Формулы стереографической проекции

В предыдущем пункте мы дали геометрическую конструкцию стереографической проекции; теперь мы займёмся выводом формул этого преобразования, т. е. решим задачу: зная комплексное число, определить координаты соответствующей точки сферы, и обратно. Для решения этой задачи выберем систему пространственных осей координат 0 $ 7]С таким образом, что оси 0 $ и 07] совпадают соответственно с осями Ох и Оу на числовой плоскости, а ось ОС направлена по диаметру ОР (фиг. 13). Величину диаметра сферы для простоты примем за единицу.

Комплексное число z=x —yi изображается на плоскости точкой с координатами х, у на сфере пусть это число изобразится точкой с координатами S, 7], С. Так как центр сферы лежит в точке.

(б, 0, у^ и радиус её равен у, то S, 7), С должны удовлетворять следующему уравнению сферы:

Далее, так как три точки (0, О, 1), (5, i), ц) и (х, у, 0) лежат на одной и той же прямой линии, то их координаты должны удовлетворять соотношениям:

Из этих равенств (17) можно выразить х и у через S, т), С. Так, сравнивая первое отношение с третьим, а затем второе с третьим, найдём:

Эти формулы (18) лают выражения координат точки плоскости через, координаты соответствующей точки сферы. Для получения обратных формул заметим, что

откуда находим:

зная же из формул (18) немедленно определяем $ п 7):

Формулы (19), (19') и (19″) дают выражения для координат точки сферы через компоненты х и у комплексного числа.