Уравнения равновесия.
Механика деформируемого твердого тела
Следовательно, задача об определении напряженно деформированного состояния тела в общем случае является статически неопределимой, и для ее решения необходимо располагать еще геометрическими и физическими соотношениями. Любой элементарный параллелепипед, мысленно выделенный из тела, находящегося в равновесии, тоже должен быть в равновесии. Действующие на него силы должны удовлетворять следующим… Читать ещё >
Уравнения равновесия. Механика деформируемого твердого тела (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия (движения).
Рассмотрим тело, на которое действуют внешняя активная нагрузка и реакции связей (рис. 1.4, а). Тело находится в равновесии, и в каждой внутренней его точке возникающие в нем напряжения (рис. 1.4, б) должны удовлетворять уравнениям равновесия.
Выведем эти уравнения. Для этого, пользуясь методом сечений, мысленно в окрестности произвольной точки выделим тремя парами сечений, параллельных координатным плоскостям, элементарный параллелепипед, к граням которого приложим компоненты тензора напряжений (см. рис. 1.4, б).
В разных точках деформируемого тела напряжения различны, и они являются при статическом нагружении тела функциями координат точек.
Рис. 1.4.
В силу гипотез сплошности и однородности тела эти функции будут непрерывными, и напряжения, действующие на противоположных гранях элементарного параллелепипеда, будут различаться на бесконечно малые величины; так, например,.
Любой элементарный параллелепипед, мысленно выделенный из тела, находящегося в равновесии, тоже должен быть в равновесии. Действующие на него силы должны удовлетворять следующим шести уравнениям равновесия:
На рис. 1.5 показаны только те напряжения, равнодействующие которых проецируются на ось х.
Рис. 1.5.
Запишем первое уравнение равновесия Х (Д), = 0:
Отсюда следует, что.
Проецируя силы на оси у и z, получим.
Последние три уравнения (1.8) приводят к равенствам, которые уже известны как закон парности касательных напряжений:
Окончательно уравнения равновесия (движения) записываются следующим образом:
где X, Y, Z — проекции массовых сил; и, п, w — проекции вектора перемещений на координатные оси (см. рис. 1.1); р — плотность материала.
При действии на тело статических нагрузок в правых частях этих уравнений должны быть нули. Если тело подвергается динамическому нагружению, то в соответствии с принципом Даламбера к действующим силам должны быть добавлены инерционные силы, проекции которых в правых частях уравнений записываются вместо нулей.
Таким образом, учитывая соотношения закона парности касательных напряжений, видим, что первые три уравнения равновесия содержат шесть неизвестных компонентов тензора напряжений стг, ст, а., т, тд.г, т .
Следовательно, задача об определении напряженно деформированного состояния тела в общем случае является статически неопределимой, и для ее решения необходимо располагать еще геометрическими и физическими соотношениями.