Арбитраж и оценивание долговых обязательств

Выше мы получили формулу (3.35).

для оценивания депозитного сертификата с суммой погашения S и оставшимся сроком до погашения Т. Эта формула была получена из условия равновесия денежного рынка. В равновесии инвестору безразлично вкладывать средства в банк, но ставке i или покупать сертификат по ценеР. Очевидно, что приведенная формула годится и для оценки векселя и вообще любого инструмента денежного рынка, гарантирующего (единственную) выплату суммы S спустя срок Т. В современной теории финансов обоснование равенства (3.35) осуществляется с помощью так называемых арбитражных соображений. Арбитражем называется сделка, которая не требует начального капитала (г.е. расходов), но гарантирует (безрисковую) положительную прибыль. Эта прибыль называется арбитражной. В силу чрезвычайной методологической и практической важности понятия арбитража мы в этом параграфе изложим суть упомянутого подхода.

Пусть равновесная ставка (простая годовая) на денежном (кредитном) рынке равна i, пусть также на рынке обращается обязательство, например вексель, с суммой погашения S, с оставшимся сроком до погашения Т лет. Тогда равновесная (безарбитражная) цена векселя равна.

Этот ([такт известен под названием теоремы об арбитраже на денежном рынке, которую обосновывают следующим образом. Если у инвестора имеется сумма Р и он вложит ее в банк по ставке i на срок Т лет, то в конце срока он получит сумму.

С другой стороны, если инвестор купит вексель за сумму Р, то при его погашении он получит сумму 5, поэтому ему нет смысла покупать вексель, если S < 5_Т.

Аналогичным образом рассуждает эмитент векселя. Эмитент векселя, продавая вексель по цене Р, берег фактически кредит на эту сумму у его покупателя, обязуясь вернуть сумму векселя S через срок Т. Если (в равновесии) ставка по кредиту равна ставке по депозиту, то, взяв кредит в банке на сумму Р по ставке i на срок Т лет, он должен будет вернуть сумму S_T. Следовательно, ему нет смысла продавать (выписывать, эмитировать) вексель на сумму S, если.

поэтому в равновесии должно выполняться равенство откуда вытекает равенство.

Если же по каким-то причинам текущая цена векселя Р будет отличаться от равновесной цены, определяемой формулой (3.35), то на рынке будет возможность осуществления арбитража.

Проиллюстрируем арбитраж на примере. Пусть на рынке обращается вексель на сумму S = 1000 руб. сроком погашения ровно через год. Пусть равновесная (простая годовая) процентная ставка i (по кредитам и депозитам) равна 100% годовых. Значение 100% взято исключительно для простоты и наглядности расчетов.

Согласно формуле (3.35) равновесная цена векселя должна быть равна.

Покажем, что если цена векселя будет отличаться от этого значения, то возможен арбитраж.

Пусть цена векселя меньше 500 руб. и равна, например, 400 руб. Тогда инвестор (арбитражер), взяв кредит в банке на год на сумму 400 руб., купит вексель. Через год он получит сумму 1000 руб. по векселю и вернет 800 руб. по кредиту. Таким образом, не потратив ни копейки, инвестор заработает за год 200 руб. арбитражной прибыли.

Заметим, что как только появится возможность осуществить такую сделку, все большее число лиц захотят стать арбитражерами. Их повышенный спрос на кредиты заставит банк увеличить ставку по кредитам, а повышенный спрос на вексель заставит продавца (продавцов) увеличить цену векселя. В результате возможность арбитража исчезнет, поэтому цена векселя не может быть меньше 500 руб.

Пусть, наоборот, цена векселя больше 500 руб. и равна, например, 600 руб. В этом случае инвестор сам может стать эмитентом векселя, он будет продавать векселя за 600 руб., а выручку класть в банк на годовой депозит по ставке 100% годовых. Через год он получит 1200 руб. по депозиту и погасит (выкупит) вексель по 1000 руб. И снова, не потратив ни копейки, он заработает за год 200 руб. арбитражной прибыли.

В этом случае все большее число лиц будет выписывать и продавать векселя по 600 руб. и класть выручку в банк. Повышенное предложение приведет к снижению цены векселя, а банки из-за повышенного предложения денег на депозит снизят ставку по ним. Это, в конце концов, приведет к исчезновению возможности арбитража, поэтому цена векселя не может быть больше 500 руб. Таким образом, единственная возможность, которая не приводит к арбитражу, — это выполнение равенства (3.35).

Формально в общем виде доказательство формулы безарбитражного оценивания.

можно провести «от противного». Предположим, что это равенство не выполняется.

Тогда имеют место две возможности: рыночная цена будет либо а) меньше, либо б) больше оценочной (равновесной) Р₀ = 5/(1 + ?Т). Рассмотрим оба случая и покажем, что в каждом из них возможен арбитраж.

а) Рыночная цена векселя Р меньше оценочной (равновесной) Р₀:

Тогда инвестор (арбитражер) берет в банке кредит на сумму Р (стоимости векселя) на срок Т и покупает вексель. Спустя срок Т он получает сумму S погашения векселя и возвращает наращенный долг в размере S_Ty который будет меньше в силу условия (3.37) суммы погашения.

Разность будет арбитражной прибылью.

Поскольку арбитраж на равновесном рынке невозможен, то условие (3.37) не может выполняться, так что должно выполняться неравенство.

б) Рыночная цена векселя Р больше оценочной (равновесной) Р₀:

Тогда инвестор (арбитражер) продает (эмитирует) вексель по рыночной цене Р и кладет выручку на депозит в банк под ставку г на срок. Спустя срок Т он получает сумму S_T погашения депозита и выплачивает покупателю векселя его сумму погашения S в размере, меньшем в силу условия (3.37) суммы депозита:

Разность будет арбитражной прибылью.

Отсутствие арбитража означает, что условие (3.38) не может выполняться, так что должно выполняться неравенство.

Одновременное выполнение неравенств Р>Р₀и Р<�Р₀ означает равенство рыночной и оценочной (равновесной) цен:

Приведенные выше рассуждения и составляют так называемый принцип безарбитражного (равновесного) оценивания для инструментов денежного рынка.

Однако приведенные выше рассуждения исходили из условия равенства ставок по кредитам и депозитам. На практике это не так, и ставка, но кредитам /_кр всегда выше ставки по депозитам г_д:

В этом случае нет единственной безарбитражной цены, а есть два диапазона цен: внутренний [Р_; Р₊] (безарбитражный) и внешений (-со, Р_) и (Р₊, +оо) = R[P_, Р₊] (арбитражный) диапазоны,.

Рис. 3.6.

определяемые парой критических цен: нижней и верхней

Для цен из внутреннего (безарбитражного) диапазона арбитраж невозможен, а для внешнего возможен. Пусть цена векселя Р меньше Р :

Тогда инвестор берет кредит на срок Т на сумму Р < Р по ставке г_кр и покупает вексель. Через срок Т он получит сумму S по векселю и оплатит кредит на сумму погашения.

Разность S — S_T составит арбитражную прибыль.

Аналогично, если Р > Р+:

то инвестор продаст (эмитирует) вексель по цене Р > Р+ и положит выручку на депозит на срок Т по ставке г_д. В конце срока он получит по депозиту сумму.

Разность — 5 составит арбитражную прибыль. Кроме указанных ограничений на возможность арбитража на размер арбитражной прибыли влияет та максимальная сумма кредита, на которую может рассчитывать арбитражер, а также предельное число векселей в обращении, которые он может купить или продать, но данной цене.

Пример 15. Текущие годовые простые процентные ставки банка по депозитам и кредитам равны соответственно i_a = 16,00%; i_Kp = 21,00%. Одновременно на рынке продается вексель на сумму 1000 руб. сроком обращения 6 месяцев.

Какую максимальную арбитражную прибыль можно заработать на таком рынке, если цена векселя 900,00 руб. Максимальный размер кредита для арбитражера 500 000 руб., а максимальный объем иокупок/продаж поданной цене составляет 1000 шт. Если арбитраж невозможен, то арбитражная прибыль равна нулю. Решение. Найдем сначала граничные цены:

Поскольку цена векселя меньше низшей цены Р = 904,9774, то возможен арбитраж, заключающийся в одновременном займе 500 000 руб. на пол года по ставке i_Kp = 21,00% и покупке векселей по цене 900,00 руб. Максимальное число векселей, которое можно купить на всю сумму займа, равно.

Так как это число меньше, чем предельно возможный объем покупок, то арбитражер купит это количество векселей на всю сумму займа. При погашении векселей арбитражер выручит сумму.

и потратит из нее

на погашение долга. Разница между этими суммами.

и составляет максимальную возможную арбитражную прибыль.