Уравнение движения в декартовых координатах

Пусть Oxyz-неподвижная декартовая система координат, i, k, j,-орты ее осей. Тогда вектор функция F (t) может быть задана тремя скалярными функциями x (t) y (t) z (t) -координатами точки F (t) = x (t)i+y (x)j+z (t)k.

Чтобы знать закон движения точки, надо знать значение координат точки для каждого момента, т. е. знать зависимости. X=x (t) Y=y (t) Z=z (t).

Если движение точки совершается все время в одной и той же плоскости, то приняв эту плоскость за плоскость Оxy, получим в этом случае два уравнения движения X=x (t) Y=y (t).

Исключив из уравнения (t) можно получить уравнение траектории в явном виде. Для скорости имеем выражение. V (t)=V (x)i+V (y)j+V (z)k где V (x)I, V (y)j, V (z)k — проекции скорости V на оси Oxyz Модуль скорости и ее направления определяется равенствами V = Корень (V (x)^2+ V (y)^2+ V (z)^2) Аналогично и для ускорения.

Уравнение движения в естественных осях

Mx^(.)=Сумме F.

Так как: W (x)=dv/dt=S^(.), W (n)=V²/p, W (b)=0. то получим дифференциальные уравнения движения.

= Сумма F (kt), Сумма F (kn), Сумма F (kb),.

Уравнения относительного движения и равновесия точки

Уравнение второго основного закона динамики для абсолютного движения точки массой m имеет вид.

F_i — силы, действующие на точку, включая реакции связей.

Абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма трех ускорений: переносного a_пер, относительного a_отн и кориолисова a_кор, т. е.

Подставляя это выражение в (7.1), получим.

Введем в рассмотрение два вектора.

и назовем их переносной и кориолисовой силами инерции.

Подставим эти векторы в уравнение (7.2):

Уравнение (7.3) представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.

В случае равномерного и поступательного переносного движения Ф_пер= 0, Ф_кор= 0 и уравнение (7.3) ничем не отличается от уравнения (7.1). Во всех инерциальных системах отсчета уравнение движения точки записывается одинаково. В этом заключается принцип относительности классической механики.

Проецируя уравнение (7.3) на оси подвижной декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки.

Дифференциальные уравнения относительного движения отличаются от дифференциальных уравнений абсолютного движения наличием в правой части уравнений проекций на соответствующие оси переносной и кориолисовой сил инерции.

Рассмотрим частные случаи относительного движения материальной точки:

1) если подвижная система отсчета движется поступательно, то Ф_кор= 0, так как щ_пер= 0, и уравнение относительного движения примет вид.

ma_отн = УF_i + Ф_пер; (7.5).

2) если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее a_отн= 0, V_отн= 0 и, следовательно, Ф_кор= 0. Тогда уравнение (7.3) примет вид.

УF_i + Ф_пер = 0. (7.6).

Уравнение (7.6) представляет собой уравнение относительного покоя точки.