Максимизация полезности с учетом смертности

Пусть вероятность умереть в единицу времени не зависит от возраста и равна/?. Обозначим случайную переменную «время от рождения до смерти» через х и предположим, что вероятность дожить до возраста f, т. е. умереть в этом возрасте, равна.

Равенство /(0) = р означает, что вероятность умереть в момент рождения равна р. Чем старше человек, тем ниже вероятность умереть в данном возрасте (не путайте с вероятностью умереть в единицу времени, которая в данной модели постоянна, а на практике растет с возрастом). Равенство /(°°) ⁼ б означает нулевую вероятность бессмертия. Ожидаемая продолжительность жизни (х) равна математическому ожиданию переменной х. В дискретном случае, когда вероятность дожить до возраста х, — равна /, выполняется х = ?х_;/, а в непрерывном случае вместо суммирования используют интеграл. Применим метод интегрирования по частям, тогда ожидаемая продолжительность жизни окажется обратной величиной к р:

Если человек родился в момент s, то в момент t его возраст равен (t — s), а вероятность дожить до такого возраста равна f (t — s). Пусть в каждый момент рождается N человек, тогда к моменту t численность поколения, рожденного в момент 5, равна N (s) = Nf (t — s), а численность всего населения равна суммарной численности выживших представителей всех предыдущих поколения, она также равна N:

Пусть потребитель родился в нулевой момент времени. Интегральная полезность за бесконечный период (U) равна дисконтированному потоку ожидаемой полезности (и^е), которая зависит от мгновенной функции полезности и©, но также от вероятности /(f) дожить до момента потребления, поскольку после смерти полезность равна нулю:

Пусть функция мгновенной полезности имеет вид.

Потребитель максимизирует интегральную полезность:

где Р — субъективная норма дисконтирования; С — потребление.

С учетом (2.13) и (2.14) целевая функция (2.15) примет вид.

Из (2.16) следует, что осознание потребителем вероятности своей смерти выражается в увеличении им субъективной нормы дисконтирования на величину вероятности смерти в единицу времени (р). Чем больше вероятность смерти, тем больше новая норма дисконтирования (Р + р), тем ценнее текущее потребление по сравнению с будущим потреблением. Динамика потребления описывается модифицированным уравнением Эйлера с повышенной субъективной нормой дисконтирования:

Из (2.17) следует, что с ростом вероятности смерти потребление медленнее растет во времени, а падает сильнее. Условие равновесия: г = р + р, т. е. при смертности равновесная ставка процента больше, чем при бессмертии.