываются более точные неравенства: max|P"(*)|< Rn zGER I 4 max Pn (z) < l (Rn + Rn-2) +^Rn-4. zeER 2 4.

Из оценок данной величины снизу известен результат М. А. Куази [138, с. 341]:.

Если в условиях теоремы С полином Pn{z) имеет все свои нули на отрезке [—1,1], то справедливы точные неравенства.

В? + 2|А|Д + +. max Pn (z) > -тгтт—' N ^ > —-, A =-. zeER 2(|A| + 1) R J 2 J ' ncn.

Различные экстремальные оценки, касающиеся образа полинома с ограничением на отрезке или на эллипсе, можно найти также в работах [81, 96, 117]..

Теорема 2.4 усиливает и обобщает на рационально-тригонометрические функции классический результат JI. Фейера [92] для коэффициентов тригонометрического полинома: теорема d. Если тригонометрический полином п fn (t) = cos jt + bj sin it), dj, bj G 1, an + bn ф 0, (0.6) j=o удовлетворяет условию fn{t) < 1, t G M, mo an + ibn < 1..

Равенство имеет место только для полиномов вида fn (t) = ancosnt + bns’mnt, ап, bn G M, а2п + Ь2п — 1..

Отметим, что неравенству JI. Фейера предшествовал результат П. JI. Чебышёва [61]:.

Полученные усиления неравенств Фейера и Чебышёва имеют вид: теорема 2.10, следствие 2.16). Интересно заметить, что неравенство В. А. справедливое в условиях теоремы С, при к = п — 1 эквивалентно неравенству.

Неравенства для коэффициентов полиномов представляют интерес в настоящее время [67, 94, 104, ИЗ, 125, 127, 140, 150, 158]..

Классическое неравенство А. А. Маркова [34, с. 51] усиливается следствием 2.14 в зависимости от старшего коэффициента полинома..

Неравенства для рациональных функций, обобщающие широко известные неравенства для полиномов, были получены и существенно использовались в теории аппроксимации [132]. В последнее время уделяется большое внимание точным оценкам [32, 39, 56, 70, 71, 83, 106, 107, 119, 120,.

Аналог неравенства А. А. Маркова для алгебраических дробей был установлен Г. Мином [128, с. 157]: теорема е. Пусть {а^}&trade-=1 — последовательность элементов множества С [—1, 1] такая, что алгебраический полином ~~ aj) имеет вещественные коэффициенты. Положим.

В условиях теоремы С сп <2п.

К + гЬп+ <1? п>2 сп + сп¹<2п~1.

Маркова [35, 130]:.

Р"(Ж)|<�Т"(1), -1<*<1, сп + cn-i/n < 2n1..

121, 129]..

Тогда для функции.

R (x) = Рп (ж).

Y[nj=l{x-ajY где Pn (z) — вещественный алгебраический полином степени п, имеем max R'(x) < 2 max Вп (х)2 max R (x)..

-1<�®<11.

Следствие 2.1 улучшает этот результат в зависимости от полюсов aj и роста функции R (z) в близи этих полюсов..

В работе [84, теорема 3.1] П. Борвейн, Т. Эрдей и Д. Занг обобщили классическое неравенство Бернштейна-Сеге [4, с. 167] для производной тригонометрического полинома на один класс рационально-тригонометрических функций, доказав следующую теорему. теорема F. Принимая обозначения теоремы е положим.

Bn{t)=Bn{cost)..

Тогда для функции т — Mt).

Щ=1 (cos*-а,)' где pn (t) — вещественный тригонометрический полином порядка п, выполняется точное неравенство f (t)2 + B2n (t)f (t) < B2n (t) max |/(f)|, t G M..

Теорема 2.2 улучшает этот результат и обобщает его на класс рационально-тригонометрических функций, ограниченных на периоде. Эта теорема содержит также результат В. Н. Дубинина для алгебраических дробей на окружности [18, теорема 2]. Аналог теоремы 2.2 для тригонометрических полиномов имеет вид (теорема 2.9): В условиях теоремы С.

1Ш <["-! + (.

Это неравенство впервые получено В. Н. Дубининым в работе [16, с. 56] и представляет собой усиление классического неравенства Бернштейна-Сеге. Следствие 2.4 теоремы 2.9 уточняет следующее известное неравенство С. Б. Стечкина [59]..

Для тригонометрического полинома fn (t) порядка п max|f'n (t) < п max |fn (t + h) — fn (t), 0 < h < 2тг/п..

2 sin (n/.

Во втором параграфе главы 2 доказано Следствие 2.10. Если полином.

Р2п (0 = С2 пС2П + Cs.-iC271−1 + ¦ ¦ ¦ + Со, neN, имеет нули в точках (= ±1, и max |Р2п (()| — 1? то.

Kl=i max ICI=i.

С2−1 П ~ 1 + л/1С2п[ + Ы П 2 — 2'.

Знаки равенства имеют место для полинома P2n (() = (C2n ~~ 1)/2..

Этот результат улучшает верхнюю грашщу в неравенстве В. И. Смирнова [58, с. 341]: 1.

Р2п (() (2−1.

ПРИ ^ < ip < 7 Г —? п.

2| sin cpj — ли, — ¦ ¦ ^(ti ^.

При 7 Г — ^ < < 7 Г Г" 2 sin nip 2 sin.

2n' 2те.

С = e'*, ^ e [-7Г, 7Г]..

Аналог следствия 2.10 для рациональных функций доказан в первом параграфе второй главы — следствие 2.2..

Из современных работ, посвященных неравенствам на окружности для полиномов с предписанным нулем, отметим статьи [65, 89, 115]..

Следствие 2.13. Если алгебраический полином.

Pn{z) = Cnzn + Cn-iZ" -1 + • • • + со, сп ф 0, (0.7) удовлетворяет условию.

Wl~x2Pn{x) <1, ®G[-1, 1], то.

Р{х) <п +.

Сп.Х п +1, же [-1,1]..

0.8).

Знаки равенства в неравенствах (0.8) имеют место для полинома Че-бышёва 2-го рода в точках х — ±1..

Следствие 2.15. Если полином вида (0.7) удовлетворяет условию рп (х) < а/1-*2, *е[-м], то при х 6 [-1, 1] имеем.

1 < (п — 2)(1 + х) + у ^ (|Tn-i (z)|½ + кГ/2) < 2(п — 1). (0.9).

Знаки равенства в неравенствах (0.9) имеют место для полинома.

Pn (z) = (I — z2) Un-2(z) в точках х = ±1. Здесь Tni (z), Un-2{z) — полиномы Чебышёва 1-го и 2-го рода..

Следствие 2.15 улучшает результат К. И. Рахмана [142], которому принадлежит соотношение между левой и правой частями (0.9). Соотношение между левой и правой частями (0.8) — это классическое неравенство Шура [152]. Неравенства для полиномов с такими ограничениями восходят к известной задаче Турана и вызывают большой интерес [99, 131, 133, 134, 145, 156]..

В теоремах третьего параграфа главы 2 доказываются дифференциальные неравенства для тригонометрических полиномов, связанных соотношениями мажорантности..

В. И. Смирнову [58, с. 371] принадлежит следующий результат..

ТЕОРЕМА G. Пусть P (z) — алгебраический полином с нулями в полуплоскости Qz > 0, и пусть п.

Fn (t) = Y^ ajeikti 0,-п Ф 0, Fn (t) ф 0 при > 0. k=—n.

Если тригонометрический полином fn (t) порядка п таков, что.

Ш < Fn{t)l te R, то р (i) т dtj lb®.

Qt> 0..

Простое доказательство этой теоремы дано Т. Г. Генчевым в работе [10, теорема 3]. Приведенная формулировка взята из работы Генчева (в теореме Смирнова выписаны также все экстремальные функции)..

Теорема 2.11 и следствие 2.17 уточняют и дополняют теорему G. Как следствия теоремы 2.11 получены неравенства для алгебраических полиномов и алгебраических дробей (теоремы 2.12, 2.13). Теорема 2.13 улучшает следующий результат С. Н. Бернштейна [75]..

Теорема Н. Пусть Мп (х) и Nn-i (x) — вещественные алгебраические полиномы степеней соответственно п и п — 1, все нули которых лежат на (—1, 1) и взаимно разделены, и пусть Рп{х) — алгебраический полином степени < п. Тогда условие.

Рп{х) < Mn (x) + Wl-x2Nn^(x)l х G [-1, 1], влечет неравенство.

К (х) <{Mn (x)+iy/l-x2Nn-1{x)}'1 хе (-1, 1). Равенство достигается только для полиномов Pn (t) = 7]Mn (t), r) = 1..

Обобщение этой теоремы, принадлежащее В. И. Смирнову, можно найти в книге [58, с. 367]. Имеет место следующий результат В. Н. Русака [55, с. 5], [56, с. 8]..

Теорема I. Пусть h2П (%) = (ж — ai) ~ положительный на отрезке [—1, 1] алгебраический полином степени 2п, и пусть Рп (х) — вещественный алгебраический полином степени п, такой, что.

Рп (х) < у/Щх), ж е [-1, !]•.

Положим.

-1 где В2п{%) ~ функция из теоремы Е. Тогда для функции гп (х) = Рп (х)/Jh2n{x) справедлива оценка.

К (ж)| <^1-г2п (х)У2п{х), х&euro-[-1,1]. (0.10).

Равенство достигается только в точках, где |гп (ж)| = 1, и для функций rn (x) = icos</?2n (х) во всех точках..

Отметим, что оценке (0.10) предшествовал результат В. С. Виденского [8], в котором вместо множителя у 1 — г%(х) была единица..

Результат Русака усиливается и обобщается теоремой 2.12, где вместо полинома h2П (х) степени 2п рассматривается полином hm (х) степени т < 2п, а экстремальная функция выписывается в простом явном виде..

Неравенствам для алгебраических и тригонометрических полиномов, мажорируемых другими полиномами, посвящены работы [14,124,149,153]..

В монографии [54] И. И. Привалов установил, что если тригонометрический полином fn (t) порядка п удовлетворяет неравенству.

1Ш<1, -v < v < 7 Г, то fn (t)<? < 1>/2, где CU)? — постоянная зависящая от v и е. В. С. Виденский [7, с. 13] уточнил этот результат, показав, что (0.11) влечет за собой неравенство fM < п cos (t / 2) [sin2 (v / 2) — sin2(i/2)]-½, -v.

В. И. Смирнов [58, с. 368] обобщил неравенство Виденского, заменив в неравенстве (0.11) целочисленную мажоранту на некоторый обобщенный тригонометрический полином..

Теорема 2.14 и следствие 2.18 усиливают результат Смирнова, а теорема 2.20 и следствие 2.19 обобщают и усиливают неравенство Виденского..

Для тригонометрических полиномов вида (0.6), удовлетворяющих условию (0.11), С. Н. Бернштейн [4, с. 31] доказал неравенство.

•У^ТЬ2 sin2>/2) < 1..

В теореме 2.21 это неравенство усиливается в зависимости от коэффициентов ап-1 и Ъп-1 с выявлением всех экстремальных полиномов..

В §§ 2.4−2.5 обобщаются основные результаты §§ 2.2−2.3 на рационально-тригонометрические функции и тригонометрические полиномы с ограничением на отрезке j—u, v]..

Дадим обзор результатов третьей главы настоящей работы. Обозначим через Лта множество целых функций f (z) конечной степени, в том числе и многочленов, для которых выполняются следующие условия: а) f (z) ф 0, > 0- б) Л/(тг/2) = т, hf (-ir/2)=a..

Напомним, что классический результат С. Н. Бернштейна состоит в том, что если целая функция конечной степени < а удовлетворяет неравенству.

0)| < 1, xGft, (0.12) то f'{x)

Одно из уточнений данного неравенства принадлежит Р. Дж. Даф-фину и А. С. Шефферу [88], доказавшими, при дополнительном условии вещественности функции /(ж), неравенство f (x)2 + a2f2(x).

Из принципа Фрагмена и Линделефа [135], [63, с. 69], [20, с. 203] следует, что в условиях теоремы Бернштейна f (z).

Р. Боас [79] показал, что для функции f (z) Е удовлетворяющей условию (0.12), неравенства (0.13) и (0.15) можно заменить на более сильные: f (x)<^ X ем, (0.16).

Рау + 1.

М1<—V = Sz< 0..

Н. К. Говил и К. И. Рахман [111] уточнили (0.16), доказав следующую теорему..

ТЕОРЕМА J. Пусть f (z) — целая функция конечной степени а, удовлетворяющая условию (0.12) и такая, что f (z) / 0 е полуплоскости 5s z > -к, к> 0, hf (тг/2) = 0, Мтг/2) = -А < 0, К^тг/2) < -А < 0, где lo{z) = eiazJ (z). Тогда.

Т. Г. Генчев [11] обобщил неравенство (0.16) на класс, а > т, доказав, что условие (0.12) влечет точное неравенство f'{z) < (сеаЫ + |т[е-г'у'), y = %z< 0. (0.17).

Li.

Он также показал, что для целой функции f (z), удовлетворяющей (0.12) и такой, что f (z)el (a~T^z Е г < 0, справедлива оценка sup f'(x) > {а + т). (0.18) оо<�ж<�оо ^.

Этому результату предшествовал результат К. И. Рахмана [139, 141], который доказал (0.18) для случая т — 0..

В работе [97] Р. Б. Гарднер и Н. К. Говил установили, что для функции f (z)? А®-, удовлетворяющей (0.12), af (z)+i (l-()f'(z)<^{(e^ + l): y = %z< 0, |С|>1- (0.19).

Оба неравенства Р. Боаса содержатся в (0.19) как частные случаи при? = оо и (= 1. Аналогичное неравенство для полиномов на окружности было доказано ранее А. Азизом в работе [67]..

Из других современных работ, посвященных изучению экстремальных свойств целых функций конечной степени, назовем статьи [86, 87, 93, 110, 147, 154, 159]..

В § 3.2 доказывается ряд точных неравенств для функций из Лта. В полуплоскости < 0 получена двусторонняя оценка модуля функции u{z) = Л') зависящая от z, произвольной точки (, < 0, и значения (теорема 3.1). Верхняя оценка уточняет неравенство.

17(г)|<1, ^<0, вытекающее из леммы Б. Я. Левина [28], обобщающей принцип Фрагмена и Линделефа. В теореме 3.7 доказывается, что.

U{z) + U'(z)\$sz< 0..

Теорема 3.2. Для функции f (z) 6 Лта при х б М и < 0 имеем.

12″ .

В случае тождества U (z) = 1 неравенство превращается в равенство. Знак равенства имеет место также в пределе при (= х — ге, г > 0, е 0 для каждого фиксированного ж g 1..

Этот результат можно рассматривать как оценку величины U'(x) снизу через значения модуля U (() в точках нижней полуплоскости (замечание 3.1)..

Неравенство теоремы 3.2 лежит в основе доказательств последующих неравенств для производных целых функций. Следствие 3.1 уточняет неравенство (0.17), а теорема 3.4 усиливает его. Теорема 3.3 обобщает и усиливает теорему J, причем устанавливаются все экстремальные функции. Выясняется, что условие.

К'{тг/2) < -А < 0, фигурирующее в формулировке теоремы J, является лишним. Теорема 3.5 усиливает классическое неравенство Даффина-Шеффера (0.14). Для функции f (z) такой, что из теоремы 3.2 мы получаем оценку величины $s{f'(x)/f (x)} снизу (следствие 3.2), улучшающую и обобщающую неравенство Т. Г. Генчева (0.18)..

В работе [100] Н. К. Говил доказал следующую теорему..

Теорема К. Если полином P (z) степени п имеет все свои нули в круге z < к, к > 1, то.

ТЬ max. P'{z) > —— max|P (z)|..

H=i' - 1 + kn |*|=i ^ n.

Знак равенства имеет место для полинома P (z) = zn + кп..

В случае к = 1 данная оценка превращается в классическое неравенство Турана [155]. Известно, что Говилом [101] позже было получено обобщение теоремы К для функций конечной степени..

Следствие 3.3. Пусть f (z) — целая функция конечной степени, и пусть j{z) ф- 0 в полуплоскости? sz < —к, к > 0, hf (тг/2) = г, /г/ (—7г/2) = <т, а > т..

Тогда f'(x) + sup f (x)ek^ >(аr)f (x)l хвШ. к.

Равенство достигается только для функций f (z) = C (eiaz + иеак), М = 1, С = const, f (z) = Ceicrz, С = const..

Рассматривая функцию f (z) = P (elz) легко видеть, что следствие 3.3 содержит теорему К..

Теорема 3.8. Если функция f (z) Е А^ и удовлетворяет условию (0.12) — то при любом |С| — 1 и любом z = х + гу, у < 0, имеем, а е2ау — 1.

Dcf{z) <.

2 y]e*>v — 2e°vK{D<-f (z)Dcf (z)}/Dcf (z)Dcf (z) + 1 где.

Dcf (z)=crf (z)+i (l-Of'(z), Щ^Й+Г1-®^.

Для функций вида f (z) = (el0lelcrz + ег^)/2, а, /3? Ж, неравенство превращается в равенство..

Эта теорема уточняет неравенство Р. Б. Гарднера и Н. К. Говила (0.19) в случае (= 1, а вместе с неравенством Боаса (0.16), содержит (0.19) (следствие 3.4)..

В § 3.3 вводится класс Я&tradeфункций P{z) вида.

771.

P{z) = ^^ ст Ф 0) п, те Z, -п < т, (0.20) к=—п не имеющих нулей в области 0 < z < 1..

С использованием теоремы для функций класса В^. аналогичной теореме 3.1, доказана следующая.

Теорема 3.10. Пусть полином.

P (z) = cnzn + Cn^z71−1 ¦ ¦ ¦ + с0, сп ф 0, не имеет нулей в круге z < 1 и удовлетворяет условию max |P (z)| = 1. z=l.

Тогда при R > 1 max P (z) < ———-— < —-—, (0.21 г|=л' V Л ~ Br/Ar + 1 — 2 V ^ где.

АК = Ф^[ЩЩl] + l|, Бд = ф|гМ-|[Ф (Я)-1] + 1|, w = Ф (г) — функция, обратная к функции Жуковского z = Ф (ги) = ^^w +, |ги| > 1..

Знаки равенства в неравенствах (0.21) имеют место только для полиномов вида P{z) = cnzn + cq, сп = |cq| = ½..

Соотношение между левой и правой частями (0.21) — это хорошо известное неравенство Н. К. Анкени и Т. Дж. Ривлина [64]. Теорема 3.11 дает другое усиление этого классического результата..

В условиях теоремы 3.10 справедливо неравенство Эрдеша-Лэкса [118]:.

N = i.

Неравенства Анкени-Ривлина и Лэкса многократно улучшались [68, 73, 102, 104, 105, 109] и обобщались [69, 114, 143]..

Следствие 3.6 и теорема 3.14 усиливают неравенство Лэкса и обобщают его на класс т> п..

Следующее обобщение неравенства Эрдеша-Лэкса принадлежит Т. Н. Чену и М. А. Малику [85]..

ТЕОРЕМА L. Если полином P{z) = Со + Yjk=i ck%k не обращается в нуль в круге z < к, к > 1, то tl max P'(z) < —-г max P (z). z=i ~ l + kl |z|=i1 v л.

В случае, когда I является делителем п, равенство реализуется для полинома P{z) = (zl + kl) nЛ.

Эту оценку в случае I — 1 раннее доказал М. А. Малик [123]. Неравенство Малика и Чена усилино в работе [116], а обобщение этого неравенства связанное с оценкой max^|=r P'(z) можно найти в [72, 76]. Улучшение результата Малика в зависимости от коэффициентов со, ci, С2 было получено Говилом, Рахманом и Шмейсером в статье [112]. Легко видеть, что теорема L являлась бы простым следствием теоремы J, если бы не ограничение на u)'(z), которое, как уже было сказано, является лишним. Теорема L усиливается теоремой 3.13, причем приводятся все экстремальные полиномы..

Следствие 3.7. Если функция P (z) вида (0.20) не имеет нулей в области z > 1, то при любых |z| = l и 1<|С|<�со справедлива оценка.

KzP'(z) > т~п.

P (z) — 2 т-пР (1/()/Р (0.

С12−1 2z-C.

2 «.

0.22).

В случае п = 0 из (0.22) при (= оо имеем т™, 1 — ylw^^ ^.

P (z) ~ 2 2 — 2 '.

Это результат В. Н. Дубинина [16, с. 58]. Соотношение между левой и правой частями этой системы неравенств хорошо известно (см., например, [114, с. 48]). Отметим, что результат Дубинина и следствие 3.7 в случае С = оо эквивалентны..

Теорема К усиливается и обобщается теоремой 3.16, причем определяются все экстремальные полиномы. Различные усиления теоремы К можно найти также в работах [66, 103]..

Значительная часть результатов связанных с неравенствами Анкени, Лэкса, Малика, Говила и др., их улучшениями и обобщениями, собрана в обзорной статье [108], содержащей более ста ссылок..

Доказательства части теорем § 3.2 главы 3 основываются на построении по заданной функции f (z) Е ЛТа конформного и однолистного отображения w = д (?) и на последующем применении к этому отображению геометрической теории функций комплексного переменного. Другие результаты являются, как правило, нетривиальными следствиями этих теорем и некоторых результатов Б. Я. Левина. Исключением является теорема 3.8, доказательство которой опирается на теорему 1.1 и следствие 1.2 главы 1. Аналогичный подход используется в § 3.3, посвященном неравенствам для функций вида (0.20). Результаты параграфа § 3.3 можно рассматривать как усиление результатов § 3.2 для целых функций с положительным периодом..

В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы..

1. Развивается новый подход к получению неравенств для полиномов, рациональных функций и их обобщений, основанный на конформных отображениях..

2. Для аналитических функций, удовлетворяющих условиям мажо-рантности Н. Н. Меймана, доказаны новые неравенства, дополняющие и улучшающие результаты Н. И. Ахиезера, Р. Боаса, Т. Г. Генчева, Н. Н. Меймана..

3. Для рациональных функций с предписанными полюсами и для алгебраических и тригонометрических полиномов с криволинейной мажорантой получены новые неравенства, дополняющие и улучшающие соответствующие результаты С. Н. Бернштейна, П. Борвейна, В. С. Виденского, К. И. Рахмана, В. Н. Русака, В. И. Смирнова..

4. Для некоторых классов целых функций конечной степени, в частности, для функций, не обращающихся в нуль в верхней или нижней полуплоскости, получены новые неравенства, дополняющие и усиливающие результаты Р. Б. Гарднера, Т. Г. Генчева, Н. К. Говила, К. И. Рахмана, Т. Дж. Ривлина..

По теме диссертации опубликовано 5 научных работ [19], [41]—[44]..

Результаты диссертации докладывались на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2002;2004), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е. В. Золотова (Владивосток, 2001;2004, Хабаровск, 2005), на семинарах по геометрической теории функций и функциональному анализу ИМКН ДВГУ (руководители чл.-корр. РАН В. Н. Дубинин, проф. Н.Н. Фролов), на семинарах ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов). Опубликованы тезисы докладов [45]—[52]..

1. Ахиезер Н. И. О некоторых свойствах целых трансцендентных функций экспоненциального типа / Н. И. Ахиезер // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1946. — Т. 10. — С. 411−428..

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1965. — 408 с..

3. Бернштейн С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени / С. Н. Бернштейн // Со-обгц. Харьк. мат. о-ва. Харьков, 1912..

4. Бернштейн С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной: в 2 ч. / С.Н.БернштейнПод ред. И. М. Виноградова и др. М.-Л.: ОНТИ, 1937. — 4.1. — 200 с..

5. Бернштейн С. Н. О роли неравенств и экстремальных проблем в математическом анализе / С. Н. Бернштейн // Юбил. сборн., поев. 30-летию Великой Октябрьской социалистической революции. М., 1947. — С. 114−133..

6. Виденский B.C. Об оценках производных многочлена / В.С.Виден-ский // Изв. АН СССР. 1951. — Т. 15, № 5. — С. 401−420..

7. Виденский B.C. Экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период / В. С. Виденский // Докл. АН СССР. 1960. — Т. 130, № 1. — С. 13−16..

8. Виденский B.C. Некоторые оценки производных от рациональных дробей / В. С. Виденский // Изв. АН СССР, сер. мат. 1962. — Т. 26, № 3. — С. 415−426..

9. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. М.: ГИТТЛ, 1956. — 783 с..

10. Даугавет И. К.

Введение

в теорию приближения функций: Учеб. пособие / И. К. Даугавет. Л.: Изд. Ленингр. ун-та, 1977. — 184 с..

11. Дочев К. О некоторых экстремальных свойствах многочленов / К. Дочев // Докл. АН СССР. 1963. 153, No.3, 519−521..

12. Дочев К. О некоторых экстремальных свойствах полиномов и целых функций экспоненциального типа / К. Дочев // Mathematica (RSR). 1965. — Т. 7, № 2. — С. 205−209..

13. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами / В. К. Дзядык. М.: Наука, 1977. — 512 с..

14. Дубинин В. Н. Теоремы искажения для полиномов на окружности / В. Н. Дубинин // Мат. сб. 2000. — Т. 191, № 12. — С. 51−60..

15. Дубинин В. Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов / В. Н. Дубинин // Алгебра и анализ. 2001. — Т. 13, вып. 5. — С. 16−43..

16. Дубинин В. Н. О применении конформных отображений в неравенствах для рациональных функций / В. Н. Дубинин // Изв. РАН сер. мат. 2002. — Т. 66, № 2. — С. 67−80..

17. Дубинин В. Н. О применении конформных отображений к неравенствам для полиномов / В. НДубинин, А. В. Олесов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2002. — Т. 286. — С. 85−102..

18. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции / М. А. Евграфов. 3-е изд. — М.: Наука, 1979. — 320 с..

19. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. / А. ЗигмундПод ред. Н. К. Бари. М.: Мир, 1965. — Т. 2. — 237 с..

20. Ибрагимов И. И. Экстремальные свойства целых функций конечной степени / И. И. Ибрагимов. Баку: Изд. АН Аз. ССР, 1962. — 315 с..

21. Ибрагимов И. И. Теория приближений целыми функциями / И. И. Ибрагимов. Баку: Элм, 1979. — 486 с..

22. Ибрагимов И. И. Избранные вопросы теории аналитических функций / И. И. Ибрагимов. Баку: Элм, 1984. — 384 с..

23. Кузьмина Г. В. Методы геометрической теории функций I, II / Г. В. Кузьмина // Алгебра и анализ. 1997. — Т. 9, № 3. — С. 41−103- № 5. С. 1−50..

24. Лебедев Н. А. Некоторые оценки для функций регулярных и однолистных в круге / Н. А. Лебедев // Вестн. ЛГУ. сер. мат., физ., хим.- 1955. вып. 4. — С. 3−21..

25. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций / Н. А. Лебедев. М.: Наука, 1975. — 336 с..

26. Левин Б. Я. О некоторых экстремальных свойствах целых функций конечной степени / Б. Я. Левин // ДАН СССР. 1949. Т. 65, № 5. -С. 605−608..

27. Левин Б. Я. Об одном специальном классе целых функций и связанных с ним экстремальных свойствах целых функций конечной степени / Б. Я. Левин // Изв. АН СССР, сер. мат. 1950. — Т. 14, № 1. — С. 45−84..

28. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин. М.: ГИТТЛ, 1956. — 632 с..

29. Логунов А. А. Дисперсионные соотношения и фундаментальная длина в квантовой теории поля: Препринт Объединенного институтаядерных исследований / А. А. Логунов, Ван Хьеу Нгуен. Дубна, 1966..

30. Лукашов А. Л. Неравенство типа Бернштейна для для производных рациональных функций на двух отрезках / А. Л. Лукашов // Матем. заметки. 1999. — Т. 66, № 4. — С. 508−514..

31. Марков А. А. Об одном вопросе Д. И. Менделеева / А. А. Марков // Записки Имп. Акад. Наук. 1889. — Т. 62. — С. 1−24..

32. Марков А. А. Избранные труды / А. А. Марков. М.-Л., 1948..

33. Марков В. А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке В. А. Марков. СПб., 1892..

34. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций / А. И. Маркушевич. 4-е изд., перераб. и доп. — М., Наука, 1978. — 416 с..

35. Мейман Н. Н. Об условиях, при которых производная мажоранты функции является мажорантой производной функции / Н. Н. Мейман // ДАН СССР. 1950. — Т. 71, № 4. — С. 609−612..

36. Мейман Н. Н. Дифференциальные неравенства и некоторые вопросы распределения нулей целых и однозначных аналитических функций / Н. Н. Мейман // Успехи мат. наук. 1952. — Т. 7, вып. 3. — С. 3−62..

37. Мисюк В. Р. Неравенства типа Бернштейна для производной рациональной функции относительно плоской меры / В. Р. Мисюк // Тр. / Институт мат. НАН Белорусии. 2001. — Т. 9. — С. 105−108..

38. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. М.: Наука, 1969..

39. О лесов А.В. О применении конформных отображений к неравенствам для тригонометрических полиномов / А. В. Олесов // Мат. заметки. 2004. — Т. 76, вып. 3. — С. 396−408..

40. Олесов А. В. Неравенства для мажорантных аналитических функций / А. В. Олесов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. — Т. 314. — С. 155−173..

41. Олесов А. В. Неравенства для целых функций конечной степени и полиномов / А. В. Олесов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. — Т. 314. — С. 174−195..

42. Олесов А. В. Неравенства для полиномов и рациональных функций: Препринт № 18. ИПМ ДВО РАН / А. В. Олесов. Владивосток: Даль-наука ДВО РАН, 2004. — 39 с..

43. Олесов А. В. Неравенства для полиномов и рациональных функций с предписанными полюсами / А. В. Олесов // Дальневост. матем. школа-семинар им. акад. Е. В. Золотова: Тез. докл. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2001. — С. 36..

44. Олесов А. В. Неравенства для полиномов на отрезке / А. В. Олесов // Дальневост. матем. школа-семинар им. акад. Е. В. Золотова: Тез. докл. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2002. — С. 31..

45. Олесов А. В. Оценка производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период / А. В. Олесов // 6-ая Дальневост. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по мат. моделир.: Тез. докл. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2002. — С. 36−37..

46. Олесов А. В. Оценки производной алгебраического полинома на вещественной оси / А. В. Олесов // Дальневост. матем. школа-семинар им. акад. Е. В. Золотова: Тез. докл. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2003. — С. 33..

47. Олесов А. В. Экстремальные свойства аналитических функций / А. В. Олесов // 7-ая Дальневост. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по мат. моделир.: Тез. докл. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2003. — С. 15−16..

48. Олесов А. В. Экстремальные свойства целых функций экспоненциального типа / А. В. Олесов // Дальневост. матем. школа-семинар им. акад. Е. В. Золотова: Тез. докл. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2004 — С. 36..

49. Олесов А. В. Дифференциальные неравенства для тригонометрических полиномов / А. В. О лесов // Дальневост. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых по мат. моделир.: Тез. докл. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2004 — С. 3−5..

50. Олесов А. В. Оценка производной рационально-тригонометрической функции на отрезке, меньшем чем период / А. В. Олесов // Дальневост. матем. школа-семинар им. акад. Е. В. Золотова: Тез. докл. -Хабаровск: Изд. ДВГУПС, 2005 С. 40−41..

51. Полиа Г. Задачи и теоремы из анализа: В 2 ч. / Г. Полиа, Г. Сеге. -М.: ГИТТЛ, 1956. Ч. 2. — 432 с..

52. Привалов И. И. Интеграл Коши / И. И. Привалов. Саратов, 1919..

53. Русак В. Н. Об оценках производных алгебраических дробей на конечном отрезке / В. Н. Русак // Докл. АН БССР. 1976. — Т. 20, № 1. — С. 5−7..

54. Русак В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. Минск: Изд. БГУ им. Ленина, 1979. — 176 с..

55. Сидоров Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного: Учеб. для вузов / Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. -3-е изд. М.: Наука, 1989. — 480 с..

56. Смирнов В. И. Конструктивная теория функций комплексного переменного / В. И. Смирнов, Н. А. Лебедев. М.: Наука, 1964. — 440 с..

57. Стечкин С. Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна / С. Б. Стечкин // Докл. АН СССР. 1948. — Т. 60, № 9. — С. 1511−1514..

58. Теляковский С. А. Исследования по теории аппроксимации функций в математическом институте академии наук / С. А. Теляковский // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1988. — Т. 182. — С. 141−197..

59. Чебышев П. Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций / П. Л. Чебышев // Полное собр. соч.: В 2 т. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. — Т. 2. — С. 151−235..

60. Хейман У. Субгармонические функции: В 2 т. / У. Хейман, П.Кеннеди. М.: Мир, 1980. — Т. 1. — 304 с..

61. Хургин Я. И. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике / Я. И. Хургин, В. П. Яковлев. М.: Физматгиз, 1962. -220 с..

62. Ankeny N.C. On a theorem of S. Bernstein / N.C.Ankeny, T. J. Rivlin // Pacific. J. Math. 1955. — 5, № 2. — P. 849−852..

63. Aziz Abdul. Inequalities for polynomials with a prescribed zero / A. Aziz // Can. J. Math. 1982. — 34, № 3. — P. 734−740..

64. Aziz A. Inequalities for the derivative of a polynomial / A. Aziz // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. — 89. — P. 259−266..

65. Aziz A. Inequalities for the polar derivative of a polynomial / A. Aziz // J. Approx. Theory. 1988. — 55. — P. 183−193..

66. Aziz A. Inequalities for a polynomial and its derivative / A. Aziz, Q.M.Dawood // J. Approxim. Theory. 1988. — 54, № 3. — P. 306−313..

67. Aziz A. Growth of polynomials with zeros outside a circle / A. Aziz, Q.I.Mohammad // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. — 81, № 4. — P. 549 553..

68. Aziz A. Some refinements of Bernstein-type inequalities for rational functions / A. Aziz, W.M.Shah // Glas. Mat. 1997. — 32, № 1. — P. 29−37..

69. Aziz A. Growth of maximum modulus of rational functions with prescribed poles / A. Aziz, N.A.Rather // Math. Inequal. and Appl. -1999. 2, № 2. P. 165−173..

70. Aziz A. Inequalities for polynomial and its derivative / A. Aziz, B.A. Zargar // Math. Inequal. and Appl. 1998. — 1, № 4. — P. 543−550..

71. Aziz A. Growth of maximum mudulus of polynomials with prescribed zeros / A. Aziz, B.A.Zargar // Glas. Mat. 2002. — 37, № 1. — P. 73−81..

72. Bernstein S.N. Legons sur les proprietes extremales et la meilleure approximation des fonction analytiques d’une variable reelle / S.N. Bernstein. Paris, 1926..

73. Bernstein S.N. Sur la limitation des derivees des polynomes / S.N. Bernstein // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences Paris. 1930. — 190. — P. 338−341..

74. Bidkham M. Inequalities for polynomial and its derivative / M. Bidkham, K.K.Dewan // J. Math. Anal, and Appl. 1992. — 66, № 2. — P. 319−324..

75. Boas R. Entire functions / R.Boas. N. Y., 1954. — 276 p..

76. Boas R. Inequalities for functions of exponential type / R. Boas // Math. Scand. 1956. — 4. — P. 29−32..

77. Boas R. Inequalities for asymmetric entire functions / R. Boas // Illinois J. Math. 1957. — 1. — P. 94−97..

78. Boas R. Inequalities for the derivatives of poynomials / R. Boas // Mathematics Magazine. 1969. — 42. — P. 165−174..

79. Bojanov B.D. Proof of a conjectute of Erdos about the longest polynomial / B.D.Bojanov // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. — 84, № 1. — P. 99−103..

80. Borwein P. Polynomials and Polynomial Inequalities / P. Borwein, T.Erdelyi. N. Y.: Springer-Verlag, 1995. — 480 p..

81. Borwein P. Sharp extensions of Bernstein’s inequality to rational spaces / P. Borwein, T.Erdelyi. j I Mathematika. 1996. — 43, № 2. — P. 413−423..

82. Borwein P. Chebyshev polynomials and Markov-Bernstein type inequalities for the rational spaces / P. Borwein, T. Erdelyi, J. Zhang // J. London Math. Soc. 1994. — 50. — P. 501−519..

83. Chan T.N. On Erdos-Lax theorem / T.N.Chan, M.A.Malik // Proc. Indian Acad. Sci. 1983. — 92, № 3. — P. 191−193..

84. Clunie J. On entire functions of exponential type bounded on the real axis / J. Clunie, Q.I.Rahman, W.J.Walker // J. Lond. Math. Soc. II. Ser. -2000. 61, № 1. — P. 163−176..

85. Dostanic M. Some inequalities for entire functions of exponential type / Milutin Dostanic // Мат. весн. 1996. — 48, № 3. — P. 95−98..

86. Duffin R.J. Some inequalities concerning functions of exponential type / R.J.Duffin, A.C.Schaeffer // Bull. Amer. Math. Soc. 1937. — 43. — P. 554−556..

87. Durand Alain A. A propos d’un liheoreme de S. Bernstein sur la derivee d’un polyndme / A.A.Durand // C. r. Acad. sci. 1980. — AB260, № 12. — P. A523-A525..

88. Durand A.A. Quelques aspects de la theorie analytique des polynomes, I et II / A.A.Durand Universite de Limoges 1984..

89. Duren P.L. Univalent functions / P.L.Duren. N. Y.: Springer, 1983..

90. Fejer L. // Jornal fur die reine und angewandte Mathematik. 1916. -146. — P. 53−82..

91. Frappier Clement. Inequalities for entire functions of exponential type / C. Frappier // Can. Math. Bull. 1984. — 27, № 4. — P. 463−471..

92. Frappier C. Optimal inequalities for the coefficients of polynomials of small degree / C. Frappier, M.A.Qazi // Ann. UMCS. 1993. — A47. -P. 18−26..

93. Frappier С. On an inequality of S. Bernstein / C. Frappier, Q. Rahman // Can. J. Math. 1982. — 34, № 4. — P. 932−944..

94. Freund R. New Bernstein type inequalities for polynomials on ellipses / R. Freund, B. Fischer // Complex Variables: Theory and Appl. 1991. -16, № 4. — P. 289−305..

95. Gardner R.B. Some inequalities for entire functions of exponential type / R.B.Gardner, N.K.Govil // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. — 123, № 9. — P. 2757−2761..

96. Genchev T.G. Inequalities for entire functions of exponential type / T.G. Genchev // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. — 56. — P. 29−32..

97. Genchev T.G. An extremal problem for entire functions of exponential type related to the Chebyshev polynomials / T.G.Genchev // Докл. Бьлг. АН. 1993. — 46, № 11. — P. 13−16..

98. Govil N.K. On the derivative of a polynomial / N.K.Govil // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. — 41. — P. 543−546..

99. Govil N.K. An inequality for function of exponential type not vanishing in a half-plane / N.K.Govil // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. — 65. — P. 225−229..

100. Govil N.K. On the maximum modulus of polynomials not vanishing inside the unit circle / N.K.Govil // J. Approxim. Theory. 1989. — 55, № 3. -P. 79−82..

101. Govil N.K. Some inequalities for derivatives of a polynomial / N.K.Govil // J. Approx. Theory. 1991. — 66. — P. 29−35..

102. Govil N.K. Some inequalities for maximum modules of polynomials / N.K.Govil // Int. J. Math, and Math. Sci. 1991. — 14, № 2. — P. 233 238..

103. Govil N.K. On a theorem of Ankeny and Rivlin concerning maximum modulus of polynomials / N.K.Govil // Complex Variables: Theory and Appl. 2000. — 40, № 3. — P. 249−259..

104. Govil N.K. Bernstein type inequalities for rational functions with prescribed poles / N.K.Govil, Mohapatra Ram N. // Recent Progress in Inequalities. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1998. -P. 249−270..

105. Govil N.K. Inequalities for maximum modulus of rational functions with prescribed poles / N.K.Govil, R.N.Mohapatra // Approximation theory. In memory of A. K. Varma. N. Y.: Marcel Dekker. Pure Appl. Math., Marcel Dekker. — 1998. — 212. — P. 255−263..

106. Govil N.K. Markov and Bernstein type inequalities for polynomials / N.K.Govil, R.N.Mohapatra // J. Inequal. and Appl. 1999. — 3. — P. 349−387..

107. Govil N.K. On maximum modulus of polynomials not vanishing inside a circle / N.K.Govil, G.J.Nyudinkong // Interdiscip. Math. 2001. — 4, № 1. — P. 93−100..

108. Govil N.K. A new property of entire functions of exponential type not vanishing in a half-plane and applications / N.K.Govil, M.A.Qazi, Q.I.Rahman // Complex Variables. 2003. — 48. — P. 897−908..

109. Govil N.K. Functions of exponential type not vanishing in a half-plane and related poynomials / N.K.Govil, Q.I.Rahman // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. — 137. — P. 501−517..

110. Govil N.K. On the derivative of a polynomial / N.K.Govil, Q.I.Rahman, G. Schmeisser // 111. J. Math. 1979. — 23, № 2. — P. 319−329..

111. Jain V.K. Some inequalities for polynomials / V.K.Jain // Glas. Math. 1977. — 12, № 2. — P. 263−269..

112. Jain V.K. Generalization of certain well known inequalities for polynomials / V.K.Jain // Glas. Mat. Ser. III. 1997. — 32, № 1. — P. 45−51..

113. Jain V.K. Inequalities for polynomials with a prescribed zero / V.K.Jain // Math. Inequal. and Appl. 1998. — 1, № 3. — P. 343−346..

114. Jain V.K. On polynomials having zeros in closed exterior or closed interior of circlt / V.K.Jain // Indian. J. Pure and Appl. Math. 1999. — 30, № 2. — P. 153−159..

115. Kemperman J.H.B. Markov type inequalities for the derivatives polynomial / J.H.B.Kemperman // Aspects Math, and Appl. Amsterdam e.-a., 1986. — P. 465−476..

116. Lax P.D. Proof of a conjecture of P. Erdos on the derivative of a polynomial / P.D.Lax // Bull. Amer. Math. Soc. 1944. — 50. — P. 509−513..

117. Li Vita Xin Integral formulas and Bernstein inequalities for rational functions / Li Vita Xin // J. Math. Analys. and Appl. 1997. — 211. — P. 386−394..

118. Li Vita Xin. On the Bernstein inequalities for rational functions with a prescribed zero / V.X.Li, R. Jones, R.N.Mohapatra, R.S.Rodriguez // J. Approxim. Theory. 1998. — 95. — P. 476−496..

119. Li Vita Xin. Bernstein type inequalities for rational functions with prescribed poles / V.X.Li, R.N.Mohapatra, R.S.Rodriguez // J. London Math. Soc. 1995. — (2)51. — P. 523−531..

120. Lucas Ch.F. // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences. Paris, 1868. — 67. — P. 163−164..

121. Malik M.A. On the derivative of a polynomial / M.A.Malik // J. London Math. Soc. 1969. — 1. — P. 57−60..

122. Malik M.A. Inequalities concerning the derivative of polynomials / M.A. Malik, M.C.Vong // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1985. — 34, № 3. — P. 422−426..

123. Milovanivic Gradimir V. Extremal problem for coefficients of algebraic polynomials / G.V.Milovanivic, L.Z.Marinkovic // Facta Univers. (NIS) Ser. Math. Inform. 1990. — 5. — P. 25−36..

124. Milovanivic G.V. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros / G.V.Milovanivic, D.S.Mitrinovic, Th.M.Rassias. Singapore: World Scientific, 1994. — 821 p..

125. Milovanivic G.V. An extremal problem for the length for algebraic polynomials / G.V.Milovanivic, Tosic Dobrilo D. // Publ. Elektrotehn. fak. Ser. Mat. / Univ. Beogradu. 1999. — 10. — P. 31−36..

126. Min G. Inequalities for rational functions with prescribed poles / G. Min // Can. J. Math. 1998. — 50, № 1. — P. 152−166..

127. Min G. Inequalities for the derivatives of rational functions with real zeros / G. Min // Acta Math. Hungar. 1999. — 82, № 1−2. — P. 11−20..

128. Mohr Ernst. Elementarer beweis einer ungleichung von W.A. Markoff / Mohr Ernst // Tensor. 1963. — 14. — P. 71−85..

129. Newman D.J. On a polynomials with curved majorants / D.J.Newman, T.J.Rivlin // Can. J. Math. 1982. — 34, № 4. — P. 961−968..

130. Petrushev P.P. Rational approximation of real functions / P.P.Petru-shev, V.A.Popov. Cambridge: Cambridge University Press, 1987. — 371 P.

131. Pierre R. On a problem of Turan about polynomials / R. Pierre, Q.I.Rahman // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. — 56. — P. 231−238..

132. Pierre R. On polynomials with curved majorants / R. Pierre, Q.I.Rahman, G. Schmeisser // J. Approxim. Theory. 1989. — 57. — P. 211−222..

133. Phragmenu E., Lindelof E. // Acta Math. 1908. — 31. — P. 386−396..

134. Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformal maps / Ch. Pomme-renke. Berlin: Springer, 1992..

135. Prokhorov D.V. Reachable set methods in extremal problems for univalent functions / D.V.Prokhorov. Saratov: Saratov Univ. Publ. House, 1993..

136. Qazi M.A. On the maximum modulus of polynomials / M.A.Qazi // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. — 115, № 2. — P. 337−349..

137. Rahman Q.I. On asymmetric entire functions / Q.I.Rahman // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. — 14, № 3. — P. 507−508..

138. Rahman Q.I. Inequalities concerning polynomials and trigonometric polynomials / Q.I.Rahman // J. Math. Analysis and Applic. 1963. 6, № 2. P. 303−324..

139. Rahman Q.I. Functions of exponential type / Q.I.Rahman // Trans. Amer. Math. Soc.- 1969. 135, Jan. — P. 295−309..

140. Rahman Q.I. On a problem of Turan about polynomials with curved majorants / Q.I.Rahman // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. — 163. — P. 447−455..

141. Rahman Q.I. An inequalitiy for asymmetric entire functions / Q.I.Rahman // Ann. UMCS. 1982;1983. — A36-A37. — P. 125−129..

142. Rahman Q.I. Les inegalities de Markov et de Bernstein / Q.I.Rahman, G.Schmeisser. Canada: Le Presses de l’Universite de Montreal, 1983..

143. Rahman Q.I. Markoff type inequalities for curved majorants / Q.I.Rahman, G. Schmeisser // Numerical methods of approximation theory. -1987. 8. — P. 169−183..

144. Rahman Q.I. Analytic theory of polynomials / Q. Rahman, G.Schmeisser.- Oxford: Oxford University Press, 2002..

145. Rahman Q.I. On a refinement of the Bernstein inequality for entire functions of exponential type / Q.I.Rahman, G. Schmeisser // Complex Variables. 1996. — 29. — P. 139−140..

146. Rassias Th.M. On certain properties of polynomials and their derivatives / Rassias Th.M. // Topics in Mathematical Analysis. Singapore: World Scientific Publishing Company, 1989. — P. 758−802..

147. Rubinstein Zalman. An extremal problem of the Markov-Bernstein rype for lacunary polynomials / Rubinstein Zalman, Weit Yitzhak // J. Approxim. Theory. 1979. — 27, № 3. — P. 227−233..

148. Saff E.B. Coefficient and integral mean estimates for algebraic and trigonometric polynomials with restricted zeros / E.B.Saff, T. Sheil-Small // J. London Math. Soc. 1974. — (2)9. — P. 16−22..

149. Saffari Bahman. Some polynomial extremal problem which emerged in the twentieth centure /' Saffari Bahman // NATO Sci. Ser. II, Math. Phys. Chem. 2001. — 33. — P. 201−223..

150. Shur I. Uber das Maximum des absoluten Betrages eines Polynoms in einem gegebenen Intervall / I. Shur // Math. Z. 1919. — 4. — P. 271−287..

151. Shadrin A. Interpolation with Lagrange polynomials. A simple proof of Markov inequality and some of its generalizations / A. Shadrin // Approxim. Theory and Appl. 1992. — 8, № 3. — P. 51−61..

152. Tariq Q.M. An inequality for entire functions of exponential type / Q.M. Tariq // J. Approx. Theory. 1989. — 58, № 2. — P. 121−123..

153. Turan P. Uber die ableitung von polynomen / P. Turan // Compositio Math. 1939. — 7. — P. 89−95..

154. Varma A.K. Markoff type inequalities for curved majorants / A.K. Varma, T.M.Mills, Smith Simon J. // J. Austral. Math. Soc. 1995. — A58. — P. 1−14..

155. Vasil’ev A. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mappings: Lecture Notes in Math. 1788 / Vasil’ev A. Berlin: Springer, 2002. — 211 p..

156. Wirthis K.J. A remark on the coefficients of bounded polynomials / K.J. Wirthis // Approxim. Theory and Appl. 1996. — 12, № 3. — P. 98−100..

157. Zalik R.A. A new inequality of entire functions / R.A.Zalik // J. Approx. Theory. 1989. — 58, № 3. — P. 281−283..