Математическое описание процесса смешения в ненрерывнодействующнх смесителях

Выше рассматривалось математическое описание периодического процесса смешения бинарных и многокомпонентных композиций сыпучих материалов. Тот же самый математический аппарат случайных марковских процессов применим и для описания непрерывного процесса смешения [23, 48, 1041.

Непрерывнодействующие смесители имеют широкое распространение в промышленной практике. Они служат аппаратурной основой непрерывных технологических процессов, связанных с переработкой композиций, содержащих твердую фазу. В современном конструктивном оформлении таких процессов можно выделить две основные схемы, для которых ниже будет приведено математическое описание.

Одним из распространенных решений при создании непрерывнодействующих смесительных комплексов служит объединение однотипных или различных по конструкции смесительных устройств в каскад, в котором каждый смеситель служит для изменения дисперсий концентраций в определенном диапазоне, насколько это позволяют режимные параметры работы при соответствующем времени пребывания компонентов в данном аппарате смесительного комплекса. Подобные решения технологических задач широко используются в практике проведения химико-технологических процессов [86, 105−107].

Другим не менее важным приемом является использование непрерывнодействующих смесителей, в которых распределение компонентов происходит как за счет некоторого силового поля, действующего в аппарате на смешиваемые материалы, так и за счет направленного перемещения массы материалов вдоль аппарата.

Рассмотрим последовательно эти две основные схемы реализации непрерывного процесса смешения.

Математическое описание каскадного смесительного комплекса. Схема каскадного смесительного комплекса приведена на рис. 1.11. Он представляет собой цепочку смесителей, работающих с прямым и обратным перетоками. Рассмотрим двухкомпонентную смесь, образующуюся в результате взаимодействия двух объединений частиц компонентов А и В по схеме.

Полагаем, что образование смеси по схеме (1.158) соответствует случайному марковскому процессу, непрерывному во времени и дискретному в пространстве частиц, при наличии миграции элементов популяций.

Обозначим через Ху (t) и X." (О случайные величины, характеризующие количество объединений из частиц А и В в момент времени t в объеме смесителя /, а через Ху (<), (/) те целочисленные значения.

(x_t 1), которые эти случайные величины могут принимать. Рассмотрим поведение случайной величины X, (/). Для этого обозначим через Р_Хх (/) вероятность того, что целочисленная случайная величина Xj (/) примет значение х_1ч т. е. P_Xi (t) = Р {Xj (/) = х,}, где x_v = 1, 2,.. ., с* (t); с* (t) — максимальное число объединений частиц сорта А, которое к моменту времени t смешения материалов в смесителе I в ассоциаты смеси А В не вошло.

Соответственно для смесителя II случайная величина х_х = = с* -f 1, с? + 2,.. ., си; для смесителя i х, = -f 1, с?,! + + 2,.. ., с?; для смесителя N —? 1 Ху = с$-₂ -f- 1, cft-2 + 2,.. .

—. ., с?_! и для смесителя N x_t = cft-i + 1, c (-i-f- 2,.. ., eft, гдес*, cji,.. ., c?,.. cft-2, максимальные целочисленные значения случайной величины X_t (/), характеризующие степень незавершенности процесса смешения к моменту времени t в данном смесителе (см. рис. 1.11).

Предполагаем, что образование смеси в рассматриваемом каскаде смесителей соответствует марковскому простому процессу гибели популяций при наличии иммиграции и эмиграции смешиваемых частиц. В таком случае вероятность перехода из состояния в состояние x_t — 1 за счет гибели популяции за время /, / + Д/ пропорциональна произведению чисел объединений частиц А и В в момент времени t, равному h_Xx = х_ух₂, с коэффициентом пропорциональности (х. Это означает, что вероятности ввода в композицию •объединений частиц А и В тем выше, чем больше объединений частиц А и В не введено в смесь.

Для учета иммиграции, т. е. учета подачи частиц извне, вводим дополнительное предположение, состоящее в том, что вероятность увеличения размера популяции / в смесителе I на единицу в интервале времени /, t -f At пропорциональна + 0 (At) при О, а вероятность увеличения размера популяции / за счет поступления «меси из аппарата II за тот же интервал пропорциональна v₂At + -fО (Л/) при v₂ > 0. Для учета эмиграции вводим предположение, что вероятность уменьшения размера популяции на единицу пропорциональна —(v_x + v₂) At -f 0 (ДО при —(v₂ -f Vj) < 0. Иммиграция и эмиграция могут изменить размер популяции объединений частиц А в смесителе, т. е. увеличивать или уменьшать объем смешиваемых материалов. Поэтому оговоримся, что v, и v₂ и (v, -fv₂) задаются тан, что объем материалов в смесителе / ив последующих сохраняется постоянным; это необходимо для нормальной работы первого аппарата и смесительного комплекса в целом.

Интенсивности миграции смешиваемых частиц извне и между смесителями в каскаде равны v, v₂, v₃, …" v*, Vjh,.. .

.. Vtf-2″ Уц. Влияние этих величин на процесс отличается от интенсивности гибели популяции р_Х|, так как они не зависят от размера популяции, т. е. описываются математическим аппаратом пуассоновского процесса.

Как следует из рис. 1.11, для смесителя II вероятность изменения размера популяции II на единицу в интервале /, t -}- At за счет иммиграции пропорциональна (v, v₂) At -f 0 (At) и v₃ At + 0 (Д*)".

а за счет эмиграции —(v₂ -f v₃) At + 0 (Д/) и —v₂At -f 0 (Д<) — Для последующих смесителей, за исключением последнего, вероятности определяются аналогично приведенным выше соотношениям, а для смесителя N соотношениями (v# — vjv-j) At -f- 0 (At) и —2уцАt + + 0 (At).

Будем полагать, что для каждого смесителя вероятность изменения размера популяции (числа объединений частиц сорта А) за счет гибели популяции p_Xi будет равной рА_Х|. Тогда в соответствии с постулатами марковского процесса гибели популяции и миграции элементов популяций можно записать для смесителей /, //,.

В уравнениях (1.159)—(1.162), например, для смесителя // в (1.160), первый член правой части означает, что в интервале /, / + + Д* не произойдет изменения в популяции, соответствующей данному смесителю; второй член равен вероятности, что погибнет одно объединение частиц сорта А и образуется один ассоциат смеси АВ третий член означает, что популяция за счет ввода новых объединений частиц А не изменится; четвертый — изменится на единицу и т. д. И, наконец, 0 (Д/) означает вероятность изменения любым способом числа объединений частиц А более чем на единицу.

При At 0 получим N систем дифференциально-разностных уравнений, описывающих гибель популяции объединений частиц А и их иммиграцию и эмиграцию в каждом из N смесителей:

При оценке работы смесительного комплекса представляют интерес моменты распределения, через которые выражается качество смеси. Поэтому умножим каждое уравнение N систем (1.163) — (1.166) на х, в соответствующем состоянии, а затем просуммируем по х_х. Тогда с учетом преобразований (1.145)—(1.147) получим:

Б уравнениях (1.167)—(1.170) суммы в левых частях равны математическим ожиданиям дискретной случайной величины x_t в соответствующем смесителе каскада:

Учитывая, что, по определению, h_Xx = х_хх_г и случайные величины х_х (t) и х₂ (I) характеризуются одним законом распределения вероятностей, преобразуем первые суммы в правых частях уравнений (1.167)—(1.170) аналогично (1.150):

Вторая, третья и четвертая суммы вероятностей в уравнении.

• (1.167), вторые, третьи, четвертые и пятые суммы в уравнениях
• (1.168), (1.169) и вторая и третья суммы в уравнении (1.170) соответствуют полной группе несовместных событий и поэто. му равны единице, т. е.

Перейдем в уравнениях (1.180)—(1.183) к концентрациям. Покажем этот переход только для уравнения (1.180), описывающего процесс в смесителе /. Для этого умножим обе части уравнения (1.180) — на величину а'67(Ада' + Neb')², в которой а' = ау_АУ_А b' = = by_DV_B; а и b — число частиц, входящих в объединения А и В У, а и Уц — объемы частиц сорта А и В; и — удельные веса материалов частиц А и В N_A и, А в — число объединений частиц А и В. Тогда получим.

Аналогично (1.152) в уравнении (1.184) имеем.

где Сл" с в — относительные весовые концентрации компонентов А и В в смесителе /; т_А, т_в — математические ожидания концентраций компонентов А и В; с₀, cj — концентрации компонента А на входе и выходе смесителя /; Сц — концентрация компонента А на выходе смесителя //.

Полученные уравнения (1.185)—(1.188) описывают последовательное изменение концентраций компонента А во всех аппаратах каскадного смесительного комплекса.

Математическое описание иепрерывнодействующего смесителя. При создании непрерывнодействующих смесительных комплексов могут быть использованы аппараты, перераспределение компонентов в которых происходит за счет действия перемешивающего рабочего органа и за счет перемешивания массы вдоль аппарата. Конструирование таких смесителей возможно при обстоятельном исследовании процесса распределения компонентов в движущемся потоке смешиваемых материалов и при разработке математического описания процессов, происходящих в них.'.

Рассмотрим непрерывный процесс распределения компонентов, который происходит под действием некоторого силового поля, в некотором объеме подаваемых в смеситель компонентов. Качество смеси при этом будет меняться по следующей схеме: изменение качества смеси в аппарате равно изменению качества смеси под действием некоторого силового поля плюс изменение качества смеси за счет перемещения вдоль аппарата. Процесс смешения твердых мелкодисперсных сыпучих материалов будем рассматривать как случайный марковский процесс, непрерывный во времени и дискретный в пространстве смешиваемых материалов. Для описания таких процессов применяют дифференциально-разностные уравнения Колмогорова [931.

Процесс смешения компонентов А и И и образование двухкомпонентной смеси можно представить в виде А + В —? AD (смесь), где А и В — группа частиц компонентов, представляющих наименьшее число частиц, из которых может образоваться смесь А И без дробления (измельчения) частиц. Тем самым можно утверждать, что приведенный механизм образования смеси может быть распространен на любые соотношения компонентов в смеси.

Пусть случайные величины Х_г (t, I) и Х₂ (/, I) представляют со- 13ой количество групп частиц А и В в момент t на пути / в рассматриваемом объеме, а (х, х₂)^>1 — целочисленные значения, которые эти случайные величины могут принимать.

Обозначим Р_Хх (/, I) = Р (/, I) = х,}, где Х| = 1, 2,. .. .. х*, и рассмотрим изменение целочисленной случайной величины.

X, (/, /). Рассмотренная выше схема образования смеси соответствует разрывному марковскому процессу гибели популяции групп частиц А и В. согласно которому вероятность того, что на интервале /, t ?+? А/ происходит переход X в X — 1, равна p_XlAJ О (А/)" вероятность перехода X —(X — г) (г ]> 1) равна О (А/), вероятность отсутствия изменения равна 1 — р_х, Д/ — О (АОВ результате этого получим.

Полагаем, что интенсивность гибели популяции p_Xl групп частиц А согласно принятой схеме определяется соотношением.

где p_lA:i характеризует интенсивность процесса за счет действия силового поля, а — ^{за счет} перемещения компонентов вдоль аппарата; 1₂ — 1_г = А/; ^ = ДГ; р и к — коэффициенты пропорциональности. Согласно этому интенсивность процесса р_]Х| пропорциональна произведению чисел объединений частиц А и В в момент времени t. Это означает, что вероятность ввода в смесь компонента А тем выше, чем больше объединений частиц А и В не введено в смесь. Но действие силового поля меняется за счет перемещения смеси на некотором пути /, что оказывает влияние на интенсивность процесса, т. е. на первый фактор, и это характеризуется вторым членом в (1.190). Второй член означает, что интенсивность р.^ меняется пропорционально изменению числа групп частиц А, образовавших элемент смеси А В при переходе от одного сечения аппарата к другому, т. е. при перемещении массы вдоль аппарата. Здесь следует отметить, что элементы смеси А В представляют собой несвязанные частицы, поэтому в любой момент они могут войти в другие эле- .менты смеси или продолжить свое существование в прежнем состоянии.

Если А/ —0, то из (1.189) получается система дифференциальноразностных уравнений.

При работе смесителя наблюдать за изменением числа групп частиц компонентов невозможно. Интерес представляет изменение моментов распределения, через которые выражается качество смеси. Поэтому если умножить уравнение (1.191) на х_х в соответствующем: состоянии и просуммировать по x_lt то при (Д/, Д/') 0 получим.

где т_Хх (/, /) и т_х, (/, /) — математические ожидания числа объединений частиц А и В в смеси в момент t в сечении смесителя на расстоянии /; F (m_Xl, т_Хг) характеризует изменение математического ожидания под действием некоторого силового поля. После перехода к центрированным значениям концентрации компонента с_А аналогично выкладкам в п. 1.2.1 получим.

где с_А — центрированное значение концентрации компонента А D — параметр, характеризующий процесс изменения с°_А при движении вдоль аппарата.