Функция распределения случайной величины

Функцией распределения вероятностей, или просто функцией распределения (иногда применяют термин кумулятивная функция распределения), случайной величины $ называется функция F (x), равная для любого значения х вероятности события ^ < х:

В некоторых источниках литературы нестрогое неравенство в формуле (1.4) заменяют строгим. Часто также применяют другое обозначение функции распределения вероятностей случайной величины Fi{x).

Из определения (1.4) легко вывести следующие свойства функции распределения:

Рис. 1.1. Функция распределения F (x) случайной величины (см. пример 1.7).

На рис. 1.1 приведен график функции распределения вероятностей случайной величины из примера 1.7.

Дискретные случайные величины

Случайные величины бывают двух типов: дискретные — принимающие конечное или счетное число значений, и непрерывные — принимающие любое значение на некотором непрерывном промежутке действительной числовой оси. В этом подразделе рассмотрим дискретные случайные величины.

Дискретной случайной величиной 2; называется случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений xq, x, X2, …

Обозначим множество всех возможных значений, которые принимает дискретная случайная величина ?, через Xo, Xi, X2, …, а вероятности, с которыми с, принимает эти значения, —.

Ро>РъР2! ••• Тогда ^2pi = 1. Распределение дискретной слу- *.

чайной величины? будет полностью описано, если указать для любого г вероятность р, того, что? принимает значение х_г, т. е. Pi — Р (^ — Xi). Функция распределения F (x) дискретной случайной величины 2; при этом оказывается равной.

Таким образом, F (x) — ступенчатая функция, равная постоянной на любом интервале, не содержащем точек хj, и имеющая в каждой точке Xj скачок вверх на величину р*.

Таким образом, чтобы задать дискретную случайную величину достаточно описать множество всех возможных значений случайной величины хо, х, Х2, …, а также указать числа Pi, такие, что

Наиболее распространенными формами представления дискретных случайных величин являются табличная.

и графическая (рис. 1.2 —1.5), отображающие зависимость вероятности pi = Р (<; = х^ от значения случайной величины х*. Функция, выражающая эту зависимость, называется распределением вероятностей дискретной случайной величины.

Наиболее известными примерами дискретных случайных величин являются: случайная величина, распределенная по дискретному равномерному закону; биномиально распределенная случайная величина; случайная величина, распределенная по закону Бернулли; случайная величина, распределенная по закону Пуассона.

Рис. 1.2. Распределение вероятностей дискретной случайной величины.

Рис. 1.3. Распределение вероятностей дискретного равномерного распределения (п = 6).

Случайная величина, принимающая п (п ^ 1) значений Х, Х2, …, х_п с вероятностями р, = 1/п, называется случайной величиной, распределенной по дискретному равномерному закону. На рис. 1.3 рассматриваемая случайная величина (для п — 6) представлена в графической форме. Случайная величина, распределенная по дискретному равномерному закону, является моделью событий с равновероятными исходами (см. пример с бросанием игральной кости).

Случайная величина, принимающая два значения: 0 и 1 с вероятностями q = 1—р и р, соответственно (0 < р < 1), называется распределенной по закону Бернулли с параметром р. Случайная величина, распределенная по закону Бернулли, — удачная модель для описания многих конкретных испытаний, имеющих два исхода (наиболее известный пример — бросание правильной монеты — здесь р = q — ½), в том числе и в биологии, на;

Рис. 1.4. Распределение вероятностей биномиально распределенной случайной величины (п = 10; Р = 0,2).

Рис. 1.5. Распределение вероятностей пуассоновской случайной величины (X = 5) пример, присутствие или отсутствие некоторого признака, пол родившегося детеныша и т. д.

Случайная величина <; — число успехов в п испытаниях (см. формулу (1.3)), принимающая п + 1 значение 0,1,2, …, п с вероятностями

где г = 0,1,2, …, n, q = — р, 0 < р < 1, называется биноминально распределенной случайной величиной, а п и р — параметрами распределения. На рис. 1.4 биномиальная случайная величина представлена в графической форме. Пример использования биномиальной случайной величины дан в примере 1.8.

Заметим, что случайная величина, распределенная по закону Бернулли, является частным случаем биномиальной случайной величины для n = 1.

Случайная величина 5, принимающая счетное множество значений 0,1,2, … с вероятностями.

где i = 0,1,2, …, X > 0, называется случайной величиной, распределенной по закону Пуассона.

Величина X называется пара-метром распределения Пуассона.

Случайная величина, распределенная, но закону Пуассона, может быть получена как предел биномиальной случайной величины при п —? оо, р —> 0, пр = const = X.

На рис. 1.5 случайная величина, распределенная по закону Пуассона, представлена в графической форме. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, служит моделью числа появления некоторого события за единицу времени, численности бактерий в единице объема, численности животных на единице площади и т. п.

Распределение Пуассона иногда называют «распределением вероятностей редких событий», поскольку оно хорошо описывает ситуацию случайно и независимо друг от друга появляющихся событий в течение заданного периода времени (регистрация радиоактивных частиц в счетчике Гейгера, телефонные звонки, появление посетителей в малопосещаемом магазине и т. п.). При этом существенна именно независимость событий, а их «редкость» требуется лишь для того, чтобы можно было пренебречь вероятностью одновременного появления двух событий. Если параметр X относится к единице времени, то периоду времени длительностью t будет соответствовать пуассоновское распределение с параметром . Соответственно вероятность того, что в течение периода t не произойдет ни одного события, равна

Например, если появление события влечет гибель организма, то ро = e"^Xt можно интерпретировать как вероятность того, что организм доживет до возраста t («вероятность дожития»). Параметр X в этом случае называют интенсивностью смертности (смертностью).

Из приведенной формулы видно, что чем больше X, тем меньше вероятность дожить до заданного возраста ?, и, конечно, чем больше заданный возраст, тем меньше вероятность до него дожить (классический пример — время жизни стакана в столовой).

Из других часто используемых дискретных распределений отметим без определения отрицательное биномиальное распределение и гипергеометрическое распределение.

Задачи для самостоятельного решения.

• 1. Нарисуйте график функции распределения случайной величины, распределенной по закону Бернулли.
• 2. Нарисуйте график функции распределения случайной величины, распределенной по дискретному равномерному закону (п = 6).
• 3. Вероятность хотя бы одного появления события А при четырех независимых опытах равна 0,61. Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?
• 4. Имеется пять независимых проб воздуха единичного объема. Число бактерий в каждой пробе распределено по закону Пуассона с параметром X, равным 2. Найдите вероятность того, что, по крайней мере, в одной пробе имеется не менее трех бактерий.