Автоволны и диссипативные структуры. 
Базовая модель «брюсселятор»

Нелинейное взаимодействие компонентов системы в сочетании с процессами переноса приводит к сложным пространственно-временным режимам поведения компонентов системы. Первая модель такого взаимодействия была изучена Тьюрингом в работе «Химические основы морфогенеза». Алан М. Тьюринг (1912;1954) английский математик и логик, прославился своими работами по компьютерной логике и теории автоматов. В 1952 г. он опубликовал первую часть исследования, посвященного математической теории образования структур в первоначально однородной системе, где одновременно проходят химические реакции, в том числе автокаталитические процессы, сопровождаемые потреблением энергии, и пассивные процессы переноса — диффузия. Работа Тыоринга стала классической, ее идеи легли в основу современной теории нелинейных систем, теории самоорганизации и синергетики. Рассматривается система уравнений:

Уравнения такого типа называются уравнениями «реакциядиффузия». В линейных системах диффузия — процесс, который приводит к выравниванию концентраций во всем реакционном объеме. Однако в случае нелинейного взаимодействия переменных х и у, в системе может возникать неустойчивость гомогенного стационарного состояния и образуются сложные пространственно-временные режимы типа автоволп или диссипативных структур — стационарных во времени и неоднородных по пространству распределений концентраций, поддержание которых происходит за счет диссипации энергии системы. Условием возникновения структур в таких системах является различие коэффициентов диффузии реагентов, а именно, наличие близкодействующего «активатора» с малым коэффициентом диффузии и дальнодействующего «ингибитора» с большим коэффициентом диффузии.

Такие режимы в двухкомпонентной системе были изучены в деталях па базовой модели «брюсселятор» (Пригожин и Лефевр, 1968), названной в честь брюссельской научной школы иод руководством И. Р. Пригожина, в которой наиболее интенсивно проводились эти исследования. Илья Романович Пригожин (род. 1917 г. в Москве) — всю жизнь работал в Бельгии. С 1962 г. он — директор Международного Сольвеевского института физической химии, а с 1967 г. — директор Центра статистической механики и термодинамики Техасского университета (США). В 1977 г. он получил Нобелевскую премию за работы по нелинейной термодинамике, в частности, по теории диссипативных структур. Пригожин является автором и соавтором целого ряда книг ["Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций", «Порядок из хаоса», «Стрела времени», и др.], в которых он развивает математические, физико-химические, биологические и философские идеи теории самоорганизации в нелинейных системах, исследует причины и закономерности рождения «порядка из хаоса» в богатых энергией открытых для потоков вещества и энергии системах, далеких от термодинамического равновесия, под действием случайных флуктуаций.

Классическая модель «брюсселятор» имеет вид.

и описывает гипотетическую схему химических реакций:

Ключевой является стадия превращения двух молекул X и одной молекулы Y в X — так называемая тримолекулярная реакция. Такая реакция возможна в процессах с участием ферментов с двумя каталитическими центрами. Нелинейность этой реакции в сочетании с процессами диффузии вещества и обеспечивает возможность пространственно-временных режимов, в том числе образование пространственных структур в первоначально однородной системе — морфогенез.

Модели морфогенеза, в том числе модели окраски шкур животных, подробно описаны в монографиях Д. Марри «Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях», М., Мир, 1983 (J. D. Murray «Lectures on Nonlinear Differential Equation», Oxford, 1977), J. D. Murray «Mathematical Biology», Springer, 1989, 1993 [4]. Окраска типа «шкуры леопарда» образуется в системе реакция-диффузия, локальное взаимодействие которой описывается механизмами, подобными механизмам Жакоба и Моно (Модель Чсрпавского [7]). Широко известна модель, описывающая дифференциировку клеток гидры (Girer, Mainhardt, 1972). Локальная безразмерная модель имеет вид:

а, Ь, К — константы. Модель описывает автокаталитическую продукцию активатора и — член и²/[г (1 + Ки²)] — с учетом насыщения до величины 1/(Ки) при больших и. Ингибитор v активируется и в соответствии со вторым уравнением, но ингибирует производство активатора.

В работах Марри для описания окраски шкур животных используется модель, локальная версия которой предложена в Thomas (1976), обладающая близкими свойствами:

Рис. 11. Примеры результатов моделирования (а-с) и натуральной раскраски (d-g) хвоста ягуара (Murray J.D. Mathematical Biology, Springer, 1993, p. 441).

Здесь a, b, a, p — положительные параметры. Отношение коэффициентов диффузии cl больше единицы, что является условием диффузионной неустойчивости. Фактор 7 определяет размер домена при периодической окраске. Пример воспроизводимой на модели структуры приведен на рис. 11. Более реалистичные модели, учитывающие механохимические взаимодействия, рассмотрены в работах А. В. Белоусова и Б. 11. Белинцева (Б. Н. Белинцев. Физические основы биологического формообразования. М., 1991).