Стационарная задача влагоупругости для неоднородного толстостенного цилиндра

Термин «влагоупругость» появился в литературе относительно недавно. Первые публикации в России, в которых используется данный термин, относятся к началу 1980;х гг. В то же время этот термин вполне естественный, поскольку постановка и методы решения задач определения напряженно-деформированного состояния в телах, подверженных увлажнению (или, наоборот, высыханию), аналогичны решению задач теории упругости для тел, находящихся в температурном поле. Для последних же существует вполне устоявшийся термин «термоупругость» (см. выше).

В работе [32] рассматривается задача распространения влаги от цилиндрического отверстия в массиве грунта. Данная задача моделирует разрыв трубопровода иод землей. Предполагается, что вода из отверстия сначала распространяется вдоль трубы, а затем проникает в грунт, причем фронт движения влаги представляет собой цилиндрическую поверхность [4].

При набухании грунта возникают вынужденные (влажностные) деформации, которые в совокупности с действием грунтового давления создают напряженно-деформированное состояние в массиве. В качестве механической модели рассматривается толстостенный цилиндр, внутренний радиус которого равен а, а внешний R^> а. Влага распространяется от внутренней поверхности цилиндра к периферии (разрыв водопроводной трубы, расположенной на некоторой глубине иод поверхностью земли). Рассматривается задача для случая, когда неоднородность обусловлена неравномерным распределением влажности в теле.

В работах [9, 10 и др.] приведены экспериментальные зависимости модуля упругости глины от влажности. В гл. 1 (см. рис. 1.12) показана типичная зависимость E (w), которая аппроксимируется степенной зависимостью.

где Е₀ — модуль упругости влагонасыщенной глины при данной влажности w w_s — предельная влажность насыщенной глины; к — коэффициент степенной функции. В данном случае приняты значения Е₀ = 19,88 МПа, w_s = 0,363, k = 2,4.

В рассматриваемой задаче влагоупругости в качестве физических соотношений используются уравнения Дюамеля — Неймана.

Здесь е_в — вынужденные деформации, в данном случае деформации набухания, определяемые при постоянном значении коэффициента линейного расширения р равенством 8_В = рдау, где Aw — изменение влажности.

Распределение влажности описывается законом Фика (1.31), который в стационарном случае при наличии осевой симметрии имеет вид.

с граничными условиями.

Решение уравнения (3.29) с граничными условиями (3.30) имеет вид.

Решение задачи определения напряженного состояния для рассматриваемого случая с учетом изменения модуля упругости может быть получено из разрешающего уравнения (2.18) с коэффициентами (2.19), которое можно записать в виде.

где E® = ?(гс^,(г))определяется равенством (3.27), a Aw согласно решению (3.31) равно.

1 dE ,.

Входящие в формулу (3.32) отношения — — и d (Aw)/dr определяются равенствами.

Уравнение (3.32) должно быть дополнено граничными условиями для напряжений ст_г. Считая, что давление на внутреннюю поверхность цилиндра отсутствует, а внешнее давление грунтового массива на рассматриваемый толстостенный цилиндр постоянно и равно р_ь = у Я, запишем граничные условия в виде.

При решении задач влагоупругости обычно усредняют зависимые от влажности механические характеристики, что облегчает решение задачи. Модуль упругости E (w) в рассматриваемой задаче может быть усреднен различными способами, например:

В работе [321 предложена формула.

которая и используется в дальнейшем.

Для анализа влияния на напряженно-деформированное состояние (НДС) зависимости модуля упругости от влажпоста были проведены расчеты как для среднего значения Е_С]Л, так и для непрерывной зависимости Е (г), определяемой равенством (3.27).

В случае постоянного модуля упругости ?_ср =? ₄ разрешающее уравнение (3.32) примет вид.

Ниже представлено аналитическое решение этого уравнения с граничными условиями (3.34):

Из уравнения равновесия можно вычислить тангенциальное напряжение ст₀.

Считая, что в цилиндре осуществляется плоское деформированное состояние (е₂ = 0), из третьего равенства (3.28) можно найти напряжения ст_г

Ниже приводятся результаты расчетов, полученные при следующих исходных данных: а = 0,25 м; b = 2,5 м; w₂ = 0,363; го, = 0,2; р = 0,6; v = 0,4; Е₀ = 19,88 МПа; го, = 0,363; k = 2,4; у = 26 950 Н/м³; Я = 10 м.

Подставив приведенные значения в формулы (3.35) и (3.36), получим соответственно формулы.

Здесь с = 1 м — характерный размер.

На рис. 3.20 показаны эпюры напряжений а, и ст₀ для однородного цилиндра (с осредненным значением модуля упругости) и неоднородного.

Рис. 3.20. Эпюры напряжений ст_г (а) и ст_е (б):

пунктирная линия — для однородного цилиндра; сплошная линия — для неоднородного цилиндра Для установления правильности результатов приведем результаты статической проверки, заключающейся в анализе условия равновесия половины цилиндра под действием напряжений а₀ и внешних нагрузок, действующих на цилиндр (см. подпараграф 2.1.3). С учетом равенств а,(я) ⁼ = -р_а = 0, а//;) = -p_h = -уЯ данная проверка заключается в выполнении равенства.

Вычисления показали, что для однородного цилиндра левая часть равенства (3.37) равна -0,67 375 МПа • м, а правая —0,674 МПа • м, что говорит о правильности расчетов.

Статическая проверка для неоднородного цилиндра дает результат.

что также свидетельствует о довольно высокой точности расчета.

11а основании полученных результатов можно сделать следующие выводы. Максимальные сжимающие напряжения ст, при учете изменчивости модуля упругости увеличиваются по сравнению с однородным материалом почти в 1,8 раза (рис. 3.20, а). Но это не столь существенно по сравнению с увеличением в 3,9 раза растягивающих напряжений ст" на внешней границе цилиндрического массива (рис. 3.20, б), так как у глины и у грунтов в целом прочность на растяжение существенно меньше, чем на сжатие. Ясно, что реальные расчеты на прочность задач влагоу пру гости следует проводить с переменным модулем упругости или с очень большими коэффициентами запаса, иначе расчет может повлечь за собой нехватку прочности грунтов, что, в свою очередь, может привести к разрушениям.