Типовые примеры. 
Теория статистики

Примеры определения параметров выборки

Пример 7.1. Планируется проведение выборочного наблюдения, затрагивающего жизнь студентов. В качестве первой задачи необходимо определить объем репрезентативной случайной выборки по схеме повторного и бесповторного отбора.

Решение

Прежде всего необходимо определить объем случайной повторной (п) и бссповторной (п') выборок. Записываем формулы и фиксируем t — коэффициент доверия, который связан с выбранной нами вероятностью (см. таблицу интеграла вероятности П2.7 в приложении 2):

t²o², _ t²o²N Д² ' ^П t²a² + A²N'

Поскольку выборка еще не осуществлена, нужно получить отдельные значения из разных источников. При вероятности 0,9 значение t = 1,65. Дисперсия генеральной совокупности нам неизвестна, поэтому обращаемся либо к экспертам, либо к аналогичным исследованиям или проводим пробное исследование, чтобы получить хотя бы некоторое приближенное значение. Д определяется нами аналогично в процентах (от 1 до 10) или в долях.

Таким образом, предположим, мы получили сведения (весьма приближенные), что средняя стоимость обеда равна 80 руб., а среднее квадратическое отклонение — 17 руб. Допустимую ошибку устанавливаем в размере 5% от стоимости обеда, т. е. 4 руб. Подставляем численные значения в формулы и получаем, что объем выборки п равен 50 студентам:

Решение задачи для бесповторного отбора связано со значением объема N. Примем, что 77 = 30 000, и получим практически тот же самый результат 50.

Пример 7.2. В случайной выборке из 40 студентов была рассчитана средняя успеваемость по результатам прошлой сессии, и было найдено х =3,71 балла. По этой же выборке было получено, а = 0,28 балла. Необходимо определить границы, в которых находится средняя успеваемость всего потока с вероятностью 0,9 и 0,95.

Решение

Формула средней ошибки выборки для повторного отбора имеет следующий вид:

После нахождения этой ошибки мы должны определить предельную ошибку, которая равняется Д = (.it.

С учетом требуемой вероятности 0,9 из таблицы интеграла вероятности находим значение коэффициента доверия t, который составляет 1,65.Умножая полученное значение на величину 0,044, получаем предельную ошибку выборки Д = 0,073. Окончательный результат наших усилий будет выглядеть так: x_t =3,71 ±0,073. Или 3,64—3,78. Это ингервальная оценка, которая означает: с вероятностью 0,9 можно утверждать, что средняя успеваемость студентов всего потока (генеральной совокупности) будет находиться в пределах (границах) от 3,64 до 3,78 балла. При вероятности 0,95 t = 1,96, и, следовательно, границы будут несколько шире: 3,71 ±0,086.

Пример 7.3. В вузе на дневном отделении обучаются 4850 студентов. Это генеральная совокупность. Ректорат интересуется многими аспектами жизни студентов, в частности их религиозностью (всех конфессий). Была проведена случайная бесновторная выборка гг = 148 чел. При опросе 60 студентов ответили, что они религиозны, а остальные заявили, что они нерелигиозны. Определите с заданной вероятностью долю (%) религиозных студентов во всем вузе.

Решение

Прежде всего определяем долю религиозных студентов в выборке:

Доля неверующих студентов соответственно q = 1 — р = = 1 — 0,405 = 6,595 (или 88/148 = 0,595). Фиксируем доверительную вероятность 0,92. По таблице интеграла находим *=1,76.

Далее выписываем формулу предельной ошибки бесповторной выборки для определения доли и проставляем конкретные значения:

где pq — дисперсия альтернативного признака (0,405−595);

Поскольку выборочная доля^{верующих} составила 40,5%, а предельная ошибка 7%, то мы вправе сказать, что с вероятностью 0,92 доля верующих во всем вузе составляет 40,5 ± 7 — от 33,5 до 47,5%. Если ректорат не удовлетворен таким результатом (величина ошибки велика, а границы широки), то мы сможем предложить снизить ошибку до любого приемлемого уровня, но при условии, как правило, удорожания исследования, чаще всего за счет увеличения объема выборки. Например, при ошибке 3,5% необходимый объем выборки составит 592 (148−4), т. е. снижение ошибки в 2 раза влечет за собой увеличение выборки в 4 раза.