Динамика вращательного движения твердого тела

Динамика вращательного движения системы материальных точек. Основные определения

Мы отмечали, что всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения — поступательное (рассмотрено в гл. 3) и вращательное. Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек или частиц с неизменными расстояниями между ними.

Введем некоторые понятия и определения для описания вращательного движения системы частиц.

Момент импульса

а) Момент импульса частицы относительно покоящейся точки Возьмём на некоторой неподвижной оси вращения точку О и будем характеризовать положение образующих тело частиц с помощью радиусов-векторов г, проведённых из этой точки. На рис. 6.1, а показана одна из частиц массой т., движущаяся со скоростью v_i.

Рис. 6.1.

Векторное произведение радиуса-вектора г частицы на её импульс р. = /но, называют моментом импульса L_iV этой частицы относительно точки О.

Численное значение момента импульса L_ia равно Здесь: / = r_{ sin я, — плечо импульса; [/.] = кг • м²/с.

По правилу определения направления вектора, являющегося векторным произведением двух других векторов, отмечаем, что момент импульса L_j0 перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы i; и р, (рис. 6.1 (б), (в)) и, следовательно, перпендикулярен каждому из этих векторов. При этом при наблюдении из конца h_j0 видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от г к р₍ происходит против часовой стрелки (рис. 6.1).

Пример. Частица массой т движется со скоростью и по окружности радиуса R (рис. 6.2).

Рис. 6.2.

Величина момента импульса частицы относительно центра окружности О:

Вектор L перпендикулярен к плоскости окружности, причём направление движения частицы и вектор L образуют правовинтовую систему, в соответствии с (6.1.1). При равномерном движении частицы по окружности r — R — const момент импульса её относительно покоящейся точки О остаётся постоянным.

б) Момент импульса системы частиц относительно точки Векторную сумму моментов импульса L₍₀ всех материальных точек системы относительно покоящейся точки называют моментом импульса L₀ системы относительно той же точки.

в) Момент импульса частицы (и системы частиц) относительно оси Допустим нас интересует момент импульса частицы относительно некоторой оси Оу (рис. 6.3). Выбираем на этой оси некоторую точку О и найдём вначале момент импульса частицы относительно этой точки О. Предположим, что вектор L_ia лежит в плоскости чертежа, тогда легко определить его составляющие L_/v и L_/V. Используя полученное, дадим определение.

Рис. 6.3.

Компонента или составляющая вектора момента импульса относительно покоящейся точки в направлении оси, проходящей через эту точку, называется моментом импульса частицы относительно этой оси.

Заметим, что где бы, например, на оси у ни лежала точка О, L_f.

будет иметь одно и то же значение.

Можно доказать, что

где г_± и р._± — составляющие радиуса-вектора, определяющего положение частицы массой m_i, и импульса частицы, соответственно, направленные перпендикулярно оси Оу. (Подобное доказательство приводится далее для момента силы).

п Так как, согласно (6.1.2), L₀ = ^L_i0 то, например,.

/=1.

Моментом импульса системы частиц (тела) относительно некоторой оси называется составляющая вдоль этой оси вектора момента импульса системы частиц относительно покоящейся точки, лежащей па данной оси, равная векторной сумме моментов импульса относительно данной оси всех частиц, составляющих систему.