Экономико-математическое моделирование основных финансово-экономических показателей

Важным направлением в исследовании закономерностей социально-экономических процессов является изучение общей тенденции развития. Прогнозирование — это метод, в котором используются накопленный в прошлом опыт и текущие допущения на счет будущего в целях его определения. Если прогнозирование выполнено качественно, то результатом станет картина будущего, которую можно использовать как результат планирования.

Существует много методов прогнозирования, среди которых можно выделить метод анализа временных рядов. Он основан на допущении, согласно которому случившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение в оценке будущего.

Изменение уровней рядов динамики обусловливаются влиянием на изучаемое явление ряда факторов, которые неоднородны по силе, направлению и времени их действия. Постоянно действующие факторы оказывают на изучаемые явления определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд). Воздействие других факторов проявляется периодически.

Различные результаты действия постоянных, периодических и разовых причин и факторов на уровни развития социально-экономических явлений во времени обусловливают необходимость изучения основных компонентов ряда динамики: тренда, периодических колебаний, случайных отклонений.

Особенностью изучения развития социально-экономических процессов во времени является то, что в одних рядах динамики основная тенденция роста проявляется при визуальном обзоре исходной информации, в других рядах динамики общая тенденция развития непосредственно не проявляется. Она может быть выражена расчетным путем в виде некоторого теоретического уровня.

При изучении в рядах динамики основной тенденции развития (тренда) решаются две взаимосвязанные задачи:

• — выявление в изучаемом явлении наличия тренда с описанием его качественных особенностей;
• — измерение выявленного тренда, то есть получение обобщающей количественной оценки основной тенденции развития.

Подбор аппроксимирующей функции по результатам наблюдения.

Наносим наблюдаемые значения на график. По виду графика подбираем вид аппроксимирующей функции. Для нашего примера в большей степени подходит линейная функция. Итак, принимаем гипотезу о том, что наблюдаемые значения описываются линейной моделью.

у = а + в*Х, где а и в являются параметрами данной модели.

Определение параметров модели.

Параметры модели определяются методом наименьших квадратов Суть метода: min ?еІi = min ? (уi — у);

dS / dб = -2?y+2nб+2в?x =0.

dS / dв = -2?ух+2б?х+2в?хІ =0.

Система нормальных уравнений:

nб+ в?x = ?y.

б?x + в?хІ = ?xy.

б + в*xср = yср б*xср + в (хІ)ср = (xy)ср С помощью системы уравнений находим коэффициенты регрессии (параметры уравнения):

в = (xy)ср — yсрxср в = 40 408.

(хІ)ср -(xср)І.

б = yср — в*xср б =118 751.

Определение коэффициента корреляции.

С помощью коэффициента корреляции (ryx) производится оценка тесноты связи между у и х.

Коэффициент корреляции больше 0,7, то связь между х и у сильная. В нашем случае ryx = 0,869.

rxy = ((xy)срxср yср) / дx дy.

дx = (xixср)І / (n-1); дx =2,449.

дy = (yi — yср)І / (n -1); дy =99 699.

где n — число наблюдений в выборке, дx дy — среднее квадратическое отклонение.

Коэффициент Снедекера F.

Коэффициент Снедекера F оценивает существенность (значимость) построенной модели.

F фактич = rxy І (n-2) / (1- rxyІ).

F фактич = 7,233;. F теоритич = 5,52;

F фактич > F теоретич, то модель существенна.

Теоретические значения критерия Снедекера можно взять в таблице.

Таблица Фишера.

m — число степеней свободы.

m = n-1 (количество наблюдений в выборке минус число уравнений связи). динамика квадрат корреляция детерминация Коэффициент детерминации.

RІ = ?(y^ - yср)І / ?(yiyср)І.

• ?(y^ - yср)І - общая сумма квадратов отклонений;
• ? (yiyср)І - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (объясненная или факторная).

Коэффициент детерминации > 0,8, то модель описывает наиболее существенные стороны рассматриваемой модели или процесса. В нашем примере R2 = 0,986. Это значит, что 98% результирующего признака определяется параметрами независимого аргумента.

Случайные ошибки и оценка значимости по t-критерию Стьюдента Случайные ошибки:

mв = (?(yi — y^)І / ((n-2) ?(x — xср)І))Ѕ.

тб = (?(yi — y^)І ?xІ / (n (n-2) ?(x — xср)І))Ѕ тб = 10 054.

mr = ((1- ryxІ) / (n-2)) Ѕ mr = 0,202.

Оценка значимости коэффициентов:

tв = в / mв.

tб = б / тб.

tr = r / mr.

Полученные коэффициенты сравниваются с данными из таблицы Стьюдента:

Таблица Стьюдента.

В нашем примере tв =20,295; tб =11,811; tr =4,296; tтабл = 2,31. значения этих коэффициентов больше табличного, то коэффициенты регрессии б, в, и коэффициент корреляции (ryx) существенны.

Доверительные интервалы для б, в Сначала вычисляем предельные ошибки для б и в:

Дб = tтабл* mб Дб =23 728 Дв = tтабл* mв Дв =4698.

Доверительный интервал для определенных параметров:

Lб min = б — Дб Lб min = 95 023.

Lб mах = б + Дб Lб mах = 142 479.

Lв min = в — Дв Lв min = 35 709.

Lв mах = в + Дв Lв mах = 45 107.

Целесообразно иметь доверительные интервалы не более 10% от абсолютных значений определяемых параметров. Полученные доверительные интервалы не удовлетворяют этому условию.

Средняя стандартная ошибка прогноза:

my = дост (1+1/n +(x — xср)І / ?(x — xср)І)Ѕ myр = 18 836.

дост = (?(yi — y^)І / (n-1)) Ѕ дост = 12 903.

yp = 563 247.

Доверительный интервал прогноза:

?yp = tтабл myp? yp = 44 453.

Ly min = yp — ?yp Ly min = 518 794.

Ly max = yp + ?yp Ly max = 607 700.

Рис. Прогноз выручки от реализации продукции.

Для того, чтобы моделью можно было пользоваться, она должна быть надежна, при этом коэффициент Снедекера Fф > Fтабл (3,037 < 5,52). Моделью можно пользоваться.

Коэффициент корреляции, rxy < 0,7 (0,580 < 0,7), это свидетельствует о сильной связи между отклонениями фактических уровней сравниваемых рядов от соответствующих им выравненных уровней.

Условие оценки значимости коэффициентов б, в, rx по t-критерию Стьюдента:

модель не надежна;

— предельные ошибки б, в и rxy:

Модель не надежна и не может быть использована для прогноза, необходимо увеличивать количество наблюдений (m) и сделать заново прогноз.

• ?б=13 294 < 10%
• ?в=17 061 < 10%
• ?rxy = 0,477 > 10%

Доверительные интервалы превышает 10% от абсолютных значений определяемых параметров.

Модель не надежна и не может быть использована для прогноза, необходимо увеличить количество наблюдений (n) и сделать заново прогноз.