Стационарные процессы. 
Эконометрика

В данном параграфе мы рассмотрим два наиболее важных класса случайных процессов. Рассмотрим сначала класс стационарных процессов: он делится на два пересекающихся подкласса: слабо стационарные и сильно стационарные процессы.

Определение 12.2. Сильно стационарным (стационарным в узком смысле) процессом называется процесс, для которого верно следующее утверждение:

где Z — множество целых чисел. Таким образом, сильно стационарным процессом является процесс, для которого совместная функция распределения п последовательных элементов не меняется во времени.

Определение 12.3. Слабо стационарным (стационарным в широком смысле, стационарным в ковариациях, стационарным второго типа) является процесс, для которого верно, что.

• 1) W, s е Ж: E (y_r) = E{y_l+s) = р;
• 2) W, х € Z: Е ((у, — р)²) = E ((y_l+S — р)²) = у (0) = а²;
• 3) /t, sel: Е ((у, — р)(y_s — р)) — y (|f — s|).

Таким образом, процесс является слабо стационарным, если его математическое ожидание, дисперсия и автоковариационная функция, заданная формулой в пункте 3, не зависят от времени (при этом, конечно, предполагается, что все необходимые величины существуют и конечны). Стоит отметить, что не все узко стационарные процессы являются слабо стационарными. Процесс может не быть слабо стационарным, но при этом являться узко стационарным: это возможно, когда математическое ожидание и (или) дисперсия не существуют (т.е. равны бесконечности). Яркий пример — рас;

пределение Коши (с функцией плотности f_x(x) =-—, где у и х₀ — параметры), для которого соответствующие интегралы расходятся. Однако если математическое ожидание и дисперсия существуют^[1], то узко стационарный процесс является и слабо стационарным. Очевидно, что не всякий слабо стационарный процесс является сильно стационарным.

В теории предполагается, что время может двигаться в любую сторону и достигать значений, равныхоо и оо. Однако основные приведенные в гл. 12 и 13 результаты (теорема Вольда, условия стационарности для разностных уравнений) будут верны, если время начинается в нулевой период времени, однако требуется, чтобы было у₀ = 0 и t —* оо.

Введем понятие белого шума.

Определение 12.4. Слабо стационарный процесс называется белым шумом (англ, white noise), обозначается у, ~ W3V (0, а²), если.

• 1) Vt, s е Ж: Е (у,) = E (y_l+i.) = 0;
• 2) W, х е Z: Е (у?) = E (yf_+s) = а²;
• 3) W, .V е Ж: E (y, y_s) = 0.

Важнейшим результатом в разделе анализа временных рядов является следующая теорема.

Теорема 12.1 (Вольда). Любой слабо стационарный процесс представим в виде линейного фильтра:

причем

оо.

• 1) Хр; < оо, р₍ = 0;
• 2) s, ~ UW ((), а²);
• 3) р, — детерминированный процесс.

Таким образом, на коэффициенты р налагается требование сходимости ряда из квадратов их величин¹. Из теоремы Вольда следует, что математическое ожидание и дисперсия для слабо стационарных процессов конечны. Стоит отметить разницу между детерминированным и случайным процессами. Детерминированным называется процесс, текущее значение которого можно предсказать с нулевой ошибкой, зная все его предыдущие значения. Очевидно, что есть случайные процессы, которые являются детерминированными.

Из теоремы Вольда следует, что линейный фильтр (правая часть уравнения) стационарен при указанных предпосылках, а значит, любой процесс, который представим в виде такого линейного фильтра, является слабо стационарным.

Далее мы будем использовать термины «стационарность» и «слабая стационарность» как синонимы, поскольку в практических приложениях требование сильной стационарности излишне и является достаточно трудно тестируемым, а слабая стационарность может обеспечить «хорошие» свойства процесса.

• [1] Существование дисперсии обеспечивает и существование автоковариации.