Взаимное положение прямых

Как известно, прямые в пространстве могут быть пересекающимися, параллельными или скрещивающимися. Рассмотрим эти случаи.

Пересекающиеся прямые. Наглядное изображение двух прямых АВ и CD. пересекающихся в точке К, приведено на рисунке 2.10, их чертеж в системе V, Н — на рисунке 2.11.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи.

Для прямых, кроме профильных, в системе V, Н справедливо и обратное утверждение:

если в системе V, Н тонки пересечения одноименных проекций прямых, кроме профильных, лежат на одной линии связи, то прямые пересекаются.

Если в системе V, Н одна из рассматриваемых прямых профильная, то, чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

Примеры чертежей пересекающихся и непересекаюшихся (скрещивающихся) прямых, из которых одна с проекциями a’b', ab, а" Ь" — профильная, показаны на рисунках 2.12 и 2.13.

На рисунке 2.12 все три проекции к', к, к" точки К прямой CD принадлежат и трем одноименным проекциям a’b', ab и а" Ь" прямой АВ, т. е. прямые пересекаются.

На рисунке 2.13 профильная проекция Г точки L прямой CD не принадлежит профильной проекции а" Ь" , следовательно, прямые АВ и CD не пересекаются (см. также рис. 2.7, а).

На рисунке 2.14 показаны прямые, две проекции которых пересекаются в одной точке, а две другие проекции сливаются в одну линию. Это означает, что обе прямые принадлежат плоскости Р, перпендикулярной плоскости Н (рис. 2.15).

Частный случай ортогональной проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, из которых одна параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, рассмотрен в § 1.3 (см. рис. 1.10).

Рис. 2.14.

Рис. 2.15.

Рис. 2.16.

Чертеж прямого угла АВС со стороной ВС, параллельной плоскости Я, приведен на рисунке 2.16. Горизонтальная проекция Ьа стороны ВА перпендикулярна горизонтальной проекции Ьс стороны ВС.

Эта особенность проецирования прямого угла упрощает решение ряда задач. Например, пусть требуется начертить перпендикуляр из точки с проекциями а', а к прямой с проекциями Ь’с', Ьс, параллельной плоскости V (рис. 2.17). Для этого из точки а' проводим перпендикуляр а’т' к Ь’с'. Построив проекцию т, проводим горизонтальную проекцию am перпендикуляра.

Это свойство будет широко использовано в дальнейшем.

Заметим, что проекция любого угла в зависимости от положения его плоскости может представлять собой острый, прямой или тупой угол (или прямую линию, если плоскость угла перпендикулярна плоскости проекций). Если угол не прямой и одна сторона его параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость острый угол проецируется также в виде острого угла меньшей величины, тупой угол — в виде тупого угла большей величины.

Параллельные прямые. Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно (рис. 2.18), проецирующие плоскости Р и Q, проведенные через параллельные прямые АВ и CD, параллельны между собой. С плоскостью проекций Я они пересекаются по параллельным прямым ab и cd — проекциям прямых АВ и CD на плоскости Я. Однако из параллельности проекций не всегда следует параллельность прямых.

В примере на рисунке 2.19 проекции a’b', e’f', ab, ef профильных прямых АВ и EF между собой параллельны. Однако зо из взаимного положения их профильных проекций видно, что сами прямые не параллельны.

Для прямых общего положения эти условия параллельности следующие:

если одноименные проекции прямых общего положения параллельны в системе двух плоскостей проекций, то прямые параллельны (рис. 2.20).

Для прямых частного положения:

если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые.

По рисунку 2.21 заключаем, что профильные прямые 5—6 и 7—8 параллельны, так как параллельны их профильные проекции 5″ 6″ и 7″ 8″ .

Рис. 2.17.

Рис. 2.18

Ь

Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек. Наглядное изображение двух скрещивающихся прямых АВ и CD общего положения дано на рисунке 2.22, их чертеж — на рисунке 2.23. С точкой пересечения одноименных _Рис 2.21 проекций ab и cd (рис. 2.22) совпада.

ют проекции к и / двух точек К и L, принадлежащих различным прямым CD и А В.

Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи (рис. 2.23).

Интересен вопрос: какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе другой к наблюдателю? Это определяют путем анализа положения определенных точек этих прямых.

На рисунке 2.22 видно, что при взгляде сверху по указанной стрелке точка L на прямой АВ закрывает точку К (проекция точки К на плоскости Я показана поэтому в скобках). Соответственно и на чертеже, приведенном на рисунке 2.23, видно, что фронтальная проекция Г выше фронтальной проекции к и при взгляде сверху по стрелке N при проецировании на плоскость Я точка L закрывает точку К (горизонтальная проекция к показана в скобках). На плоскости V совпадают фронтальные проекции Г и 2' точек прямых А В и CD. При взгляде спереди по стрелке М видно, что точка 1 прямой АВ

Рис. 2.22 Рис. 2.23.

находится ближе к наблюдателю, и при проецировании на плоскость Кточка / прямой АВ закрывает точку 2 прямой CD (фронтальная проекция 2' точки 2 показана в скобках).

Рассмотренные точки скрещивающихся прямых, проекции которых на одной из плоскостей совпадают, в литературе иногда называют конкурирующими точками.

• 01. При каком положении относительно плоскостей проекций прямую называют прямой общего положения?
• 2. Как выражается соотношение между проекцией отрезка прямой и самим отрезком?
• 3. Как расположена прямая в системе Н, V, W если все три проекции отрезка этой прямой равны между собой?
• 4. Как построить профильную проекцию отрезка прямой общего положения по данным фронтальной и горизонтальной проекциям?
• 5. Как располагается фронтальная проекция отрезка прямой линии, если его горизонтальная проекция равна самому отрезку?
• 6. Как располагается горизонтальная проекция отрезка прямой линии, если его фронтальная проекция равна самому отрезку?
• 7. Как разделить на чертеже отрезок прямой линии в заданном отношении?
• 8. Как построить на чертеже треугольники для определения длины отрезка прямой линии общего положения и ее углов с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций?
• 9. Какое свойство параллельного проецирования относится к параллельным прямым?
• 10. Можно ли по фронтальной и горизонтальной проекциям двух профильных прямых определить, параллельны ли между собой эти прямые?
• 11. Как следует истолковать точку пересечения проекций двух скрещивающихся прямых?
• 12. В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого угла?