Неравенство Чебышева. 
Теория вероятностей

Теорема. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева.

где а = М (Х), г > 0.

? Применим неравенство Маркова в форме (6.1) к случайной величине X' - (X — а)², взяв в качестве положительного числа А = е². Получим

Так как неравенство (X- а)²> е² равносильно неравенству |Х-я|>?, а М (Х-а) есть дисперсия случайной величины X, то из неравенства (6.5) получаем доказываемое неравенство (6.4). ?

Учитывая, что события Х-а>г и Х-а противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в другой форме:

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В форме (6.4) оно устанавливает верхнюю границу, а в форме (6.6) — нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

Запишем неравенство Чебышева в форме (6.6) для некоторых случайных величин:

а) для случайной величины Х = т, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием, а = М (Х) = при дисперсией О (Х) = пру (см. параграф 4.1):

б) для частости события в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью

, и имеющей дисперсию

О Пример 6.3. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя: а) неравенство Маркова; б) неравенство Чебышева.

Решение, а) Пусть X — расход воды на животноводческой ферме (л). По условию М (Х) = 1000. Используя неравенство Маркова (6.3), получим

т.е. не менее чем 0,5.

б) Дисперсия П[Х) = а² < 200². Так как границы интервала 0<�Х<2000 симметричны относительно математического ожидания М{Х) = 1000, то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева^[1] (6.6):

т.е. не м е н е е чем 0,96. В данной задаче оценку вероятности события, найденную с помощью неравенства Маркова (Р> 0,5), удалось уточнить с помощью неравенства Чебышева (Р>0,96). ?

0 Пример 6.4. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100 (включительно). Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра — Лапласа. Объяснить различие полученных результатов.

Решение. По условию вероятность того, что деталь бракованная, равна р = 1 — 0,96 = 0,04. Число бракованных деталей Х = т имеет биномиальный закон распределения, а его границы 60 и 100 симметричны относительно математического ожидания а = М (Х) = пр = 2000 • 0,04 = 80.

Следовательно, оценку вероятности искомого события.

можно найти по формуле (6.6): т. е. не менее чем 0,808.

Применяя следствие (2.13) интегральной теоремы Муавра — Лапласа, получим

т.е. вероятность искомого события приближенно равна 0,979.

Полученный результат Р~ 0,979 не противоречит оценке, найденной с помощью неравенства Чебышева —Р>0,808. Различие результатов объясняется тем, что неравенство Чебышева дает лишь нижнюю границу оценки вероятности искомого события для любой случайной величины, а интегральная теорема Муавра — Лапласа дает достаточно точное значение самой вероятности Р (тем точнее, чем больше /?), так как она применима лишь для случайной величины, имеющей определенный, а именно — биномиальный закон распределения. ?

[> Пример 6.5. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более трех средних квадратических отклонений (по абсолютной величине) — {правило трех сигм).

Решение. По формуле (6.6), учитывая, что Д (Х) = а², получим:

т.е. не менее чем 0,889. Напомним, что для нормального закона правило трех сигм выполняется с вероятностью Р, равной 0,9973, т. е. Р = 0,9973. Можно показать, что для равномерного закона распределения Р= 1, для показательного — Р- 0,9827 и т. д. Таким образом, правило трех сигм (с достаточно большой вероятностью его выполнения) применимо для большинства случайных величин, встречающихся на практике. ?

О Пример 6.6. По данным примера 2.8 с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

Решение. Полагая п = 1000, р = 0,87, # = 0,13, но формуле (6.7).

т.е. не менее чем 0,929. Напомним, что в примере 2.8, б было получено достаточно точное значение вероятности этого события при использовании следствия из интегральной теоремы Муавра — Лапласа, равное 0,9998; различие результатов объясняется так же, как и в примере 6.4. ?

Замечание. Если математическое ожидание М (Х) > А или дисперсия случайной величины /)(Х) > ?², то правые части неравенств Маркова и Чебышева в форме соответственно (6.3) и (6.6) будут отрицательными, а в форме (6.1) и (6.4) будут больше единицы. Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к тривиальному результату: вероятность события больше отрицательного числа либо меньше числа, превосходящего единицу. Но такой вывод очевиден и без использования данных неравенств. Естественно, это обстоятельство снижает значение неравенств Маркова и Чебышева при решении практических задач, однако не умаляет их теоретического значения.

• [1] Берем в качестве дисперсии О (Х) ее максимальное значение, равное 2002, что позволяет найти оценку вероятности искомого события для любых значений Р (Х) < 2002.