Свойства равнодействующей. 
Теоретическая механика.

Если система сил имеет равнодействующую R*, то эта равнодействующая равна главному вектору системы, т. е.

Это непосредственно следует из общего критерия эквивалентности систем сил (п. 3.4).

Не менее очевидно и нижеследующее утверждение.

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей). Если система сил {Fj, …, F,} имеет равнодействующую R, то момент этой равнодействующей относительно произвольной точки равен сумме моментов всех сил системы относительно той же точки:

В самом деле, система сил {F_h …, F") эквивалентна своей равнодействующей R, поэтому должны быть равны главные моменты системы {Fi, …, F,} и системы {R } относительно произвольной точки. Именно это и выражает равенство (4.2). ?

Центр тяжести тела

Силы тяжести р_ь р₂, …, р" отдельных частиц тела образуют систему параллельных одинаково направленных сил (рис. 4.6). Такая система сил обязательно имеет равнодействующую. Это можно показать, используя правило сложения параллельных сил (п. 1.2, пример 2).

Центром тяжести тела называют точку С, через которую проходит линия действия равнодействующей Р сил тяжести всех частиц этого тела при любом его положении.

Пусть известны радиус-векторы г, г₂, …, г" точек приложения сил тяжести р₍, р₂, …, р". Вычислим, используя теорему Вариньона, радиус-вектор г_с центра тяжести С (рис. 4.6).

Запишем равенство моментов (4.2) в виде.

Рис. 4.6.

Используя параллельность всех сил и свойство (4.1) равнодействующей, представим силы в виде:

где е — единичный вектор.

' п 'N f п

Подставляя (4.3) в (4.2), получим ^/?, r_cxe = ^р₁г₁ хе, отку;

• 4=1 ) 4i=l )
• (п п

да следует равенство ^ /?, г_с = ^ р, т, и, наконец, v'=i ) /=1.

Введем декартовы оси координат с началом в точке О. Проецируя (4.5) на эти оси, получим формулы для декартовых координат центра тяжести С тела:

Рис. 4.7.

п

где Р = Z Pi ~ ^вес тела.

1=1.

Пример 1. Найти положение центра тяжести однородной плоской фигуры, изображенной на рис. 4.7.

Решение. Для описания положения центра тяжести введем систему координат Оху (рис. 4.8).

Разделим фигуру на две части: 1 — прямоугольник, 2 — треугольник. Найдем вес и координаты центров тяжести С, С₂ каждой из этих частей. Удельный вес однородной фигуры примем равным 1 Н/кв.ед. Тогда все веса в (4.6) можно заменить на площади соответствующих частей фигуры:

Для прямоугольника: p_t = 412 = 48, а, =6, у = 2.

Рис. 4.8.

Для треугольника: р₂ = 0,5−12−6 = 36, х₂ = 8, у₂ = 6.

Используя формулы (4.6), вычисляем координаты центра тяжести С всей фигуры: